广东省广州市八区2019-2020学年高二上学期期末教学质量监测数学试题 Word版含解析

2019学年第一学期期末教学质量监测

高二数学（试题）

本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁

一、选择题：本大题共12小题，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的. 1.设集合{

}

|340A x x x =+-<，{|230}B x x =+≥，则A B =（）

A. 3(4,]2

-- B. 3

[,1)2

- C. 3[,1)2-

D. 3[,4)2

【答案】C 【解析】【分析】

解一元二次不等式求得集合A ，解一元一次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()2

34410x x x x +-=+-<解得()4,1A =-，有2+30x ≥解得

3,2B ??=-+∞????，所以3,12A B ???=-????

故选：C

【点睛】本小题主要考查集合交集，考查一元二次不等式、一元一次不等式的解法，属于基础题.

2.已知向量()3,1,2a =-，()6,2,b t =-，且a b ，则t =（） A. 10 B. -10

C. 4

D. -4

【答案】D

【解析】【分析】

根据两个向量平行的条件列方程，解方程求得t 的值. 【详解】由于//a b ，所以62312

t -==-，解得4t =-. 故选：D

【点睛】本小题主要考查空间向量共线的坐标表示，属于基础题.

3.双曲线22

1169

x y -=的焦距为（）

A. 10

B. 7

C. 27

D. 5

【答案】A 【解析】由方程，

，则

，即

，则焦距为

4.设命题p ：[]0,1x ?∈，都有210x -≤，则p ?为（）.

A. []00,1x ?∈，使2

010x -≤

B. []0,1x ?∈，都有210x -≤

C. []00,1x ?∈，使2

010x ->

D. []0,1x ?∈，都有210x -> 【答案】C 【解析】【分析】

根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，

即p ?：[]00,1x ?∈，使2

010x ->，

故选：C .

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题.

5.若a b c d ,,,

为实数，则下列命题正确的是（）

A. 若a b <，则||||a c b c <

B. 若22ac bc <，则a b <

C. 若a b <，c d <，则a c b d -<-

D. 若a b <，c d <，则ac bd <

【答案】B 【解析】【分析】

利用不等式的性质对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，当0c

时，不符合，故A 选项错误.

对于B 选项，由于22ac bc <，所以0c ≠，所以a b <，所以B 选项正确.

对于C 选项，如2,3,2,3,23,23a b c d ====<<，但是a c b d -=-，所以C 选项错误.

对于D 选项，由于a b c d ,,,

的正负不确定，所以无法由a b <，c d <得出ac bd <，故D 选项错误. 故选：B

【点睛】本小题主要考查不等式的性质，属于基础题.

6.已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“//l α”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】【分析】

将“l n ⊥”与“//l α”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】当“l n ⊥”时，由于l 可能在平面α内，所以无法推出“//l α”. 当“//l α”时，“l n ⊥”.

综上所述，“l n ⊥”是“//l α”的必要不充分条件. 故选：B

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查线面平行和法向量，属于基础题. 7.在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==

，1AA =，则异面直线

1AC 与1CD 所成角的余弦值为（）

A. 1 5

【答案】C

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线

AC与

CD所成角的余弦值.

【详解】以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意

()()()()

,0,0,0,,0,0,,3,0,0,3

A a C a C a a D a，所以

()()

,,3,0,,3

AC a a a CD a a

=-=-，设异面直线

AC与

CD所成角为θ，则

cos

AC CD a a

a a

AC CD

?-+

===

故选：C

【点睛】本小题主要考查异面直线所成角的余弦值的计算，属于基础题.

8.已知各项均为正数的数列{}n a为等比数列，n S是它的前n项和，若337

S a

=，且

a与

a的等差中项为5，则5S=（）

A. 29

B. 31

C. 33

D. 35

【答案】B

【解析】

【分析】

将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程求得q ，根据等差中项列方程，由此解得1a .进而求得

5S 的值.

【详解】由337S a =，得12337a a a a ++=，所以3126()0a a a -+=，即2

610q q --=，

所以12q =,13

q =-（舍去）．依题意得2410a a +=，即31()10a q q +=，所以116a =．所以55116[1()]

231112

S -=

=-．故选:B ．

【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，考查等差中项的性质，考查等比数列前n 项和，属于基础题. 9.命题“若{}n a 是等比数列，则

n n k n k n

a a

a a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（） A. 0 B. 1

C. 2

D. 3

【答案】A 【解析】【分析】

先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数.

【详解】若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题，从而，逆否命题是真命题；

反之，若(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，1

1(1*)n n n n

a a n n a a +-=>∈N ,，所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题．故选:A ．

【点睛】本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.

10.双曲线2

:13

y C x -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若

PO PF ⊥,则PFO △的面积为（）

3 【答案】D 【解析】【分析】

先求得双曲线的渐近线方程，由此求得对应的倾斜角，解直角三角形求得三角形PFO 的边长，由此求得以PFO ?的面积.

【详解】双曲线22

:13

y C x -=的渐近线方程为3y x =±，无妨设60POF ∠=，

因为PO PF ⊥，||2OF c ==，所以得||2cos 601PO ==,||2sin 603PF ==，

所以PFO ?的面积为13

132??=

．故选:D ．

【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的几何性质，考查双曲线中的三角形的面积计算，属于基础题. 11.为不断满足人民日益增长

的

美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、

更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体1111D C B A ，该项目由长方形核心喷泉区ABCD （阴影部分）和四周绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD 的面积为21000m ，绿化带的宽分别为2m 和5m （如图所示）.当整个项目占地1111D C B A 面积最小时，则核心喷泉区BC 的长度为（）

A. 20m

B. 50m

C. 1010m

D. 100m

【答案】B 【解析】【分析】

设BC x =，得到CD 的值，进而求得矩形1111D C B A 面积的表达式，利用基本不等式求得面积的最小值，，而根据基本不等式等号成立的条件求得此时BC 的长. 【详解】设BC x =，则1000

CD x

，所以1111

1000

(10)(4)A B C D S x x

=++

100001040(4)x x =++

10401440x x

≥+=，当且仅当10000

4x x

，即50x =时，取“=”号，所以当50x =时，1111

A B C D S 最小．

故选:B ．

【点睛】本小题主要考查矩形面积的最小值的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.

12.在三棱锥D ABC -中，AB BC ==4DA DC AC ===，平面ADC ⊥平面

ABC ，点M 在棱BC 上，且DC 与平面DAM AM =（）

C. 【答案】A 【解析】【分析】

建立空间直角坐标系，设出M 点坐标，利用DC 与平面DAM 所成角的正弦值为4

列方程，解方程求得M 点的坐标，进而求得AM 的长.

【详解】取AC 中点O ，易证：OD AC ⊥,OD OB ⊥,AC OB ⊥.

如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 由已知得()0,0,0O

,()2,0,0B ,()0,2,0A -,()0,2,0C ,

D ,(0,2,AD =,(0,2,DC =-.

设(,2,0)(02)M a a a -<≤，

则(,4,0)AM a a =

设平面DAM 的法向量(),,n x y z =.

由0AD n ?=,0AM n ?=得2230

(4)0

y z ax a y ?+=??+-=??，

可取(3(4),3,)n a a a =--，所以222

|2323|3

sin cos ,4

43(4)3a a DC n a a a θ+=??=

-++，解得4a =-（舍去），4

a =

，所以2

4845||33AM ????=+= ? ?????

．故选:A ．

【点睛】本小题主要考查根据线面角的正弦值求线段的长度，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.

13.已知实数,x y 满足约束条件1010330x x y x y -≥??

-+≥??--≤?

，则2z x y =+的最大值为__________．

【答案】7 【解析】【分析】

画出可行域，平移基准直线20x y +=到可行域边界位置，由此求得目标函数的最大值.

【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，平移基准直线20x y +=到可行域边界点()2,3B 的位置，此时2z x y =+取得最大值为2237?+=. 故答案为：7

【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的最大值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

14.某学校启动建设一个全新的信息化“未来报告厅”，该报告厅的座位按如下规则排列：从第二排起，每一排都比前一排多出相同的座位数，且规划第7排有20个座位，则该报告厅前13排的座位总数是__________．【答案】260 【解析】【分析】

将问题转化为等差数列来解决，根据已知条件以及等差数列前n 项和公式，求得所求的坐标总数.

【详解】因为从第二排起每一排都比前一排多出相同的座位数，所以座位数n a 构成等差数列{}n a . 因为720a =，所以1137

13713()1321326022

a a a S a +?====.

故答案为：260

【点睛】本小题主要考查利用等差数列解决实际生活中的问题，属于基础题.

15.已知1F 、2F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐

标原点，2POF 为正三角形，则C 的离心率为__________．【答案】31- 【解析】【分析】

结合等边三角形的性质和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率. 【详解】如图,因

2POF 为正三角形，所以12||||||OF OP OF ==，

所以12F PF ?是直角三角形.

因为2160PF F ∠=，21||2F F c =，所以2||PF c =,1||3PF c =. 因为21||||2PF PF a +=，所以32c c a +=

即3131

a ，所以31e =-.

故答案为：31-

【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的定义，属于基础题.

16.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，

11AB AD AA ===,1160BAD DAA BAA ?∠=∠=∠=,则1BD =__________．

2【解析】【分析】

用基底表示出1BD ，然后利用向量数量积的运算，求得1BD . 【详解】因为111BD AD AB AD AA AB =-=+-，所以2

211()BD AD AA AB =+-

222

111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++--

1112cos602cos602cos602=+++?-?-?=，

所以1||2BD BD ==2

【点睛】本小题主要考查空间向量法计算线段的长，属于基础题.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知22

19a a =，618S =.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.

【答案】（1）*

(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．

【解析】【分析】

（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式.

（2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.

【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．

由22

19a a =，得140a d +=，

由618S =，得15

a d +

=，于是18a =,2d =-．

所以{}n a 的通项公式为*

(2)10n a n n ∈=-N ．

（2）由（1）得(1)

8(2)2

n n n S n -=+

?- 29n n =-+

2981

()24

n =--+

因为*n ∈N ，

所以当4n =或5n =时,

n S 有最大值为20．

【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.

18.已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴是x 轴，并且经过点()1,2-，抛物线C 的焦点为F ，准线为l .

（1）求抛物线C 的方程；

（2）过F h 与抛物线C 相交于两点A 、B ，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，求四边形ABED 的面积.

【答案】（1）2

4y x =；（2 【解析】【分析】

（1）设抛物线为()220y px p =>，根据点()1,2-在抛物线上，求出p ，得到结果；

（2）不妨设()11,A x y ，()22,B x y ，直线h 的方程为()3

1y x =-，联立直线与抛物线得

231030x x -+=，解出方程，然后求解A 、B 坐标，转化求解四边形的面积.

【详解】（1）根据题意，设抛物线为()2

20y px p =>，

因为点()1,2-在抛物线上，所以()2

22p -=，即2p =，

所以抛物线的方程为2

4y x =.

（2）由（1）可得焦点()1

0F ，，准线为:1l x =-，不妨设()11,A x y ，()22,B x y ()12x x >，

过F 且斜率为3的直线h 的方程为()31y x =-，

由()

4 31y x y x ?=??=-??，得231030x x -+=，所以13x =，2

13x =，代入()31y x =-，得123y =，223

y =-

，所以()

3,23A ，1

23,3

B ??

? ???

，所以142p AD x +

==，2423p BE x +==，1283

DE y y =-=，因为四边形ABED 是直角梯形，

所以四边形ABED 的面积为()

643

AD BE DE +?=

【点睛】本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

19.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PB PD =.

（1）证明：平面APC ⊥平面BPD ；

（2）若PB PD ⊥，60DAB ∠=?，2AP AB ==，求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】（1）见解析（2）5

【解析】【分析】

（1）通过菱形的性质证得BD AC ⊥，通过等腰三角形的性质证得BD PO ⊥，由此证得

BD ⊥平面APC ，从而证得平面APC ⊥平面BPD .

（2）方法一通过几何法作出二面角A PD C --的平面角，解三角形求得二面角的余弦值.方法而通过建立空间直角坐标系，利用平面APD 和平面CPD 的法向量，计算出二面角的余弦值.

【详解】（1）证明：记AC BD O =，连接PO ．

因为底面ABCD 是菱形，

所以BD AC ⊥，O 是,BD AC 的中点．因为PB PD =，所以PO BD ⊥．因为AC

PO O =，

所以BD ⊥平面APC ．

因为BD ?平面BPD ，所以平面APC ⊥平面BPD ．

（2）因为底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=，2AP AB ==，所以BAD ?是等边三角形，即2BD AB ==．因为PB PD ⊥，所以1

PO BD =

=．又sin 603AO AB ==2AP =，所以222PO AO AP +=，

即PO AO ⊥．

方法一：因为O 是AC 的中点，所以2CP AP ==，因为2CD AB ==，所以CP CD =，所以PAD ?和PCD ?都是等腰三角形．

取PD 中点E ，连接,AE CE ，则AE PD ⊥，且CE PD ⊥，所以AEC ∠是二面角A PD C --的平面角．因为PO BD ⊥，且1

PO OD BD ===，

所以DP ==．

因

AE CE ===，

2AC AO ==，

所以2225

cos 27

AE CE AC AEC AE CE +-∠==-．

所以二面角A PD C --的余弦值为5

-．

方法二：如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z

轴，建立空间直角坐标系O xyz -，

则A ，(0,

1,0)D -，(0,0,1)P ，(C ，所以(3,1,0)DA =，(0,1,1)DP =，(3,1,0)DC =-．设平面APD 的法向量为1(,,)n x y z =

由11·0·0DA n DP n ?=?

?=??，得0

0y y z +=+=??

，

令3y =

-，得1(1,n =

同理，可求平面PDC 的法向量2(1,n =．所以12

1212cos ||||

n n n n n n =

2222

11(3)33(3)

1(3)313(3)

?+-?+?-

+-+++-

=-．

所以，二面角A PD C

--的余弦值为5

-．

【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

20.数列{}n a的前n项和为n S，且()

S n n N

=∈，数列{}n b满足12

b=，

()*

322,

n n

b b n n

=+≥∈N.

（1）求数列{}n a的通项公式；

（2）求证：数列{}1

b+是等比数列；

（3）设数列{}n c满足1n

+，其前

n项和为

T，证明：1

T<.

【答案】（1）*

21()

a n n

=-∈N（2）见解析（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）利用1

n n

S n

S S n

-≥

求得数列{}n a的通项公式.

（2）通过证明

+，证得数列

{1}

b+是等比数列，并求得首项和公比.

（3）由（2）求得{}n b的通项公式，由此求得n c的表达式，利用错位相减求和法求得n T，进

而证得1

T<.

【详解】（1）当1

n=时，

a S

==．

当2n ≥时，22

1(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-．

检验，当1n =时11211a ==?-符合．

所以*

21()n a n n =-∈N ．

（2）当2n ≥时，

1111113213(1)

3111

n n n n n n b b b b b b -----++++===+++，而113b +=，所以数列{1}n b +是等比数列，且首项为3，公比为3．

（3）由（2）得 11333-+=?=n n

n b ，

211

(21)()133

n n n n n a n c n b -=

==-+，所以1231n n n T c c c c c -=+++

23111111

1()3()5()(23)()(21)()33333n n n n -=?+?+?++-?+-? ①

2341111111

1()3()5()(23)()(21)()333333n n n T n n +=?+?+?++-?+-? ② 由①-②得

12342111111

(21)()2[()()()()]333333

n n n T n +=--?+++++， 21111()[1()]

1133(21)()21331()3

n n n -+-=--?+-

11111(21)()()3333n n n +=--?+- 2221()()333

n n +=-，所以11(1)()3

n T n =-+．

因为1(1)()03

n +>，所以1n T <．

【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查等比数列的证明，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题. 21.如图，已知圆A ：2

2(1)

16x y ++=，点()10

B ,是圆A 内一个定点，点P 是圆上任意一点，线段BP 的垂直平分线1l 和半径AP 相交于点Q .当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲

线C .

（1）求曲线C 的方程；

（2）设过点()4,0D 的直线2l 与曲线C 相交于,M N 两点（点M 在,D N 两点之间）.是否存在直线2l 使得2DN DM =？若存在，求直线2l 的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）22143x y +=（2）存在，54)y x =-或5

4)y x =-．

【解析】【分析】

（1）结合垂直平分线的性质和椭圆的定义，求出椭圆C 的方程.

（2）设出直线2l 的方程，联立直线2l 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用2DN DM =，结合向量相等的坐标表示，求得直线2l 的斜率，进而求得直线2l 的方程.方法一和方法二的主要曲边是直线2l 的方程的设法的不同. 【详解】（1）因为圆A 的方程为2

2(1)16x y ++=，

所以(1,0)A -，半径4r =．

因为1l 是线段AP 的垂直平分线，所以||||QP QB =．所以||||||||||4AP AQ QP AQ QB =+=+=．因为4||AB >，

所以点Q 的轨迹是以(1,0)A -，(1,0)B 为焦点，长轴长24a =的椭圆．因为2a =，1c =，2223b a c =-=，

所以曲线C 的方程为22

143

x y +=．

（2）存在直线2l 使得2DN DM =．

方法一：因为点D 在曲线C 外，直线2l 与曲线C 相交，所以直线2l 的斜率存在，设直线2l 的方程为(4)y k x =-．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，

由22

143(4)x y y k x ?+=???=-? 得2222

(34)32(6412)0k x k x k +-+-=．则2

122

3234k x x k +=+， ① 2122

6412

34k x x k

-=+， ② 由题意知22

(32)4(34)(6412)0k k k ?=--+->，解得1122

k -<<．因为2DN DM =，

所以2142(4)x x -=-，即2124x x =-． ③

把③代入①得21241634k x k +=+，2

41634k x k

-+=+ ④ 把④代入②得2365k =

，得k =，满足1122k -<<．

所以直线2l

的方程为：4)y x =

或4)y x =-．方法二：因为当直线2l 的斜率为0时，(2,0)M ，(2,0)N -，(6,0)DN =-，(2,0)DM =- 此时2DN DM ≠．

因此设直线2l 的方程为：4x ty =+．设112212(,),(,)()M x y N x y x x >，

由22

1434x y x ty ?+=???=+?

得22

(34)24360t y ty +++=．

由题意知22

(24)436(34)0t t ?=-?+>，解得2t <-或2t >，则122

2434

y y t +=-

+， ① 122

y y t =

+， ② 因为2DN DM =，所以212y y =． ③ 把③代入①得12834t y t =-

+，2

21634

y t =-+ ④ 把④代入②得2536t =，

t =2t <-或2t >．

所以直线2l 的方程为4)y x =

-或4)y x =-．【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题. 22.已知函数2

()()(,)f x x mx m n m n =-++∈R .

（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()3,1-，求实数,m n 的值；

（2）设2m =-，若不等式()2

3f x n n >-+对x R ?∈都成立，求实数n 的取值范围；

（3）若3n =且()1,x ∈+∞时，求函数()f x 的零点. 【答案】（1）2m =-，1n =-．（2）(,1)(3,)-∞-+∞（3）见解析

【解析】【分析】

（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得,m n 的值.

（2）将不等式2

()3f x n n >-+转化为22222x x n n +->-+，求得左边函数

()222g x x x =+-的最小值，由此解一元二次不等式求得n 的取值范围.

（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数()f x 的定义域，求得函数()f x 的零点. 【详解】（1）因为不等式()0f x <的解集为(3,1)-，所以-3,1为方程()0f x =的两个根，由根与系数的关系得