江苏省扬州市2019届高三上学期期中考试数学含答案

2018秋高三期中考试试卷

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

2018．11

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足＝1＋i ，则复数z ＝________．

1－2i 2. 函数y ＝的定义域为________．

4－2x 3.

已知x ，y ∈R ，直线(a －1)x ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为________．

4. 已知函数f (x )为偶函数，且x >0时，f (x )＝x 3＋x 2，则f (－1)＝________．

5. 已知向量m ＝(1，a )，n ＝(，3a ＋1)．若m ∥n ，则实数a ＝________．

a 6. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，

b ，

c .若a ＝2，b ＝6，cos B ＝－，则61

2角A 的大小为________．

7. 设实数x ，y 满足则3x ＋2y 的最大值为________．{x －y ≥0，

x ＋y ≤1，

x ＋2y ≥1，)

8. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．

9. 已知条件p ：x >a ，条件q ：>0.若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是1－x

x ＋2________．

10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线－＝1的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐x 2m y 2

m ＋1近线方程为__________．

11. 若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则函数f (x )在[－π，0]π2上的单调增区间为________．

12. 在△ABC 中，AH 是边BC 上的高，点G 是△ABC 的重心．若△ABC 的面积为＋1，AC ＝，tan C ＝2，则(＋)·(＋)＝________．

65AH → BC → GB → GC → 13. 已知正实数a ，b 满足2a ＋b ＝3，则＋的最小值是________．

2a 2＋1

a b 2－2b ＋214. 已知函数f (x )＝2x －x 2，g (x )＝ln x －ax ＋5(e 为自然对数的底数，e ≈2.718)．对于任意2的x 0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x 1，x 2，使得g (x 1)＝g (x 2)＝f (x 0)，则整数a 的取值集合是__________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC 中，已知·＝||||，设∠BAC ＝α.

3AB → AC → AB → AC → (1) 求tan α的值；

(2) 若cos β＝，β∈(0，)，求cos(β－α)的值．

35π

216. (本小题满分14分)

已知a ∈R ，函数f (x )＝a －.

|x |(1) 若f (x )≤2x 对x ∈(0，2)恒成立，求实数a 的取值范围；

(2) 当a ＝1时，解不等式f (x )≥2x .

在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r>0)相切．

(1) 若直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为2，求直线l的方程；

(2) 已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP 与y轴相交于M，N点．判断点M，N的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为 km 、2 km ；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为 km.现规2210划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路(如图(1)、(2))．已知铺设每段鹅卵石路的费用(万元)与其长度的平方成正比，比例系

数为2.设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF 为θ(θ∈(0，))，铺设三段鹅卵石路的总费π

4用为y (万元)．

(1) 求南京园到柏油路的最短距离d 1关于θ的表达式；

(2) 求y 的最小值及此时tan θ的值．

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的右准线方程为直线x ＝2，且两焦点x 2a 2y 2

b 2与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．

(1) 求椭圆C 的方程；

(2) 假设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点．

① 若A 为椭圆的上顶点，M 为线段AB 中点，连结OM 并延长交椭圆C 于点N ，且＝ON → 62

，求OB 的长；

OM → ②

若原点O 到直线l 的距离为1，并且·＝λ，当≤λ≤时，求△OAB 的面积S 的范OA → OB → 4556围．