!第八章压杆稳定性要点
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？
解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230
1500.4
λ?=
= 相当长度：20.30.6l m μ=?=
(b) 柔度： 150
1250.4
λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?=
(c) 柔度： 0.770
122.50.4
λ?=
= 相当长度：0.70.70.49l m μ=?=
(d) 柔度： 0.590
112.50.4
λ?=
= 相当长度：0.50.90.45l m μ=?=
(e) 柔度： 145
112.50.4
λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?=
由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：()
22
cr EJ
P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：
()
2948
2
2
2
320010 1.610640.617.6410cr EJ
P l N
π
ππμ-???
??=
==?
()
2948
2
2
2
320010 1.610640.4531.3010cr EJ
P l N
π
ππμ-???
??=
==?
15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：
92.6
33827452.5
p s s a λπσλ===--===
15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。
解：(1)
(
)
4
484.33
64
3.9051383
9884.833.905
p p J D d i mm l
i
λππ
μλλ===
-=
=
==?=
=
=>=
该压杆属大柔度杆
()
()222922
222
3210100.0120.019847.4610cr EJ E P A l N ππππλμ??===?+=? （2） 7.46
3.22.33
cr w P n n ==
=>工作P 该杆的稳定性足够。
15-5 设图示千斤顶的最大承载压力为P ＝150kN ，螺杆内径d ＝52mm ，l =50cm ．材料为A 3钢，E =200GPa 。稳定安全系数规定为3=W n 。试校核其稳定性。
解：千斤顶螺杆简化为一端固定一端自由的压杆，故2μ=。
柔度应为：2500
771001524
p
l
i μλλ?=
=
=<=?
应采用经验公式计算其临界力：由表中查出：304a MPa = 1.12b M P a =。
则：
32304 1.1277218218100.0524624
462
3.083150
ej ej ej ej w a b MPa P A KN P n n P
σλπσ=-=-?===???==
=
=>=工作
所以满足稳定性要求。
15-6 10t 船用轻型吊货杆AB ，长为16cm ，截面为空心圆管，壁厚35
D
t =
，轴向压缩力P =222kN ，规定稳定安全系数5.5=W n ，材料为A 3钢，E =210GPa ，吊杆两端均为铰支座。试确定用杆的截面尺寸。 解：先按大柔度杆解
()()
4
2
9
2
222
722101064351168.345810cr D D D EJ P l N
πππμ?
?
?
????-- ? ? ?????==?=?
74
3
8.3458105.5 5.522210cr w P D n ??>==?P
347350D mm mm == 1035
D
t mm == 330d mm ∴= 校核应用的公式是否对：
120.26116000133120.26
p
i mm
ul i λλ===?===> 所以上面的计算有效。
15-7 图示托架中的AB 杆，直径d ＝40mm ，长l ＝800mm ，两端铰支，材料为A 3钢，试求 (a )托架的权限载荷max Q ；
(b )若工作载荷Q ＝70kN ，稳定安全系数W n ＝2.0，问此托架是否安全？ 解： （1）AB 杆
1,104
800180080
10d
i mm l mm ul i μλ==
==?===
3A 钢100p λ=
p λλ∴< 属于等杆
2
304 1.1280214.4214.440269.44
cr cr cr AB
a b MPa P A KN N σλπσ=-=-?===??==
22900sin 600
800600600
800118.8900
cr cr Q P P Q KN θ?=?-?==极限极限 （2）118.8
1.70
2.070
w Q n Q η===<=极限工作工作
所以托架不安全。
15-8 两端固支的A 3钢管，长6m ，内径为60mm ，外径为70mm ，在C T
20=时安装，此时管子不受力。已知钢的线膨胀系数C
/1105.
126
-?=
α，弹性模量E =206GPa ．当温度升高到多少度时，管子将失稳？
解:
2.30.5600130.5100
2.3
p i cm l i μλλ=
===?===>= 属大柔度杆
设温度t C ?;则管子变形tl δα=? 伸长
管子受压力cr P P = 变形cr P l
EA
?=
缩短 变形协调条件0δ+?=或者δ=?
()2222
226
46.4
130.512.510cr P l E l tl A
EA EA
t παλππλα-?==∴?===??
即升至2046.466.4T C =+=的管子失稳.
15-9 有一结构ABCD ，由3根直径均为d 的圆截面钢杆组成如图，在B 点铰支，而在C 点和D 点固定，A 点为铰接。
π10=d
L
。若此结构由于杆件在ABCD 平面内弹性失稳而丧失承载能力。试确定作用于节点A 处的载荷P
的临界值。
解：AB 杆为铰支1μ=
AC ，AD 杆为一端铰支一端固定0.7μ=
AB 失稳此结构仍能继续承载，直到AC,AD 杆也失稳，此时整个结构才丧失承载能力。 由于对称()()cr cr AC AD P P =
()
()222
2
2
0:2cos30
36.12cos300.7cos30cr
cr
cr AB
AC y P P P EJ
EJ
EJ l l l ππ==+=
+?
=
?
?? ?
?
?
∑
15-10 铰接杆系ABC 如图示，是由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成，若由于杆件在ABC 平面内失稳而引起毁坏。试确定载荷P 为最大时的θ角。??
?
?
?<<20πθ。 解：当AB,BC 杆的轴力同时达到临界力时，P 最大。
两杆的临界力为：
()()22
2
2
c o s s i n
AB
AC
cr AB cr AC EJ
P P l EJ
P P l πθ
πθ====
设BC 间距为L ，则cos ,sin AB AC l L l L ββ==代入上式
2222
22cos sin sin sin A EJ P L EJ
P L πθβπθβ?
=?
?
??
=?? 消去P 得 2222
22
cos cos sin sin EJ EJ
L L ππβθβθ
= 即：2
tg ctg
θβ= ()2a r c t g c t g θβ∴=
15-11 某快锻水压机工作台油缸柱塞如图示。已知油压力p =32 MPa ，柱塞直径d =120mm ，
伸入油缸的最大行程l ＝1600mm ，材料为45钢，E ＝210Gpa 。试求柱塞的工作安全系数。 解：工作压力()()2
6
32100.12361.734
P pA KN π
==???=工作
2.0μ= 1.6l m =
()10.12
0.03442 1.6106.7
0.03i d m l i μλ=
===?∴=== 45钢
86p p
λλλ===∴>
属细长杆
22
229
226
21010 5.7106.73210
cr cr cr E
E P P πσλ
σσππησλ∴=??=====??工作工作
15-12 蒸汽机车的连杆如图所示，截面为工字形，材料为A 3钢，连杆所受最大输向压力为465kN 。连杆在摆动平面（xy 平面）内发生弯曲时，两端可认为是固定支座，试确定其安全系数。 解：（1）xy 平面内：
()()()33
7421,310011961409614851212
1.7755101409685961464705
2.3913100
59.2
52.39
z l mm
i J mm A mm i mm l
i μμλ===
??=?--???=?=?-?-=∴=?∴=
=
= 3A 钢：100,106p s λλ==
xy ∴
面内属短杆p λλ<
()662351064701015201520
3.27465
cr s cr xy P A KN P mm P ση-∴==???=∴=
==工作
（2）xz 面内：
()33
64
0.5,31001185142140859612124.0741025.102310024725.10
y p
l mm
i J mm i mm
l i μμλλ===
??=??+?-??
?=?∴=?∴===> 所以属细长杆。
()
2296
22
20010647010
247209209
1465
cr cr xy E P A KN P P ππλη-??∴==??=∴=
=<工作
所以不安全。
15-13钢结构压杆由两个85656??等边铰钢组成，杆长1.5m ，两端铰支，P =150kN ，铰钢为A 3钢，计算临界应力的公式有：（1）欧拉公式。（2）抛物线公式。试确定压杆的临界应力及工作安全系数。
解：1, 1.5,150l m P KN
μ===工作 查表：56568??角钢：
244
min 28.367223.63247.24 1.681 1.589.3
0.0168
z y A cm J cm J cm i cm l
i μλ=?=?=?∴=
==?∴===
3A 钢：123e λλ=>
所以采用抛物线公式计算：
22643
2400.006822400.0068289.3185.6185.61028.36710 2.0715010
cr cr a MPa b MPa
a b MPa P P σλη-===-=-?=????∴===?工作
工作
15-14 图示结构，用A 3钢制成，E ＝200GPa ，P σ＝200MPa ，
试问当q ＝20N/mm 和q =40N/mm 时，横梁截面B 的挠度分别为多少？BD 杆长2m ，截面为圆形，直径d =40mm 。 解：首先考虑q 不同时，BD 杆的轴力的变化。
34
3
2
2
52
4838453841
482
,416
BD
BD BD B BD
l N N l ql
l y EJ EJ EA A ql J N l A J J d l m A ?==
-=-∴=+== （1）20/q N mm =时：33222516201043840.0450*******.042BD N KN ????∴==?+
（2）40/q N mm =时：3322
2516401043840.0410********.042
BD N KN ????
∴==?+ 122000.044
p l i
μλλ?===>
2292
22
200100.0461.94200
cr E N A KN πππλ??∴==??= ∴ 当20/q N mm =时：BD cr N N <
∴
349250104 3.98102200100.042
4
BD B N l y m EA π-??===??
??? 当40/q N mm =时：BD cr N N > 所以杆件失稳破坏。
15-15 由两槽钢组成的立柱如图示，两端均为球铰支承，柱长l ＝4m 。受载荷P ＝800kN ，型钢材料为A 3钢，许用压应力[]σ＝120MPa ，试选选槽钢的型号，并求两槽钢间的距离2b 及连接板间的距离a 。
解：(1)选槽钢
设
()33226
0.90
800107.410740.912010i i p
A m cm
φφσ-=?≥==?=??
选22号槽钢
2
440'36.242571.4;8.42176.4; 2.212.031400
47.5;0.908.42
i z y A cm J cm i cm J cm i cm X cm
l i
μλφ======?=
=
==
故合适
[]3
480010110.4108236.2410P MPa MPa A σφσ-?===>=??
但
110.4108
2.2%108
-= 仍可用 （2）求2b
应使组合截面的z y J J =
()()2
02
2222571.42176.4 2.0336.24z y J J b X A b ??
=+-??
??
?=+-???
故10.16b cm =
（3）求a
14001;8.42 2.21140018.42 2.211.05l
l a
i i a
a m
λλμμλλ=??=
=
==
??==局
整局整
15-16 图示万匹柴油机连杆作为等截面压杆考虑，D ＝260mm ，d ＝80mm ，许用压应力[]σ＝150MPa ，材料为高强度钢，试计算许用压力P 。 解：
()(
)4
444
222222.2231064
1
4.807104
6.80110I D d m A D d m i m
π
π---=
-=?=-=?==?
此连杆有两种失稳形式： （1） 在xy 平面内：
1, 2.88
42.35p
l l
i
μμλλ==∴==< 查λ?-表得0.918?=；故许用压力为
[][]8260.9925 1.510 4.807107.1610P A N
?σ-==????=?
结论：该连杆的许用压力为3
6.6110KN ?
15-17 试用挠曲线近似微分方程式及边界条件推导两端均为固定支座压杆的临界力如图15-7（a ）。
解：根据上下对称知两支座处水平反力为零，其反力偶相等。因此，在杆的任何一截面x 上的弯矩为：()cr e M x P M ν=- （1）
由挠曲线近似微分力和有：''e cr EI M P νν=- （2）
令2
cr P EI κ=
得：''22e
cr
M k k P νν+= （3） 上式的通解为：sin cos e cr
M
A kx
B kx P ν=++ （4）
求导可得：'
cos sin Ak kx Bk kx ν=- （5） 由边界条件：'0;0,0x νν=== 得0,e
cr
M A B P ==- 代入（4）得 ()1cos e
cr
M kx P ν=
- （6） 再由边界条件：';0,0x L νν===得
1cos 0,sin 0kL kL -== （7） 即要求()20,1,2,kL n n π==
其最小非零解为 2kL π=
由此得该压杆临界力cr P 的欧拉公式 ()22
0.5
cr EI
P
L π=
15-18 一根长为2L ，下端固定，上端自由的等截面压杆，如图（a ），为提高其承压能力，在长度中央增设肩撑如图（b ），使其在横向不能横移。试求加固后压杆的临界力计算公式，并计算与加固前的临界力的比值。
解：当0x L ≤≤时，()()()cr M x P Q L x δν=--+- （1） 由()''
1EI M x ν=-，有 ''2211cr cr Q Q k k x L P P ννδ??
+=+
- ???
（1） ()111sin cos cr
A kx
B kx L x P θ
νδ∴=++-
- (3)
'111cos sin cr
A k kx
B k kx P θ
νδ=-++
( 4)
当2L x L ≤≤时
()()cr M x P δν=-- (5 )
由()''
2EI M x ν=-有 ''
2
2
22k k
ννδ+= (6 )
222'222sin cos cos sin A kx B kx A k kx B k kx
νδ
ν∴=++=- ( 7) (8 )
由边界条件'0;0,0x νν=== 得
11,cr
cr
L A B kP P θθδ=-=- ( 9)
由边界条件2;x L νδ==有
22sin 2cos20A L B L θθ+= ( 10)
由边界条件''
1212
;,x L νννν===有 1122sin cos sin cos A kL B kL A kL B kL +=+ ( 11)
1122cos sin cos sin cr
A k kL
B k kL A k kL B k kL P θ
-+
=- (12 )
由(11 ) (12 )联立，解得：
22sin 22cos cr cr L B kL kL kP P θ
θδ??
=-
+- ???
(13) 2cos 2cos cos 2sin cr cr L L L A L kP P kL θ
θθθθδ??=-- ?
??
(14) 将1212,,,A A B B 代入（12），整理可得
sin sin 2cos 2cr P kL L k kL L
δθθθ-?=+ （15） 又由边界条件12;0x L νν===得
11sin cos 0A kL B kL δ++= （16） 代入11,A B 得 cos sin cos 1
cr P kL kL kL
k kL δθ-?=- （17） 由式（15）（17）得
sin sin 2cos sin cos 2cos 1
L L kL kL kL
kL L kL θθθ--+
=- （18）
整理上式，得稳定方程
()cos223cos sin 0kL L kL kL θ+-= （19） 式中2
cr P k EL
=
解放程（19）可得
2.51k L
π
=
(取最小正k)
故加固后临界力计算公式为
()
22
2.51cr EI
P L π=
加固前临界力()
2'2
4cr
EI
P L π=
则
2
2
4 2.542.51
cr cr P P ==加固后加固前 即加固后临界力为加固前的2.54倍。
15-19 一等截面压杆，下端固定，上端由一弹簧常数为C （N/m ）的弹簧支持，但设失稳时的挠曲线为
??? ?
?
-=l x f y 2cos 1π
试用能量法确定它的临界力。
提示：当oA 杆挠曲时，A 点下移()dx y l
2
02
1?'=δ，P 力完成功为δP ，而当A 点侧移f 时，
弹簧力也将完成功2
2
1Cf -。
解：由 1cos 2x y f l π?
?=- ???
得 '2
''2sin
22cos
42f x y l l
f x y l l
ππππ== 应变能：()442
2''2430
2216264l EI EI l EI f U y dx f l l ππ==??=?
P 外力做功：
()442
2'22200sin 224216l l cr cr cr cr l l x f P P y dx P f dx P l l l πππδ-=-?=-??=-??
弹簧力做功：2
12
cf
压杆总势能
21
2
cr H U P cf λ=-+
由0H f ?=?，得临界力42316264cr l c EI P l ππ??
=+ ???
15-20 一两端铰支压杆AB ，在其中点C 处受有一轴向力P 。假设失稳时的挠曲线为
x l
f y π
sin
=
试按能量法求临界力。
解：sin
x
y f l
π=
'2
''2cos
sin
f x y l l
f x y l l
ππππ==- 应变能为：()442
2''2430
2224l EI EI l EI f U y dx f l l ππ==??=?
P 外力做功：
()//22'0
02
22122124
l l cr cr cr l P P y dx
l P f l π??-?-=- ???=-??
??
即22
8p cr f W P l
π=- 则压杆总势能为 4222
3
48cr EIf f H P l l
ππ=- 由0H
f
?=?临界力为 ()
222
220.5cr EI EI P l l ππ==
15-21 设压杆轴线的初弯曲可用半波正弦曲线来表示，
即
x l
a y π
sin
0=
在压力P 作用下，试证压杆挠曲线的方程式应为
l
x a y y y παsin 1110-=
+=， 式中 EJ
Pl P P cr 2
2
πα== 解：设压杆在压力P 作用下其挠度曲线为()y x ，如图示
则()
''''
0M EI y y =-
同时M py =- （1） 故可得平衡方程
()''''
00EI y y py -+= （2）
令2
h P EI =,上式化为
2
''
2
sin x y h y a l l ππ??
+=- ???
（3） 设（3）式的特解为 sin y c x l
π*
=，代入（3）式
22
2sin sin sin A x h A x a x l l l l l πππππ????
-+=- ? ?????
可导出 22222
cr
l P
C l h P ππ==- （4） 故可得出（3）式的一般解为
1cos sin sin 1y A kx B kx a x l
π
α=++
- 由边界条件()()00,0y y l == 0,0A B ∴==
故挠度曲线为 ()1s i n 1y x a x l π
α=-
少8-21和8-22
压杆的稳定性验算
建筑力学行动导向教学案例教案提纲
模块七压杆稳定性 7.1压杆稳定的概念 为了说明问题，取如图 7-2 (a)所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力 F ,使杆在直 线状态下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力， 使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰 力，贝9当杆承受的轴向压力数值不同时， 其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值 F 小于某 数值 F cr 时，在撤去干扰力以后， 杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡, (a)、(b)所示，这种原有的直线平衡状态称为稳定的平衡; 压力F 小于匚 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压 F cr 杆所受的轴向压力 F 等于或者大于 F cr 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。 压杆经常被应用于各种工程实际中，例如脚手架立杆和基坑支护的支撑杆，均承受压力， 此时必须考虑其稳定性，以免引起压杆失稳破坏。 7.2临界力和临界应力 7.2.1细长压杆临界力计算公式一一欧拉公式 从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线状态的平衡将由稳定的平衡转变为不稳 定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。当然，如果压力 超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。 所以，使压杆 在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力, 即为压杆的临界压力。下面介绍不同约束条件下压杆的临界力计算公式。 一、两端铰支细长杆的临界力计 算公式一一欧拉公式设两端铰支长度 为z 的细长杆，在轴向压力/ cr 的作 用下保持微弯平衡状态，如图 7-3所示。杆在小变形时其挠曲线近似微分方程为: 图7-2 到某一数值匚时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形 F cr 状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图 7-2 (c)、 (d)所示，则原有的直线平衡状态为 不稳定的平衡。如果力 F 继续增大，则杆继续弯曲， 产生显著的变形，甚至发生突然破坏。 上述现象表明，在轴向压力 F 由小逐渐增大的过程中，压 杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆 丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向 压力的数值，压杆由直线状态的稳定的平衡过渡到不稳定 的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界 力，用表示 / cr 当压杆所受的轴向 图7-2 如图7-2 图 7-1 F 逐渐增大 当杆承受的轴向压力数值 图7-1
《压杆稳定》问答题
压杆稳定 【例1】 压杆的压力一旦达到临界压力值，试问压杆是否就丧失了承受荷载的能力？ 解：不是。压杆的压力达到其临界压力值，压杆开始丧失稳定，将在微弯形态下保持平衡，即丧失了在直线形态下平衡的稳定性。既能在微弯形态下保持平衡，说明压杆并不是完全丧失了承载能力，只能说压杆丧失了继续增大荷载的能力。但当压杆的压力达到临界压力后，若稍微增大荷载，压杆的弯曲挠度将趋于无限，而导致压溃，丧失了承载能力。且在杆系结构中，由于某一压杆达到临界压力，引起该杆弯曲。若在增大荷载，将引起结构各杆内力的重新分配，从而导致结构的损坏，而丧失其承载能力。因此，压杆的压力达到临界压力时，是其承受荷载的“极限”状态。 【例2】 如何判别压杆在哪个平面内失稳？图示截面形状的压杆，设两端为球铰。试问，失稳时其截面分别绕哪根轴转动？ 解：（1）压杆总是在柔度大的纵向平面内失稳。 （2）因两端为球铰，各方向的μ=1，由柔度知l i μλ= （a ）x y i i =，在任意方向都可能失稳。 （b ），x y i i ＜失稳时截面将绕x 轴转动。 （c ）x y i i ＞，失稳时截面将绕y 轴转动。 【例3】 细长压杆的材料宜用高强度钢还是普通钢？为什么？ 解：对于细长压杆，其临界压力与材料的强度指标无关，而与材料的弹性模量E 有关。由于高强度钢与普通钢的E 大致相等，而其价格贵于普通钢，故细长压杆的材料宜用普通钢。 【例4】 图示均为圆形截面的细长压杆（λ≥λｐ），已知各杆所用的材料及直径d 均相同，长度如图。当压力P 从零开始以相同的速率增加时，问哪个杆首先失稳？
1.6a P P 1.3a a P 解：方法一：用公式P lj = π2 EI ／（μl ）２ 计算，由于分子相同，则μl 越大，P lj 越小，杆件越先失稳。 方法二：运用公式P lj ＝σlj A ＝π2 EA /λ2 ，分子相同，而λ＝μl /i ,i 相同,故μl 越大，λ越大，P lj 越小，杆件越先失稳。 综上可知，杆件是否先失稳，取决于μl 。 图中，杆A ：μl ＝2×a ＝2 a 杆B ：μl ＝1×1.3a ＝1.3a 杆C ：μl ＝0.7×1.6a ＝1.12a 由(μl )A ＞(μl )B ＞(μl )C 可知，杆A 首先失稳。 【例5】 松木制成的受压柱，矩形横截面为b ×h ＝100mm ×180mm ，弹性模量E ＝10GPa ， λP ＝110，杆长l ＝7m 。在xz 平面内失稳时（绕y 轴转动），杆端约束为两端固定（图a ），在xy 平面内失稳时（绕z 轴转动），杆端约束为两端铰支（图b ）。求木柱的临界应力和临界力。
工程力学第11章-压杆的稳定性问题答案
工程力学第11章-压杆的稳定性问题答案
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答（教师用书） (第11 章) 范钦珊唐静静 2006-12-18
2 第 11 章 压杆的稳定性问题 11－1 关于钢制细长压杆承受轴向压力达到临界载荷之后，还能不能继续承载有如下四 种答案，试判断哪一种是正确的。 （A ）不能。因为载荷达到临界值时屈曲位移将无限制地增加； （B ）能。因为压杆一直到折断时为止都有承载能力； （C ）能。只要横截面上的最大正应力不超过比例极限； 正确答案是 C 。 （D ）不能。因为超过临界载荷后，变形不再是弹性的。 11－2 今有两根材料、横截面尺寸及支承情况均相同的压杆．仅知长压杆的长度是短压 杆的长度的两倍。试问在什么条件下短压杆临界力是长压杆临界力的 4 倍?为什么? 解：只有当二压杆的柔度 λ ≥ λ 时，才有题中结论。这是因为，欧拉公式 F = π EI ， 只有在弹性范围才成立。这便要求 P λ ≥ λP 。 Pcr (μl ) 2 11－3 图示四根压杆的材料及横截面(直径为 d 的圆截面)均相同，试判断哪一根最容易 失稳，哪一根最不容易失稳。
习题11－3 解：计算各杆之柔度：λ= μl ，各杆之i 相同 i
3 3 （a ） λa = 5l i (μ = 1) （b ） λb （c ） λ = 4.9l i = 4.5l (μ = 0.7) (μ = 0.5) c （d ） λd i = 4l i (μ = 2) 可见 λa > λb > λc > λd ，故（a ）最容易失稳，（d ）最 不容易失稳。 11－4 三根圆截面压杆的直径均为 d =160mm ，材料均为 A3 钢，E ＝200GPa ，σs ＝ 240MPa 。已知杆的两端均为铰支，长度分别为 l 1、l 2 及 l 3，且 l 1=2l 2=4l 3 =5m 。试求各杆的临 界力。 解： i = d / 4 = 160 / 4 = 40mm ， μ = 1 λ = μl 1 1 i = 5 ×10 40 = 1.25 3 λ = μl 2 2 i μl λ = 3 3 i = 2.5 ×10 40 = 1.25 ×10 40 = 62.5 = 31.5
(整理)压杆稳定计算.
第16章压杆稳定 16.1 压杆稳定性的概念 在第二章中，曾讨论过受压杆件的强度问题，并且认为只要压杆满足了强度条件，就能保证其正常工作。但是，实践与理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是正确的，对细长压杆不能应用上述结论，因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是因为强度不够，而是由于出现了与强度问题截然不同的另一种破坏形式，这就是本章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图16-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图16-1a所示的同样粗细而比较长的杆件(图16-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 图16－1 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图16-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图16-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图16-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。
图16-3 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图16-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图16-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图16-5b所示，当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，把干扰力去掉后，小球将在新的位置O1再次处于平衡，既没有恢复原位的趋势，也没有继续偏离的趋势。因此。我们称小球原有的平衡状态为随遇平衡。 图16-5 图16-6 通过上述分析可以认识到，为了判别原有平衡状态的稳定性，必须使研究对象偏离其原有的平衡位置。因此。在研究压杆稳定时，我们也用一微小横向干扰力使处于
第10章压杆稳定
第10章 压杆稳定 10.1【学习基本要求】 1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。 2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。 3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。 4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。 5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。 6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。 7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。 8、掌握压杆的稳定条件。 9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。 10、掌握提高压杆稳定性的措施。 10.2【要点分析】 1、压杆稳定的概念 稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。 失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。 稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的．．．直线平衡状态称为稳定平衡。 不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F 继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的．．．平衡为不稳定平衡。 失稳：轴向压力F 由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。 临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。 临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力） 【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。 2、理想压杆 理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。 工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。这些缺陷不同程度的降低了压杆的稳定承载能力。 3、细长压杆的临界力 细长压杆的临界力与杆件的长度、材料的力学性能、截面的几何性质和杆件两端的约束形式有关。临界力计算公式称为欧拉公式，其统一形式为 ()2 0222c l EI l EI F r πμπ== (10.1) 【说明】①EI 为杆件的抗弯刚度；②l 0=μl 称为相当长度或计算长度，其物理意义为 各种支承条件下，细长压杆失稳时挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度，也就是挠曲线上两拐点间的长度，即各种支承情况下弹性曲线上相当于铰链的两点之间的距离；③μ称为长度系数，它反映了约束情况对临界力的影响，具体情况见表10-1。
《材料力学》第9章压杆稳定习题解
第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： " M x EIw ( )，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI P cr 。 2 l
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[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。 （a）l 1 5 5m （b）l 0.7 7 4. 9m （c）l 0.5 9 4.5m （d）l 2 2 4m （e）l 1 8 8m （f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆F最小，图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
!第八章压杆稳定性
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？ 解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。 15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。 解：(a) 柔度： 230 1500.4 λ?= = 相当长度：20.30.6l m μ=?= (b) 柔度： 150 1250.4 λ?== 相当长度：10.50.5l m μ=?= (c) 柔度： 0.770 122.50.4 λ?= = 相当长度：0.70.70.49l m μ=?= (d) 柔度： 0.590 112.50.4 λ?= = 相当长度：0.50.90.45l m μ=?= (e) 柔度： 145 112.50.4 λ?== 相当长度：10.450.45l m μ=?= 由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。即：() 22 cr EJ P l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为： () 2948 2 2 2 320010 1.610640.617.6410cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==?
() 2948 2 2 2 320010 1.610640.4531.3010cr EJ P l N π ππμ-??? ??= ==? 15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。 解： 92.6 33827452.5 p s s a λπσλ===--=== 15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr P 。若实际作用于挺杆的最大压缩力P =2.33kN ，规定稳定安全系数W n =2~5。试校核此挺杆的稳定性。 解：(1)
第十一章压杆的稳定_工程力学
第十一章 压杆的稳定 承受轴向压力的杆，称为压杆。如前所述，直杆在轴向压力的作用下，发生的是沿轴向的缩短，杆的轴线仍然保持为直线，直至压力增大到由于强度不足而发生屈服或破坏。直杆在轴向压力的作用下，是否发生屈服或破坏，由强度条件确定，这是我们已熟知的。然而，对于一些受轴向压力作用的细长杆，在满足强度条件的情况下，却会出现弯曲变形。杆在轴向载荷作用下发生的弯曲，称为屈曲，构件由屈曲引起的失效，称为失稳（丧失稳定性）。本章研究细长压杆的稳定。 §11.1 稳定的概念 物体的平衡存在有稳定与不稳定的问题。物体的平衡受到外界干扰后，将会偏离平衡状态。若在外界的微小干扰消除后，物体能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是稳定的；若在外界的微小干扰消除后物体仍不能恢复原来的平衡状态，则称该平衡是不稳定。如图11.1所示，小球在凹弧面中的平衡是稳定的，因为虚箭头所示的干扰（如微小的力或位移）消除后，小球会回到其原来的平衡位置；反之，小球在凸弧面上的平衡，受到干扰后将不能回复，故其平衡是不稳定的。 上述小球是作为未完全约束的刚体讨论的。对于受到完全约束的变形体，平衡状态也有稳定与不稳定的问题。如二端铰支的受压直杆，如图11.2(a )所示。当杆受到水平方向的微小扰动（力或位移）时，杆的轴线将偏离铅垂位置而发生微小的弯曲，如图11.2(b)所示。若轴向压力F 较小，横向的微小扰动消除后，杆的轴线可恢复原来的铅垂平衡位置，即图11.2(a )，平衡是稳定的；若轴向压力F 足够大，即使 (a ) 稳定平衡 图11.1 稳定平衡与不稳定平衡
微小扰动已消除，在力F 作用下，杆轴线的弯曲挠度也仍将越来越大，如图11.2(c)所示，直至完全丧失承载能力。在F =F cr 的临界状态下，压杆不能恢复原来的铅垂平衡位置，扰动引起的微小弯曲也不继续增大，保持微弯状态的平衡，如图11.2(b)所示，这是不稳定的平衡。如前所述，直杆在轴向载荷作用下发生的弯曲称为屈曲，发生了屈曲就意味着构件失去稳定（失稳）。压杆保持稳定与发生屈曲间的力F cr 称为压杆的临界载荷或临界压力。 建筑物中的立柱、桁架结构中的受压杆、液压装置中的活塞推杆、动力装置中的气门挺杆等都是工程中常见的压杆，细长压杆的稳定是设计中必需考虑的。 §11.2 两端铰支细长压杆的临界载荷 压杆是否能保持稳定，取决于压杆的临界载荷或临界压力F cr 。当F =F cr 时，压杆处于如图11.2(b)所示的微弯平衡状态。现将二端铰支的细长压杆重画于图11.3，用静力学的方法研究其平衡问题。 一、力的平衡 取任一截面，由力的平衡方程可知，杆在任一距原点o 为x 处的弯矩为： M (x )=-Fy 二、物理方程 讨论弹性小变形情况，有线弹性应力-应变关系： (a ) 图11.2 压杆稳定概念 (b) (c) 图11.3 二端铰支的细长压杆
第9章 压杆稳定
第九章压杆稳定 §9.1 压杆稳定的概念 §9.2 两端铰支细长压杆的临界压力 §9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 §9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式 §9.5 压杆的稳定校核 §9.6 提高压杆稳定性的措施 1. 引言 强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力 ①刚度——构件抵抗变形的能力 稳定性——构件保持原有平衡形态的能力 稳定状态 ②平衡不稳定状态 随意状态 ③失稳：构件从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的现象称为 失稳。 2．实例 cr
cr ①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。 ②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。 ③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。 ④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。 ⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。 3．稳定研究发展简史 早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。 例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定
材料力学第9章压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= 为什么并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
《材料力学》第9章压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π= 。 [习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：2 2) .(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定 10.1 压杆稳定的概念 在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。这个结论只适用于短粗压杆。而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。 1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。 为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。 图10.1 上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡
材料力学习题册答案-第9章-压杆稳定
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P ，则压杆的微弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。 A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长1m ，直径50mm 。其柔度为 ( C ) A.60； B.66.7； C .80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ P E πσ B 、λ≤s E πσ C 、λ≥ P E π σ D 、λ≥s E π σ
材料力学教案 第10章 压杆稳定分析
第10章压杆稳定 教学目的：深入理解弹性平衡稳定性的概念；熟练应用压杆的临界压力公式，掌握杆端约束对临界力的影响；压杆的分类与临界应力曲线；掌握压杆 稳定性计算的方法。 教学重点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教学难点：欧拉临界力公式、压杆的分类、压杆稳定性计算。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：稳定的概念；两端铰支细长压杆的欧拉临界力；杆端约束的影响；临界应力总图；压杆稳定性计算。 教学学时：4学时。 教学提纲： 10.1 压杆稳定的概念 在第2章中，曾讨论过受压杆件的强 度问题，并且认为只要压杆满足了强度条 件，就能保证其正常工作。但是，实践与 理论证明，这个结论仅对短粗的压杆才是 正确的，对细长压杆不能应用上述结论， 因为细长压杆丧失工作能力的原因，不是 因为强度不够，而是由于出现了与强度问 题截然不同的另一种破坏形式，这就是本图10－1 章将要讨论的压杆稳定性问题。 当短粗杆受压时(图10-1a)，在压力F由小逐渐增大的过程中，杆件始终保持原有的直线平衡形式，直到压力F达到屈服强度载荷F s(或抗压强度载荷F b)，杆件发生强度破坏时为止。但是，如果用相同的材料，做一根与图10-1a所示的
同样粗细而比较长的杆件(图10-1b)，当压力F比较小时，这一较长的杆件尚能保持直线的平衡形式，而当压力F逐渐增大至某—数值F1时，杆件将突然变弯，不再保持原有的直线平衡形式，因而丧失了承载能力。我们把受压直杆突然变弯的现象，称为丧失稳定或失稳。此时，F1可能远小于F s(或F b)。可见，细长杆在尚未产生强度破坏时，就因失稳而破坏。 失稳现象并不限于压杆，例如狭长的矩形截面梁，在横向载荷作用下，会出现侧向弯曲和绕轴线的扭转(图10-2)；受外压作用的圆柱形薄壳，当外压过大时，其形状可能突然变成椭圆(图10-3)；圆环形拱受径向均布压力时，也可能产生失稳(图10-4)。本章中，我们只研究受压杆件的稳定性。 所谓的稳定性是指杆件保持原有直线平衡形式的能力。实际上它是指平衡状态的稳定性。我们借助于刚性小球处于三种平衡状态的情况来形象地加以说明。 第一种状态，小球在凹面内的O点处于平衡状态，如图10-5a所示。先用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置，然后再把干扰力去掉，小球能回到原来的平衡位置。因此，小球原有的平衡状态是稳定平衡。 第二种状态，小球在凸面上的O点处于平衡状态，如图10-5c所示。当用外加干扰力使其偏离原有的平衡位置后，小球将继续下滚，不再回到原来的平衡位置。因此，小球原有的干衡状态是不稳定平衡。 第三种状态，小球在平面上的O点处于平衡状态，如图10-5b所示，当用外
压杆稳定
1、( )材料相同的压杆，柔度越大，稳定性越差，故它所能承受的外压力就越小。 1、( )压杆的临界应力是压杆处于临界状态维持直线平衡形式时横截面上的正应力。 2、( )材料相同，柔度相等的压杆，空心杆比实心杆的稳定性好，即空心杆所能承受的压力大。 3、对于压杆稳定，下面错误的伦述是( )。 A 、压杆的临界压力是保持稳定直线平衡的最大载荷。 B 、压杆的柔度越大，压杆越不稳定。 C 、大柔度压杆可以使用欧拉公式计算临界压力。 D 、矩形截面细长压杆，已知Iz>Ir ，计算临界载荷时，应取值Iz 为妥。 5、临界应力是压杆失稳时横截面上的应力（ ） 6、示Q235钢压杆，截面为矩形，面积为3.2*103mm 2， 已知E=200GPA ，σs =235MPA ，λp=100,λs=61.6，试计算其临界载荷。（15分） 7、( )压杆的稳定性主要与压杆的截面大小和压杆的长度有关。 一、是非判断题 9.1 所有受力构件都存在失稳的可能性。 （ × ） 9.2 在临界载荷作用下，压杆既可以在直线状态保持平衡，也可以在微弯状态下保持平衡。 （ × ） 9.3 引起压杆失稳的主要原因是外界的干扰力。 （ × ） 9.4 所有两端受集中轴向力作用的压杆都可以采用欧拉公式计算其临界压力。 （ × ） 9.5 两根压杆，只要其材料和柔度都相同，则他们的临界力和临界应力也相同。 （ × ） 9.6 临界压力是压杆丧失稳定平衡时的最小压力值。 （ ∨ ） 9.7 用同一材料制成的压杆，其柔度（长细比）愈大，就愈容易失稳。 （ ∨ ） 9.8 只有在压杆横截面上的工作应力不超过材料比例极限的前提下，才能用欧拉公式计算其 临界压力。 （ × ） 9.9 满足强度条件的压杆不一定满足稳定性条件；满足稳定性条件的压杆也不一定满足强度 条件。 （ ∨ ） 9.10 低碳钢经过冷作硬化能提高其屈服极限，因而用同样的方法也可以提高用低碳钢制成 的细长压杆的临界压力。 （ × ） 二、填空题 9.1 压杆的柔度λ综合地反映了压杆的 对临界应力的影响。 9.2 柔度越大的压杆，其临界应力越 小 ，越 容易 失稳。 9.3 影响细长压杆临界力大小的主要因素有 E ， I ， μ ， l 。 长度(l )，约束(μ)，横截 面的形状和大小（i ） 有应力集中时 2 2)(l EI F cr μπ=
第10章 压杆稳定
第10章压杆稳定 学习目标： 1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算； 2．理解压杆的临界应力总图； 3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。 对承受轴向压力的细长杆，杆内的应力在没有达到材料的许用应力时，就可能在任意外界的扰动下发生突然弯曲甚至导致破坏，致使杆件或由之组成的结构丧失正常功能，此时杆件的破坏不是由于强度不够引起的，这类问题就是压杆稳定问题。本章主要从压杆稳定的基本概念、不同支撑条件下的临界力、欧拉公式的适用条件以及提高压杆稳定性的措施方面加以介绍。 第一节压杆稳定的概念 在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。 一、问题的提出 工程结构中的压杆如果失稳，往往会引起严重的事故。例如1907年加拿大魁北克圣劳伦斯河上长达548m的大铁桥，在施工时由于两根压杆失稳而引起倒塌，造成数十人死亡。1909年，汉堡一个大型储气罐由于其支架中的一根压杆失稳而引起的倒塌。 这种细长压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，杆件招致丧失稳定破坏的压力比招致强度不足破坏的压力要少得多，同时其失稳破坏是突然性，必须防范在先。因而，对细长压杆必须进行稳定性的计算。 二、平衡状态的稳定性
压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。 如图1 10-所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于稳定的平衡状态(如图) -所示)。当轴向压力达到某一值时，加干扰力杆件变弯， 10a (1 而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡，不再恢复到原来的直线状态(如图) -所 10b (1示)，说明压杆处于不稳定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并超过一定值时，压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态下平衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用 F表示。它是压杆保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一 cr 个具体的压杆(材料、尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力 F是一个确定的数值。 cr 压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受的实际压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的平衡状态是稳定的还是不稳定的。 10- 图1 工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆，自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 同一压杆的平衡是否稳定，取决于压力F的大小。压杆保持稳定平衡所能承受的最大