数的整除问题(含答案)——第一部分-精品
数的整除问题(含答案)——第一部分-精品
2020-12-12
【关键字】方法、条件、问题、矛盾、分析
2014年5月20日星期二
【例题1】：
试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明．
考点：数的整除特征．
分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能．解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，
按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，
其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数．从而一共会有不少于40个数是3的倍数．但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，
导致矛盾，所以不能．
答：不能．
点评：此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少．
【例题2】：
找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？
考点：整除．
分析：如果最小的数是1，则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2；我们先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为5+2=7，不能被5-2=3整除；再往下就是2、3、4、6，经试算，这四个数符合要求．所以，本题的答案是（3+4）=7．
解答：这四个自然数为2、3、4、6，因为4-3=1；7÷1=7，
得出：3+4=7；
答：这四个数里中间两个数的和是7．
点评：此题应结合题意进行分析，进而进行验证，排除与题目不符的数字，继而得出正确结论．
【例题3】：
任取一个四位数乘3456，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，C表示B的各位数字之和，那么C是（）。
考点：数的整除特征．
分析：根据题意，两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能，因为3456中含有因数9，所以任何一个四位数与3456相乘的积一定能被9整除，根据能被9整除的特征可知A也能被9整除，从而B的能被9整除，C能被9整除，而A的各个数字之和总是9，那么也是9．
解答：两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能．
因为3456=384×9，所以任何一个四位数乘3456，其积一定能被9整除，
根据能被9整除的数的特征，可知其积的各位数字之和A也能被9整除，
所以A有以下八种可能取值：9，18，27，36，45，54，63，72．
从而A的各位数字之和B总是9，B的各位数字之和C也总是9．
故答案为：9．
点评：此题主要考查的是能被9整除的数的特征．
【例题4】：
有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除．所有这样的两位数的和是( )。
考点：数的整除特征．
分析：据题意可知，符合条件的两位数的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1的数，它的两个数字之和也能被4整除，如果十位数不变，则个位增加1，其和便不能整除4，因此个位数一定是9，在所有的两位数中，符合条件两位数有：39、79．所以，所求的和是39+79=118．
解答：根据题意可知，如果两位十位数不变，则个位增加1，其和便不能整除4，
因此个位数一定是9，加1后，十位数也相应改变；
在所有的两位数中，符合条件两位数有：39、79．所以，所求的和是39+79=118．
故答案为：118．
点评：完成本题要认真分析所给条件，然后据能被4整除的两位数的特征求出答案．【例题5】
找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？
解答：
如果最小的数是1，则和1一起能符合"和被差整除"这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为5+2=7，不能被5-2=3整除。再往下就是2、3、4、6，经试算，这四个数符合要求。所以，本题的答案是（3+4）=7.
【例题6】
只修改21475的某一位数字，就可知使修改后的数能被225整除，怎样修改？
解答：
因为225=259，要使修改后的数能被25整除，就要既能被25整除，又能被9整除，被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前三个数字即可，根据某数的各位数字之和是9的倍数，则这个数能被9整除的特征，因为2+1+4+7+5=19，19=18+1，19=27-8，所以不难排出以下四种改法：把1改为0；把4改为3；把1改为9；把2改为1.
【例题7】
500名士兵排成一列横队。第一次从左到右1、2、3、4、5（1至5）名报数；第二次反过来从右到左1、2、3、4、5、6（1至6）报数，既报1又报6的士兵有多少名？
解答：
若将这500名士兵从右到左依次编号，则第一次报数时，编号能被5整除的士兵报1；第二次报数时，编号能被6整除的士兵报6，所以既报1又报6的士兵的编号既能被5整除又能被6整除，即能被30整除，在1至500这500个自然数中能被30整除的数共有16个，所以既报1又报6的士兵共有16名。
【例题8】
试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答："可以"，则只要举出一种排法；如果回答："不能"，则需给出说明。
解答：
不能。假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数。从而一共有不少于40个数是3的倍数。但事实上，在1至100的自然数中有33个数是3的倍数，导致矛盾。