2019-2020年高三数学公开课教案数形结合函数人教版
2019-2020年高三数学公开课教案数形结合函数人教版
教学目的：通过本节课的学习,使学生对如何寻找数学问题中内含的几何意义,充分利用几何图
形的性质,直观、简捷地帮助解决数学问题有一定的认识和体会,对数形结合解题的思想方法有一定的了解,并能用以帮助解题。 情感与技能目标：培养学生辩证的世界观和不屈不挠的探索精神。提高学生观察、分析问题能
力和实践动手能力。 教学重点：“数形结合”解题的思想方法在解决与函数有关问题中的应用。 教学难点：“数”与“形”的转化及变量与不变量之间的关系的探索。 教学手段：多媒体辅助教学
数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。
数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性.
一练习：
1.（04天津）定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x ∈[0, ]时,f(x)=sinx ，则f()的值为（ D ）
A. - B . C. - D . 解析：依据偶函数与周期函数的特征，可以画出y=f(x)的简图
∴f(π)=f(π)= 2.设函数f(x)= ，若f(x 0)>1，则x 0
A. (－1，1)
B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－2）∪（0，＋∞）
D.（－∞，－1）∪（1，＋∞）
3.( 05上海理16) 设定义域为为R 的函数 ，则关于x 的方程 f 2(x )+bf (x )+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是 (A) b <0且c >0； (B) b >0且c <0；
(C) b <0且c =0； (D) b ≥0且c =0。
解析：f 2
(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的
实数解的充要条件是f 2(x)+bf(x)+c = 0有一根为04.已知a ≥0,函数f(x)=(x 2-2ax)e x
在[-1,1]上是单调函数,则a 的取值范围是________.
解析 令0)2()22()(2=-+-='x
x e ax x e a x x f ,解得 ,.
易知,.
由图可知,当时,函数在
上是单调函数的充要条件是, 即.
二.例题解析
例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。
图
x
?????>≤--0
,0
,1212x x x x
解：函数 y= 可视为：点A(－2，0）与点P(sinx,cosx)的连线的斜率
则y 的最值即为k AP 的最值。而点P 为单位圆上的一个动点，则当直线Ap 与单位圆相切时k AP 取得最值。
设直线AP 的方程为：y=k(x+2)，由圆心到直线的距离为1， 则有： 解之得：k=±,
故y 的最大值为： 最小值为：－
小结：从数的形和构：入手，由数想形。建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解。构造
几何模型来求解。
例题2.(xx 全国卷19) 已知c>0 设
P ：函数y = c x
在R 上单调递减 ； Q ：不等式x+∣x —2c ∣>1的解集为R. 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围。 解:
函数 y=c
在R 上单调递减 则：0
表示对任意的x∈R，函数①的图像恒在函数②的上方，在如图所示的坐标系中，作出函数①和②的图像，
如果P 不正确，且Q 正确，则 c>1
21
2
12
知 2c>1,即 c>如果P 正确，且Q 不正确，则 0 则c ∈(0, ]∪[1,+∞) 小结: 例题3：已知关于x 的方程 x 2＋( －2m)x ＋m 2 －1=0(m 是与x 无关的实数)的两个实根在区间[0， 2]内，求m 的取值范围。 解：令f(x)= x 2＋( －2m)x ＋m 2 －1，由f(x)=0的两根落在区间[0，2]内， x=－ ∈[0,2] (对称轴) x=－ ∈[0,2] (对称轴) 则有 f(－ ) ＜0 （顶点） △＞0 （判别式） f(0)≥0 （端点） f(0)≥0 （端点） f(2)≥0 （端点） f(2)≥0 （端点） 0≤－ +2m ≤4 即为 －( －m)2＋m 2－1＜0 m 2 －1≥0 4＋( －2m)2＋m 2 －1≥0 解之得：{m|1≤m ＜ } 小结： “以形辅数”，化难为易。转化为熟悉的几何模型来求解 ?????????????????????? ???????????? ? ????????? ?? 思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x 2 -4x-5| （1）在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像; （2）集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A 和B 之间的关系,并给出证明; （3）当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k 的图像位于函数f(x)图像的上方. 21.解:(1) (2)方程f(x)=5的解分别是2-，0和2+，由于f(x)在（-∞，1]和[-1，2]和[5，+∞）上单调递增，因此A=(-∞,2-]∪[2+,+∞). 由于2+<6, 2->-2, ∴BA (3)[解法一]当x ∈[-1,5]时,f(x)=-x 2 +4x+5 g(x)=k(x+3)-( -x 2 +4x+5) =x 2 +(k-4)x+(3k-5) =(x-) 2 , ∵k>2, ∴<1 ,又-1≤x ≤5, ①当-1≤<1, 即2 取x=, g(x)min == ∵16≤(k-10)2<64 , ∴ (k-10)2 -64<0 , 则g(x)min >0 ②当<-1，既k>6时，取x= -1，g(x)min =2k>0 由①②可知，当k>2时，g(x)>0，x ∈[-1，5] 因此，在[-1，5]上，y=kx+3k 的图像位于函数f(x)图像的上方. [解法二] 当x ∈[-1,5]时,f(x)=-x 2 +4x+5 ，得x 2 +(k-4)x+(3k-5)=0， 令△= (k-4)2 -4(3k-5)=0，解得 k=2或k=18, 在区间[-1，5]上，当k=2时，y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8); 当k=18时，y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点。 如图可知，由于直线y=k(x+3)过点(-3,0)，当k>2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到，因此在区间[-1，5]上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方。 小 结 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。 一．数形结合的信息转化的三个途径： （1）建立坐标系，引入参数，化静为动，以动求解； （2）转化为熟悉的几何模型来求解； （3）构造几何模型来求解。 二．常用的数学模型： （1）一元二次函数的图像； （2）一元一次函数的图形； （3）定比分点公式； （4）斜率公式； y -2 0 2 4 6 x 8 6 4 2 -2 （5）两点间的距离公式； （6）点到直线的距离公式 课后练习 1．（05福建理5） 函数f (x )a x b 的图象如图，其中 a 、b 为常数，则下列结论正确的是 ( B ) A a >1，b <0； B 00； D a >1，b >0 本题考查指数形函数的性质，分类讨论，的思想和解 决问题的能力，考查数形结合的思想，也可由图用特 值法求解。 2．（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数 和 的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个 单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函 数的表达式为（ A ） A ．??? ??≤<+≤≤-+=20,220 1,22)(x x x x x f B ．??? ??≤<-≤≤--=20,220 1,22)(x x x x x f C ．?? ? ??≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x f D ．?? ? ??≤<-≤≤-=42,3221,62)(x x x x x f 本题主要考查分段函数的图像、图像平移、反函数、采用排除法，关键是取恰当的点，本题 取端点。 3．（05重庆3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( D ) A (,2)； B (2,)； C (,2)(2,)； D ( 2,2)。 解析: 4.(05浙江理8)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是( A ) (A) 1 (B) －1 (C) 2k ＋1 (D) －2k ＋1 本题考查含参二次函数的最值、二倍角公式、换元法、转化的思想、数形结合的思想，运算能力。 5．方程sinx = 的解的个数为 （ C ） A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 6.若函数f(x)=ax 2 ＋bx ＋c , (a ≠0),若 f(x)=0的两根分别在区间（1，2）和（2，3）内，则以下不等式中正确的是（ B ） A. f(1)f(2)>0 B. f(1)f(2)<0 C. f(1)f(3)<0 D. f(2)f(3)>0 7. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且 的内角满足,则的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 解析 由于函数是一个抽象函数,因此可根据函数有关性质由题 意构造出符合条件的一个特殊函数图象,如图5所示,由图象及三角形 内角范围可知:或,故选D. 8.(05北京理13）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： x y O 图5 x y ① f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)； ② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)； ③ >0； ④ 1212()() ( )22 x x f x f x f ++< . 当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ . 9. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是____. 提示 抛物线和直线相切.方程 有相等的两实根,60632 ±=?=-=?p p . 10. 若不等式的解集是,求实数的取值范围. 解析 作函数,的图象(如图6). 由图6知,要使的解集是,应有. 11.（xx 年湖北卷）已知向量a = (x 2 , x + 1)，b = (1 – x , t 若函数f (x ) = a ·b 在区间(–1, 1)上是增函数，求t 解：依定义f (x ) = x 2 (1 – x ) + t (x + 1) = –x 3 + x 2 + tx + t . = –3x 2 + 2x + t . 若f (x )在(–1, 1)上是增函数，则在(–1, 1)上可设≥0. ∵的图象是开口向下的抛物线， ∴当且仅当= t – 1≥0，且= t – 5≥0时， 在(–1, 1)上满足＞0，即f (x )在(–1, 1)上是增函数. 故t 的取值范围是t ≥5. 评析：本小题通过向量的运算给出函数表达式，主要考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力. 12．已知两点P （0，1）和Q （2，3），如果二次函数f(x)=x 2 ＋ax ＋2的图象与线段PQ 有两个 不同的公共点，求实数a 的取值范围。 13．已知f （x ）=2x 2 -2ax+3在[-1，1]上的最小值是f （a ）． （Ⅰ）求f （a ）的表达式； （Ⅱ）当a ∈[-2，0]时，求函数g （a ）= 的值域． 14.(05辽宁22)函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （Ⅰ）用、、表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时； （Ⅲ）若关于的不等式),0[2 3 132 2 +∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系. 解：本小题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以及灵活运用数形结合的思想判 断函数之间的大小关系.考查学生的学习能力、抽象思维能力及综合运用数学基本关系解决问题的能力. （Ⅰ）解： （Ⅱ）证明：令.0)(),()()(),()()(00=''-'='-=x h x f x f x h x f x g x h 则 因为递减，所以递增，因此，当； 当.所以是唯一的极值点，且是极小值点， 可知的最小值为0，因此即 （Ⅲ）解法一：，是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,12 2≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意成立的 充要条件是 另一方面，由于满足前述题设中关于函数的条件，利用（II ）的结果可知， 的充要条件是：过点（0，）与曲线相切的直线的斜率大于， 该切线的方程为 于是的充要条件是 综上，不等式对任意成立的充要条件是 ① 显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有解、解不等式②得 ③ 因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系. （Ⅲ）解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此条件成立. 0)1(,12 2 ≥-+-+≥+b ax x b ax x 即对任意成立的充要条件是 令，于是对任意成立的充要条件是 由.0)(33 1--==-='a x x a x 得φ 当时当时，，所以，当时，取最小值.因此成立的充要条件是，即 综上，不等式对任意成立的 充要条件是① 显然，存在a 、b 使①式成立的充要条件是：不等式 ② 有解、解不等式②得 因此，③式即为b 的取值范围，①式即为实数在a 与b 所满足的关系. 数 形 结 合（函数） 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数与形是数学研究的两个重要方面，在研究过程中，数形结合既是一个重要的数学思想又是一种常用的数学方法。“数”与“形”是一对矛盾，它包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面。在高中阶段较多的是“以形助数”。一般地说：“形”是具有形象，直观的特点，易于从整体上定性地分析问题，“由数想形”便于寻求思路，化难为易；“数”则具有严谨，准确的特点，能够严格论证和定量求解，“数形对照”可以弥补“形”难以精确的弊端。“数无形时少直观，形无数时难人微"，华罗庚的诗句精辟地指出了“数形结合"对数学研究和学习的重要性。 数形结合的思想简言之就是代数问题几何化,几何问题代数化,充分体现图形的直观性,代数推理的逻辑性. 一练习： 1.（04天津）定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当 x ∈[0, ]时,f(x)=sinx ，则f()的值为（ ） A. - B . C. - D . 2.设函数f(x)= ，若f(x 0)>1，则x 0的取值范围是（ ） A. (－1，1) B.（－1，＋∞） C.（－∞，－2）∪（0，＋∞） D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） ?????>≤--0 ,0,1212x x x x 3.( 05上海理16)设定义域为为R的函数，则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c = 0有7个不同的实数解的充要条件是( ) A b<0且c>0； B b>0且c<0； C b<0且c=0； D b 0且c=0。 4.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x在[-1,1]上是单调函数,则a的取值范围是_____. 二.例题解析 例题1. 求函数y= 的最大值和最小值。 解： 小结： 例题2.(xx全国卷19) 已知c>0 设 P：函数y = c x在R上单调递减； Q：不等式x+∣x—2c∣>1的解集为R. 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。 解: 小结： 例题3：已知关于x的方程 x2＋(－2m)x＋m2－1=0(m是与x无关的实数)的两个实根在区间[0，2]内，求m的取值范围。 解： 小结： 思考题:(06上海春21)设函数f(x)=|x2-4x-5| （1）在区间[-2,6]上画出函数f(x)的图像; （2）集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2]∪[6,+∞).试判断集合A和B之间的关系,并给出证明; （3）当k>2时,求证在区间[-1,5]上,y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. 小 结 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形的转化，可以培养思维的灵活性、形象性。通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。 一．数形结合的信息转化的三个途径： 二．常用的数学模型： 课后练习 1．（05福建理5） 函数f (x )a x b 的图象如图，其中a 、b 为常数，则下 列结论正确的是 ( ) A a >1，b <0； B 0 C 00； D a >1，b >0 2．（05广东9）在同一平面直角坐标系中，函数和 的图象关于直线对称. 现将的图象沿轴向左平移2个 单位，再沿轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折 线（如图2所示），则函数的表达式为 （ ） A 22,10 ()2,022 x x f x x x ?? ???+-≤≤=+<≤ B 22,10()2,022 x x f x x x ?????--≤≤=-<≤ C D 3．（05重庆3. 若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是 ( ) A (,2) B (2,) C (,2)(2,) D (2,2) 4.(05浙江理8)已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 ( ) A 1 B －1 C 2k ＋1 D －2k ＋1 5．方程sinx =的解的个数为 （ ） A ．1 B. 2 C. 3 D. 4 6.若函数f(x)=ax 2 ＋bx ＋c , (a≠0),若 f(x)=0的两根分别在区间（1，2）和（2，3）内，则 以下不等式中正确的是 （ ） A. f(1)f(2)>0 B. f(1)f(2)<0 C. f(1)f(3)<0 D. f(2)f(3)>0 7. 已知是实数集上的奇函数,且在区间上是单调递增函数,若,且的 内角满足,则的取值范围是 ( ) A B C D 8.(05北京理13）对于函数f (x )定义域中任意的x 1，x 2（x 1≠x 2），有如下结论： ① f (x 1＋x 2)=f (x 1)·f (x 2)； ② f (x 1·x 2)=f (x 1)+f (x 2)； ③ >0； ④ 1212()() ( )22 x x f x f x f ++<. 当f (x )=l gx 时，上述结论中正确结论的序号是 . 9. 当不等式中恰好有一个解时,实数的值是____. 10.（xx 年湖北）已知向量a = (x 2 , x + 1)，b = (1 – x , t ). 若函数f (x ) = a ·b 在区间(–1, 1)上是增函数，求t 的取值范围. 11．已知两点P （0，1）和Q （2，3），如果二次函数f(x)=x 2 ＋ax ＋2的图象与线段PQ 有两个 不同的公共点，求实数a 的取值范围。 12.(05辽宁22)函数在区间（0，+∞）内可导，导函数是减函数，且 设是曲线在点（）得的切线方程，并设函数 （Ⅰ）用、、表示m ； （Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时； （Ⅲ）若关于的不等式),0[2 3 132 2 +∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系. 2019-2020年高三数学几种常见函数的导数 一、教学目标： 1．能应用由定义求导数的三个步骤推导几种常见函数的导数公式，熟记正弦余弦函数的导数． 2．掌握并能运用四个函数导数公式求函数的导数． 3．在公式（2）的推导过程中，培养学生的创新能力． 二、教学重点：利用前面已学的求导数的三个步骤对公式（1）、（2）进行证明，同时能运用这四个公式解决一些初等数学不能解决的曲线的切线问题． 教学难点：公式（2）的推导过程． 三、教学用具：投影仪 四、教学过程： （一）复习提问 l ．按定义求导数有哪几个步骤？ 2．用导数的定义求下列各函数的导数． （1）；（2）。 目的，练习（1）为推导公式（2）作准备．在求分值时，启发学生应用二项式定理展开．练习（2）推导前，首先指出这里称为常数函数，可设，说明不论自变量取何值，对应的函数值均为C ，以避免如下错误：.)()(x C x x x f x x f y ?=-?+=-?+=? 略解：1．5 5 )()()(x x x x f x x f y -?+=-?+=? .)()(5)(10)(10)(55 5 4 3 2 2 3 4 5 x x x x x x x x x x x -?+?+?+?+?+= ∴.)()(5)(10)(10)(55 4 3 2 2 3 4 x x x x x x x x x y ?+?+?+?+?=? ∴x x x x x x x x x y ??+?+?+?=??5 4234)()(5)(10)(5 4 32234)()(5)(10)(105x x x x x x x x ?+?+?+?+= 则.5))()(5)(10)(105(lim 4 4 3 2 2 3 4 x x x x x x x x x y x =?+?+?+?+='→? ∴ （二）新课 1．引言：由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限．这在运算上很麻烦，有时甚至很困难．为了能够较快地求出某些函数的导数．这一节我们将研究比较简捷的求导数的方法，本节课根据导数定义先来证明几个常见函数的导数公式． 2．几个常见函数的导数公式 公式1 （C 为常数）． 此公式前面已证，见教科书第116页．下面，我们还可以用几何图象，对公式加以说明：因为的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0． 公式1可叙述为：常数函数的导数为零． 公式2 这个公式的证明可在教师的指导下进行．由于前面已有这道题的基础，可由学生只就的情况进行独立证明．详细证明过程见教科书第117页． 注意：教学时要引导学生认真观察此公式的特点：函数的导数等于指数n 与自变量的次方的乘积． 公式3 公式4 公式3、4可叙述为：正弦函数的导数等于余弦函数，余弦函数的导数等于正弦函数前添一个负号． 3．例题精讲 例1 求下列函数的导数： （1），（2），（3） （1）解： 注意：与前面的复习提问衔接起来，说明牢记和应用导数公式解题的重要性。 （2）解： .22)2()1( 31 22x x x x y -=-='-='='-- （3）解：.21 21)()(212 1 x x x x y - =='='='- 目的：通过这一组题的详细讲解，使学生对公式（2）记得更牢固。要求学生今后能熟练地掌握它。 例2 质点运动方程是，求质点在时的速度。 解：∵。 ∴， ∴\64 5 2562 - =?-== '-=t s ；答：质点在时的速度是。 例3 求曲线在点的切线方程 分析：先要利用公式3求出函数的导函数，然后利用导函数求出曲线在点的切线的斜率，最后应用点斜式求出切线的方程。 略解：∵ ∴ ∴ ∴斜率 ∴ 切线方程为 化简得 0361236=-+-πy x 答：曲线在点的切线方程为0361236=-+-πy x 。 4．课堂练习 （1）默写四种常见的求导公式。 （2）教科书第117页练习1和练习2。 （3）求曲线在点的切线方程。 略解：481 ,32)1 (835 32 -='-='='=-x y x x y ， 切线方程为，即 5．课堂小结 四种常见函数的导数公式。 （1）（C 为常数） （2） （3） （4） 五、布置作业 1．求下列函数的导数： （1） （2）（a 为正整数） （3）（a 为常数） （4） （5） 2．教科书习题3.2第2题和第5题。 本教案参考李希亮 程武军老师的教案