第一章集合与简易逻辑
第一章集合与简易逻辑 §1.1 集合的概念及其差不多运算
基础自测
1.〔2018· 山东理，1〕满足M ?{}4321,,,a a a a ,且M {}{}21321,,,a a a a a = 的集合M 的个数是 〔 〕
A .1
B .2
C .3
D .4
答案 B
2.〔2018·成都市第一次诊断性检测〕设集合A ={}N ,21|∈≤<-x x x ，集合B ={}3,2，那么A B 等于 〔 〕 A .{}3,2,1 B .{}3,2,1,0 C .{}2 D .{}3,2,1,0,1- 答案 B
3.设全集U ={}7,5,3,1，集合M ={},|5|,1-a M ?U ，U M ={}7,5，那么a 的值为
〔 〕
A .2或-8
B .-8或-2
C .-2或8
D .2或8
答案 D
4.(2018·四川理，1)设集合U ={},5,4,3,2,1A {},3,2,1=B {},4,3,2=那么U 〔A B 〕等于 〔 〕 A .{}3,2 B .{}5,4,1 C .{}5,4 D .{}5,1 答案 B
5.设U 为全集，非空集合A 、B 满足A B ，那么以下集合为空集的是 〔 〕 A .A B B .A ( U B 〕 C .B ( U A 〕 D .〔U A 〕 〔U B 〕 答案 B
例1 假设a ,b ∈R ,集合{},,,0,,1?
?????=+b a b a b a 求b -a 的值.
解 由{}???
???=+b a b a b a ,,0,,1可知a ≠0，那么只能a +b =0，那么有以下对应关系：
????
???===+1
0b a a
b b a ①或???????
===+10a
b a
b b a ② 由①得,11
?
??=-=b a 符合题意；②无解.因此b -a =2.
例2 集合A ={}510|≤+ ???≤<-x x (1)假设A ?B ，求实数a 的取值范畴； (2)假设B ?A ，求实数a 的取值范畴； (3)A 、B 能否相等？假设能，求出a 的值；假设不能，试讲明理由. 解 A 中不等式的解集应分三种情形讨论： ①假设a =0，那么A =R ; ②假设a ＜0，那么A =;14 |??????-<≤a x a x ③假设a ＞0，那么A=,41|???? ?? ≤<-a x a x (1)当a =0时，假设A ?B ，此种情形不存在.当a ＜0时，假设A ?B ，如图， 那么,21214 ???????≤-->a a ∴?????-≤-<，218a a ∴a ＜-8. 当a ＞0时，假设A ?B ，如图， 那么,2 4211 ???????≤-≥-a a ∴.22?? ?≥≥a a ∴a ≥2.综上知，现在a 的取值范畴是a ＜-8或a ≥2. (2)当a =0时，明显B ?A ；当a ＜0时,假设B ?A ，如图， 那么，???????>--≤21214 a a ∴?????->-≥,218a a ∴-21＜a ＜0;当a ＞0，假设B ?A ，如图， 那么,2 4211 ???????≥-≤-a a ∴,22?? ?≤≤a a ∴0＜a ≤2.综上知，当B ?A 时，-.221≤ 例3〔12分〕设集合A ={},023|2=+-x x x B {}.0)5()1(2|22=-+++=a x a x x 〔1〕假设A B {},2=求实数a 的值； 〔2〕假设A B =A ，求实数a 的取值范畴； 〔3〕假设U =R ，A 〔U B 〕=A .求实数a 的取值范畴. 解 由x 2-3x +2=0得x =1或x =2,故集合A ={}.2,1 〔1〕∵A B {},2=∴2∈B ，代入B 中的方程， 得a 2+4a +3=0,∴a =-1或a =-3; 1分 当a =-1时，B ={}{},2,204|2-==-x x 满足条件； 当a =-3时，B ={}{},2044|2==+-x x x 满足条件； 综上，a 的值为-1或-3. 3分 〔2〕关于集合B ， ?=4〔a +1〕2-4(a 2-5)=8(a +3). ∵A B =A ，∴B ?A , ①当?＜0,即a ＜-3时，B =?，满足条件； ②当?=0，即a =-3时，B ={}2，满足条件； ③当?＞0，即a ＞-3时，B =A ={}2,1才能满足条件， 5分 那么由根与系数的关系得 ???-=?+-=+521)1(2212 a a 即 ,7 252?? ??? =- =a a 矛盾； 综上，a 的取值范畴是a ≤-3. 7分 〔3〕∵A 〔U B 〕=A ，∴A ?U B ，∴A ;?=B 8分 ①假设B =?，那么?＜03- ②假设B ≠?，那么a =-3时，B ={}2，A B {}2=，不合题意； a ＞-3，现在需1?B 且2.B ?将2代入B 的方程得a =-1或a =-3〔舍去〕； 将1代入B 的方程得a 2+2a -2=0.31±-=?a ∴a ≠-1且a ≠-3且a ≠-1.3± 11分 综上，a 的取值范畴是a ＜-3或-3＜a ＜-1-3或-1-3＜a ＜-1或-1＜a ＜-1+3或a ＞-1+3. 12分 例4 假设集合A 1、A 2满足A 1 A 2=A ，那么称〔A 1，A 2〕为集合A 的一种分拆，并规定：当且仅当A 1=A 2时，〔A 1，A 2〕与〔A 2，， A 1〕为集合A 的同一种分拆，那么集合A ={}3,2,1的不同分拆种数是 〔 〕 A .27 B .26 C .9 D .8 答案 A 1.设含有三个实数的集合可表示为{},2,,d a d a a ++也可表示为{},,,2aq aq a 其中a ,d ,q ∈R ,求常数q . 解 依元素的互异性可知，a ≠0,d ≠0，q ≠0,q ≠1±. 由两集合相等，有〔1〕???=+=+2 2,aq d a aq d a 或〔2〕???=+=+.2,2aq d a aq d a 由〔1〕得a +2a 〔q -1〕=aq 2,∵a ≠0, ∴q 2-2q +1=0,∴q =1(舍去). 由〔2〕得a +2a (q 2-1)=aq ,∵a ≠0,∴2q 2-q -1=0,∴q =1或q =-.2 1 ∵q ≠1, ∴q =- ,21 综上所述,q =-.2 1 2.〔1〕假设集合P ={},06|2=-+x x x S {},01|=+=ax x 且S ?P ,求a 的可取值组成的集合； 〔2〕假设集合A ={},52|≤≤-x x B {},121|-≤≤+=m x m x 且B A ?，求由m 的可取值组成的集合. 解 〔1〕P ={}.2,3-当a =0时，S =?，满足S ?P ； 当a ≠0时，方程ax +1=0的解为x =-,1 a 为满足S ?P ,可使31-=- a 或,21=-a 即a =31或a =-.21故所求集合为.21,31,0? ?? ???- 〔2〕当m +1＞2m -1，即m ＜2时，B =?，满足B ?A ；假设B ≠?，且满足B ?A ，如下图， 那么,51221,121?????≤--≥+-≤+m m m m 即?? ???≤-≥≥3,32 m m m ∴2≤m ≤3. 综上所述，m 的取值范畴为m ＜2或2≤m ≤3,即所求集合为{}.3|≤m m 3.集合A ={},R ,01)2(|2∈=+++x x a x x B {}0|R >∈=x x ，试咨询是否存在实数a ，使得A B ？?= 假设存在，求出a 的值；假设不存在，请讲明理由. 解 方法一 假设存在实数a 满足条件A B ,?=那么有 〔1〕当A ≠?时，由A B ,?=B {}0|R >∈=x x ，知集合A 中的元素为非正数， 设方程x 2+(2+a )x +1=0的两根为x 1,x 2,那么由根与系数的关系，得 ??? ??>=≥<+-=+≥-+=?01;0,0)2(04)2(2 1212x x a a x x a 解得 〔2〕当A =?时，那么有?=(2+a )2-4＜0，解得-4＜a ＜0. 综上〔1〕、〔2〕，知存在满足条件A B ?=的实数a ,其取值范畴是〔-4，+∞〕. 方法二 假设存在实数a 满足条件A B ≠?，那么方程x 2+(2+a )x +1=0的两实数根x 1，x 2至少有一个为正， 因为x 1·x 2=1＞0，因此两根x 1,x 2均为正数. 那么由根与系数的关系，得,0)2(04)2(212? ??+-=+≥-+=?＞a x x a 解得.4,24 0-≤???-<-≤≥a a a a 即或 又∵集合{}4|-≤a a 的补集为{},4|->a a ∴存在满足条件A B =?的实数a ,其取值范畴是〔-4，+∞〕. 4.设集合S ={}3210,,,A A A A ，在S 上定义运算⊕为：A i ⊕A j =A k ,其中k 为i +j 被4除的余数，i ,j =0，1，2，3,那么满 足关系式〔x ⊕x 〕⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 〔 〕 A .1 B .2 C .3 D .4 答案 B 一、选择题 1.(2018·江西理，2)定义集合运算：A *B ={}.,,|B y A x xy z z ∈∈=设A ={},2,1B {},2,0=那么集合A *B 的所有元素之和为 〔 〕 A .0 B .2 C .3 D .6 答案 D 2.〔2018· 武汉武昌区调研测试〕设集合{}{},0)3(|,1|1||<-=<-=x x x N x x M 那么 〔 〕 A .M N M = B .N N M = C .?=N M D .M N M = 答案 A 3.设全集U =R ,集合M ={x |x ≤1或x ≥3},集合P ={}R ,1|∈+< 范畴是 〔 〕 A .k ＜0或k ＞3 B .1＜k ＜2 C .0＜k ＜3 D .-1＜k ＜3 答案 C 4.(2018·安徽理，2)集合A ={}{},2,1,1,21,g 1|R --=>=∈B x x y y ，那么以下结论中正确的选项是 〔 〕 A .A B {}1,2--= B .( R A ) B （=-∞,0〕 C .A B=(0,+∞〕 D .〔R A 〕 B {}12--=， 答案 D 5. 集合P ={〔x ，y 〕||x |+|y |=1}，Q ={〔x ，y 〕|x 2 +y 2 ≤1}，那么 ( 〕 A .P Q B .P =Q C .P Q D .P ∩Q =Q 答案 A 6.(2018·长沙模拟) 集合A ={x |y =21x -,x ∈Z }，B ={y |y =x 2 +1,x ∈A },那么A ∩B 为 〔 〕 A .? B .［0，+∞〕 C .{1} D .{〔0，1〕} 答案 C 二、填空题 7.集合A ={x ||x -3|0}，B ={x |x 2 -3x +2<0}，且B ?A ，那么实数a 的取值范畴是 . 答案 ［2，+∞〕 8.(2018·福建理，16) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，假设对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a -b 、ab 、 b a ∈P 〔除 数b ≠0〕,那么称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域;数集F ={a +b 2|a ,b ∈Q }也是数域.有以下命题: ①整数集是数域; ②假设有理数集Q ?M ,那么数集M 必为数域; ③数域必为无限集; ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是 .(把你认为正确的命题的序号都填上) 答案 ③④ 三、解答题 9.集合A ={x |mx 2 -2x +3=0，m ∈R }. 〔1〕假设A 是空集，求m 的取值范畴； 〔2〕假设A 中只有一个元素，求m 的值； 〔3〕假设A 中至多只有一个元素，求m 的取值范畴. 解 集合A 是方程mx 2-2x +3=0在实数范畴内的解集. (1)∵A 是空集，∴方程mx 2-2x +3=0无解. ∴Δ=4-12m <0,即m > 3 1. 〔2〕∵A 中只有一个元素， ∴方程mx 2-2x +3=0只有一个解. 假设m =0，方程为-2x +3=0，只有一解x =2 3; 假设m ≠0，那么Δ=0，即4-12m =0,m =3 1. ∴m =0或m = 3 1. (3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，依照〔1〕、〔2〕的结果， 得m =0或m ≥ 3 1 . 10.〔1〕A ={a +2，〔a +1〕2 ，a 2 +3a +3}且1∈A ，求实数a 的值； 〔2〕M ={2，a ，b }，N ={2a ，2，b 2 }且M =N ，求a ，b 的值. 解〔1〕由题意知： a +2=1或(a +1)2=1或a 2+3a +3=1， ∴a =-1或-2或0，依照元素的互异性排除-1，-2,∴a =0即为所求. 〔2〕由题意知,???==2 2b b a a 或???==????==1022 b a a b b a 或???==00b a 或,21 41??? ???? == b a 依照元素的互异性得???==10b a 或???? ?? ? = = 2 141 b a 即为所求. 11.集合A =,R ,116|??? ???∈≥+x x x B ={},02|2<--m x x x 〔1〕当m =3时，求A 〔R B 〕； 〔2〕假设A B {}41|<<-=x x ，求实数m 的值. 解 由 ,116≥+x 得.01 5 ≤+-x x ∴-1＜x ≤5,∴A ={}51|≤<-x x . 〔1〕当m =3时，B ={}31|<<-x x ，那么R B ={}31|≥-≤x x x 或， ∴A 〔R B 〕={}53|≤≤x x . (2)∵A ={}{},41|,51|<<-=≤<-x x B A x x ∴有42-2×4-m =0,解得m =8. 现在B ={}42|<<-x x ,符合题意，故实数m 的值为8. 12.设集合A ={〔x ,y 〕|y =2x -1,x ∈N * },B ={(x ,y )|y =ax 2 -ax +a ,x ∈N * }，咨询是否存在非零整数a ,使A ∩B ≠?？假 设存在，要求出a 的值；假设不存在，讲明理由. 解 假设A ∩B ≠?，那么方程组 ???+-=-=a ax ax y x y 2 1 2有正整数解，消去y ,得ax 2-(a +2)x +a +1=0. 由Δ≥0，有〔a +2〕2-4a (a +1)≥0,解得-3 3 2332≤ ≤a .因a 为非零整数，∴a =±1， 当a =-1时，代入〔*〕， 解得x =0或x =-1, 而x ∈N *.故a ≠-1.当a =1时，代入〔*〕, 解得x =1或x =2，符合题意.故存在a =1,使得A ∩B ≠?, 现在A ∩B ={〔1，1〕，〔2，3〕}. §1.2 简易逻辑 基础自测 1.以下语句中是命题的是 〔 〕 A .|x +a | B.{}0N ∈ C .元素与集合 D .真子集 答案 B 2.〔2018·湖北理，2〕假设非空集合A 、B 、C 满足A ∪B =C ，且B 不是A 的子集，那么 〔 〕 A .〝x ∈C 〞是〝x ∈A 〞的充分条件但不是必要条件 B .〝x ∈C 〞是〝x ∈A 〞的必要条件但不是充分条件 C .〝x ∈C 〞是〝x ∈A 〞的充要条件 D .〝x ∈C 〞既不是〝x ∈A 〞的充分条件也不是〝x ∈A 〞的必要条件 答案B 3. 假设命题p 的否命题为r ，命题r 的逆命题为s ，那么s 是p 的逆命题t 的 〔 〕 A .逆否命题 B .逆命题 C .否命题 D .原命题 答案C 4. 命题 p :3 ≥ 3;q :3>4, 那 么 以 下 选 项 正 确 的 选 项 是 〔 〕 A.p ∨q 为假，p ∧q 为假，?p 为真 B. p ∨q 为真，p ∧q 为假，?p 为真 C. p∨q为假，p∧q为假，?p为假 D. p∨q为真，p∧q为假，?p为假 答案 D 5.(2018·广东理，6)命题p:所有有理数差不多上实数；命题q：正数的对数差不多上负数，那么以下命题中为真命 题的是 〔〕A.〔?p 〕∨q B.p∧q C.〔?p 〕∧〔?q〕 D. 〔?p 〕∨ 〔?q〕答案D 例1 把以下命题改写成〝假设p，那么q〞的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题. 〔1〕正三角形的三内角相等； 〔2〕全等三角形的面积相等； 〔3〕a，b，c，d是实数，假设a=b,c=d,那么a+c=b+d. 解〔1〕原命题:假设一个三角形是正三角形，那么它的三个内角相等. 逆命题：假设一个三角形的三个内角相等，那么那个三角形是正三角形〔或写成：三个内角相等的三角形是正三角形〕. 否命题：假设一个三角形不是正三角形，那么它的三个内角不全相等. 逆否命题：假设一个三角形的三个内角不全相等，那么那个三角形不是正三角形〔或写成：三个内角不全相等的三角形不是正三角形〕. (2)原命题:假设两个三角形全等，那么它们的面积相等. 逆命题：假设两个三角形面积相等，那么这两个三角形全等〔或写成：面积相等的三角形全等〕. 否命题：假设两个三角形不全等，那么这两个三角形面积不相等〔或写成：不全等的三角形面积不相等〕. 逆否命题：假设两个三角形面积不相等，那么这两个三角形不全等. 〔3〕原命题:a,b,c,d是实数，假设a=b,c=d，那么a+c=b+d. 逆命题：a,b,c,d是实数，假设a+c=b+d，那么a与b，c与d都相等. 否命题：a,b,c,d是实数，假设a与b,c与d不都相等，那么a+c≠b+d. 逆否命题：a,b,c,d是实数，假设a+c≠b+d,那么a与b,c与d不都相等. 例2 指出以下命题中，p是q的什么条件〔在〝充分不必要条件〞、〝必要不充分条件〞、〝充要条件〞、〝既不 充分也不必要条件〞中选出一种作答〕. 〔1〕在△ABC中，p：∠A=∠B，q：sin A=sin B； 〔2〕关于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6; 〔3〕非空集合A 、B 中，p ：x ∈A ∪B ，q ：x ∈B ； 〔4〕x 、y ∈R ，p ：〔x -1〕2 +〔y -2〕2 =0，q ：〔x -1〕〔y -2〕=0. 解 〔1〕在△ABC 中，∠A =∠B ?sin A =sin B ，反之，假设sin A =sin B ，因为A 与B 不可能互补〔因为三角形三个内角和为180°),因此只有A =B .故p 是q 的充要条件. (2)易知: ?p:x +y =8, ?q :x =2且y =6,明显?q ??p .但?p ?q ,即?q 是?p 的充分不必要条件,依照原 命题和逆否命题的等价性知,p 是q 的充分不必要条件. (3)明显x ∈A ∪B 不一定有x ∈B ,但x ∈B 一定有x ∈A ∪B ,因此p 是q 的必要不充分条件. (4)条件p :x =1且y =2,条件q :x =1或y =2, 因此p ?q 但q p ,故p 是q 的充分不必要条件. 例3 ab ≠0， 求证：a +b =1的充要条件是a 3 +b 3 +ab -a 2 -b 2 =0. 证明〔必要性〕 ∵a +b =1，∴a +b -1=0， ∴a 3 +b 3 +ab -a 2 -b 2 =〔a +b 〕〔a 2 -ab +b 2 〕-〔a 2 -ab +b 2 〕 =〔a +b -1〕〔a 2 -ab +b 2 〕=0. 〔充分性〕 ∵a 3 +b 3 +ab -a 2 -b 2 =0,即〔a +b -1〕〔a 2 -ab +b 2 〕=0， 又ab ≠0,∴a ≠0且b ≠0,∴a 2-ab +b 2 =〔a -4 3)22+b b 2>0, ∴a +b -1=0,即a +b =1, 综上可知,当ab ≠0时,a +b =1的充要条件是a 3 +b 3 +ab -a 2 -b 2 =0. 例4〔12分〕两个命题r (x ):sin x +cos x >m ,s (x ):x 2 +mx +1>0.假如对?x ∈R,r (x )与s (x )有且仅有一个是真命题.求实数 m 的取值范畴. 解 ∵sin x +cos x =2sin(x +)4 π ,2-≥∴当r (x )是真命题时,m <-2， 2 分 又∵对?x ∈R ，s (x )为真命题，即x 2+mx +1>0恒成立， 有?=m 2-4<0,∴-2 ∴当r (x )为真，s (x )为假时，m ＜-2, 同时m ≤-2或m ≥2，即m ≤-2 ; 6分 当r (x )为假，s (x )为真时，m ≥-2且-2 即-2≤m <2. 8分 综上，实数m 的取值范畴是m ≤-2或-2≤m <2. 12分 1. 写出以下命题的否命题，并判定原命题及否命题的真假： 〔1〕假如一个三角形的三条边都相等，那么那个三角形的三个角都相等； 〔2〕矩形的对角线互相平分且相等； 〔3〕相似三角形一定是全等三角形. 解 〔1〕否命题是：〝假如一个三角形的三条边不都相等，那么那个三角形的三个角也不都相等〞. 原命题为真命题，否命题也为真命题. 〔2〕否命题是：〝假如四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等〞 原命题是真命题，否命题是假命题. 〔3〕否命题是：〝不相似的三角形一定不是全等三角形〞. 原命题是假命题，否命题是真命题. 2.〔2018·湖南理，2〕〝|x -1|<2成立〞是〝x (x -3)<0成立〞的 〔 〕 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B 3. 证明一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 证明 充分性：假设ac <0,那么b 2-4ac >0,且 a c <0, ∴方程ax 2+bx +c =0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根. 必要性：假设一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根，那么?=b 2-4ac >0,x 1x 2=a c <0,∴ac <0. 综上所述，一元二次方程ax 2+bx +c =0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 4.a >0,设命题p :函数y =a x 在R 上单调递减，q ：不等式x +|x -2a |>1的解集为R ,假设p 和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范畴. 解 由函数y =a x 在R 上单调递减知0 那么y =?? ?<≥-). 2(2), 222a x a a x a x （不等式x +|x -2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，因此 2a >1，即a > .21即q 真?a >.2 1假设p 真q 假,那么0 假设p 假q 真，那么a ≥1,因此命题p 和q 有且只有一个 命题正确时a 的取值范畴是0 2 1 或a ≥1. 一、选择题 1.以下命题：①5>4或4>5；②9≥3；③命题〝假设a >b,那么a +c >b +c 〞的否命题；④命题〝矩形的两条对角线相等〞的逆 命 题 . 其 中 假 命 题 的 个 数 为 〔 〕 A .0 B .1 C .2 D .3 答案 B 2.〔2018·重庆理，2〕设m ，n 是整数，那么〝m ，n 均为偶数〞是〝m +n 是偶数〞的 〔 〕 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案A 3.〝x >1 ” 是 〝 x 2 >x 〞 的 〔 〕 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 4.假设命题p :x ∈,B A 那么p ?是 〔 〕 A ．A x ∈B x ?且 B ．B x A x ??或 C ．B x A x ??且 D ．B A x ∈ 答案 B 5.假设p 、q 是两个简单命题，且〝p ∨ q 〞的否定是真命题，那么必有 〔 〕A.p 真q 真 B.p 假q 假 C.p 真q 假 D.p 假q 真 答案 B 6.〔2018·安徽理，7〕〝a <0”是〝方程ax 2 +2x +1=0 至少有一个负数根〞的 〔 〕 A .必要不充分条件 B .充分不必要条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 B 二、填空题 7.设集合A ={}{},034|,4|||2>+-= 8.(2018·全国Ⅱ理，16)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分不平行.类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件. 充要条件① ； 充要条件② . (写出你认为正确的两个充要条件) 答案 两组相对侧面分不平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形等.(答案不唯独) 三、解答题 9. 求关于x 的方程x 2 -mx +3m -2=0的两根均大于1的充要条件. 解 设方程的两根分不为x 1、x 2，那么原方程有两个大于1的根的充要条件是 ??? ??>-->-+-≥--=?,0)1)(10)1()1(,0)23(421212x x x x m m （，即??? ??>++->-+≥+-=?. 01)(02)(, 0812*******x x x x x x m m ， 又∵x 1+x 2=m ,x 1x 2=3m -2, ∴??? ? ??? >>-≤+≥. 21,2,726726m m m m 或 故所求的充要条件为m ≥6+27. 10. x ,y ∈R . 求证：|x +y |=|x |+|y |成立的充要条件是xy ≥0. 证明〔充分性〕 假设xy ≥0,那么x ,y 至少有一个为0或同号.∴|x +y |=|x |+|y |一定成立. 〔必要性〕假设|x +y |=|x |+|y |,那么(x +y )2 =(|x |+|y |)2 , x 2+2xy +y 2=x 2+2|xy |+y 2 , ∴xy =|xy |,∴xy ≥0.综上，命题得证. 11.命题p :方程x 2 +mx +1=0有两个不等的负实数根；命题q :方程4x 2 +4〔m -2〕x +1=0无实数根.假设〝p 或q 〞为真命题， 〝p 且q 〞为假命题，求m 的取值范畴. 解 由p 得：,00 42? ??>>-=?m m 那么m >2. 由q 知：'?=16 (m -2)2-16=16(m 2-4m +3)<0,那么1 ∵〝p 或q 〞为真，〝p 且q 〞为假，∴p 为真，q 为假，或p 为假,q 为真. 那么???≥≤>312m m m 或或,312 ? ??<<≤m m 解得m ≥3或1 12.(1)是否存在实数p ,使〝4x +p <0”是〝x 2 -x -2>0”的充分条件？假如存在，求出p 的取值范畴； 〔2〕是否存在实数p ，使〝4x +p <0〞是〝x 2-x -2>0〞的必要条件？假如存在，求出p 的取值范畴. 解 〔1〕当x >2或x <-1时，x 2-x -2>0,由4x +p <0,得x <-,4 p 故-4p ≤-1时， 〝x <-4 p 〞?〝x <-1〞?〝x 2 -x -2>0〞. ∴p ≥4时，〝4x +p <0〞是〝x 2-x -2>0〞的充分条件. 〔2〕不存在实数p 满足题设要求. 章末检测一 一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分〕 1.(2018·北京理，1) 全集U =R ,集合A ={x |-2≤x ≤3},B ={x |x <-1或x >4},那么集合A ∩(u B )等于 〔 〕 A .{}42|<≤-x x B .{}43|≥≤x x x 或 C.{}12|-<≤-x x D .{}31|≤≤-x x 答案 D 2.p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 ( 〕 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 3.〔2018·合肥模拟〕条件p ：〔x +1〕2 >4，条件q :x >a ,且q p ??是的充分而不必要条件，那么a 的取值 范畴是 〔 〕 A .a ≥1 B .a ≤1 C .a ≥-3 D .a ≤-3 答案 A 4.〝a =2”是〝直线ax +2y =0平行于直线x +y =1”的 ( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 C 5.设集合M ={x |x >2}，P ={x |x <3},那么〝x ∈M 或x ∈P 〞是〝x ∈M ∩P 〞的 〔 〕 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案B 6.在以下电路图中，表示开关A 闭合是灯泡B 亮的必要但不充分条件的线路图是 〔 〕 答案 B 7.(2018·浙江理，3)a ,b 差不多上实数，那么〝a 2>b 2 ”是〝a >b 〞的 〔 〕 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 8.(2018·天津理，6)设集合S ={x ||x -2|>3},T ={x |a A .-3 B .-3≤a ≤-1 C .a ≤-3或a ≥-1 D .a <-3或a >-1 答案 A 9.〔2018·北京海淀模拟〕假设集合A ={1，m 2 }，集合B ={2，4}，那么〝m =2”是〝A ∩B ={4}〞的 〔 〕 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 A 10.假设数列{a n }满足221n n a a +=p 〔p 为正常数，n ∈N * 〕，那么称{a n }为〝等方比数列〞. 甲：数列{a n }是等方比数列； 乙： 数 列 {a n } 是 等 比 数 列 ， 那 么 ( 〕 A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件 C .甲是乙的充要条件 D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案B 11.〔2018·浙江理，2〕U =R ，A ={x |x >0},B ={x |x ≤-1}，那么〔A ∩U B 〕∪〔B U A 〕等于 〔 〕 A .? B .{x |x ≤0} C .{x |x >-1} D .{x |x >0或x ≤-1} 答案 D 12.命题p :假设a 、b ∈R ,那么|a |+|b |>1是|a +b |>1的充分而不必要条件.命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是 (][)∞+--∞，，31 ，那么 〔 〕 A ．〝p 或q 〞为假 B ．〝p 且q 〞为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 答案 D 二、填空题〔本大题共4小题，每题4分，共16分〕 13.设集合A ={5,log 2〔a +3〕}，集合B ={a ，b }，假设A ∩B ={2}，那么A ∪B = . 答案 {1，2，5} 14.条件p ：|x +1|>2,条件q :5x -6>x 2 ，那么非p 是非q 的 条件. 答案 充分不必要 15.不等式|x | 16.以下四个命题： ①a 是正数；②b 是负数；③a +b 是负数；④ab 是非正数. 选择其中两个作为题设，一个作为结论，写出一个逆否命题是真命题的复合命题 . 答案 假设①③那么②〔或假设①②那么④或假设①③那么④〕 三、解答题〔本大题共6小题，共74分〕 17.〔12分〕设命题p ：〔4x -3〕2 ≤1;命题q :x 2 -(2a +1)x +a (a +1)≤0,假设?p 是?q 的必要不充分条件，求实数a 的取 值范畴. 解 设A ={x |(4x -3)2≤1},B ={x |x 2 -(2a +1)x +a (a +1)≤0}, 易知A ={x | 2 1 ≤x ≤1},B ={x |a ≤x ≤a +1}. 由?p 是?q 的必要不充分条件，从而p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴,1121?? ???≥+≤ a a 故所求实数a 的取值范畴是［0， 2 1］. 18.〔12分〕集合U =R ,U A ={}06|2≠+x x x ，B ={x |x 2 +3〔a +1〕x +a 2 -1=0}，且A ∪B =A ，求实数a 的取值范畴 解 ∵A ={0，-6}，A ∪B =A ，∴B ?A . 〔1〕当B =A 时，由,10) 1(3)6(02 ???-=+-=-+a a 得a =1, 〔2〕当B A 时， ①假设B =?，那么方程x 2+3(a +1)x +a 2-1=0无实根. 即Δ<0,得9(a +1)2-4(a 2-1)<0,解得-5 13 ②假设B ≠?，那么方程x 2+3(a +1)x +a 2-1=0有相等的实根， 即Δ=0,即a =-1或a =-5 13. 由a =-1得B ={0},有B A ； 由a =- 513,得B ={5 12}不满足B A ，舍去， 综上可知，- 5 13 3 1-x |≤2，q ：x 2-2x +1-m 2 ≤0〔m >0〕，且?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范畴. 解 方法一 由x 2-2x +1-m 2≤0，得1-m ≤x ≤1+m , ∴q ?:A ={x |x >1+m 或x <1-m ,m >0},由|1-3 1 -x |≤2，得-2≤x ≤10， ∴{}210|:-<>=?x x x B p 或，∵p ?是?q 的必要而不充分条件， ∴A B ,101210??? ??≥+-≤->?m m m 解得m ≥9. 方法二 ∵p ?是? q 的必要而不充分条件， ∴q 是p 的必要而不充分条件，∴p 是q 的充分而不必要条件， 由x 2-2x +1-m 2≤0.得1-m ≤x ≤1+m (m ＞0)，∴q :B ={}m x m x +≤≤-11|. 又由|1-3 1 -x |≤2，得-2≤x ≤10， ∴p ：A ={}102|≤≤-x x .又∵p 是q 的充分而不必要条件. ∴B A ??? ? ??≥+-≤-≥101210m m m ，解得m ≥9. 20.〔12分〕求关于x 的方程ax 2 -(a 2 +a +1)x +a +1=0至少有一个正根的充要条件. 解 方法一 假设a =0，那么方程变为-x +1=0,x =1满足条件，假设a ≠0，那么方程至少有一个正根等价于 01<+a a 或? ? ? ??>++=+010 12a a a a 或???? ??? ???≥+-++=?>+>++0)1(4)1(0101222a a a a a a a a a -10. 综上：方程至少有一正根的充要条件是a >-1. 方法二 假设a =0，那么方程即为-x +1=0, ∴x =1满足条件； 假设a ≠0，∵Δ=(a 2+a +1)2-4a (a +1)=(a 2+a )2+2(a 2+a )+1-4a (a +1) =(a 2+a )2-2a (a +1)+1=(a 2+a -1)2≥0，∴方程一定有两个实根. 故而当方程没有正根时，应有,0101 2???????≥+≤++a a a a a 解得a ≤-1, ∴至少有一正根时应满足a >-1且a ≠0,综上：方程有一正根的充要条件是a >-1. 21.〔12分〕记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [])1()2)(1(<---a x a a x 的定义域为B . (1)求A ； 〔2〕假设B ?A ，求实数a 的取值范畴. 解 〔1〕由2- ,013≥++x x 得,01 1 ≥+-x x ∴x ＜-1或x ≥1，即A =〔-∞,-1〕 [1,+∞). (2)由〔x -a -1〕(2a -x ) >0,得(x -a -1)(x -2a )<0.∵a <1,∴a +1>2a , ∴B =(2a ,a +1). 又∵B ?A ,∴2a ≥1或a +1≤-1,即a ≥ 21或a ≤-2.∵a <1,∴2 1 ≤a ＜1或a ≤-2, 故B ?A 时，a 的取值范畴是(].1,212,?? ? ???-∞- 22.〔14分〕设p ：实数x 满足x 2 -4ax +3a 2 <0,其中a <0；q ：实数x 满足x 2 -x -6≤0，或x 2 +2x -8＞0，且q p ??是 的 必要不充分条件，求a 的取值范畴. 解 设A ={x |p }={x |x 2-4ax +3a 2<0,a <0}={x |3a ={x |-2≤x ≤3}∪{x |x <-4或x >2}={}.24|-≥- p q ????且,q ?. 那么{} q x ?|{}.|p x ?而{}=?q x |R B ={}{}p x x x ?-<≤-|,24|=R A ={},0,3|<≥≤a a x a x x 或 ∴{}24|-<≤-x x {},0,3|<≥≤a a x a x x 或 那么?? ?<-≤???<-≥. 0,4,0,23a a a a 或综上可得-.4032 -≤<≤a a 或 方法二由?p是?q的必要不充分条件， ∴p是q的充分不必要条件， 2≤a<0.∴A B，∴a≤-4或3a≥-2,又∵a<0, ∴a≤-4或- 3