九年级上册上册数学压轴题综合测试卷(word含答案)

九年级上册上册数学压轴题综合测试卷（word含答案）

一、压轴题

1．阅读理解：

如图，在纸面上画出了直线l与⊙O，直线l与⊙O相离，P为直线l上一动点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，连接OM、OP，当△OPM的面积最小时，称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”．

解决问题：

（1）如图1，⊙A的半径为1，A(0，2) ，分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ，切点分别是M、P、Q，下列三角形中，是x轴与⊙A的“最美三角形”的是．(填序号)

①ABM；②AOP；③ACQ

（2）如图2，⊙A的半径为1，A(0，2)，直线y=kx（k≠0）与⊙A的“最美三角形”的面积

为1

2

，求k的值．

（3）点B在x轴上，以B为圆心，3为半径画⊙B，若直线y=3x+3与⊙B的“最美三

角形”的面积小于3

，请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围．

2．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．

（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．

3．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作

Rt ABQ △，使90BAQ ∠=?，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右

侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点

E ．在射线CD 上取点

F ，使3

2

DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =

（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．

（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．

4．问题发现：

（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边

形OEBF的面积为．

问题探究：

（2）如图②，线段BQ＝10，C为BQ上点，在BQ上方作四边形ABCD，使∠ABC＝∠ADC ＝90°，且AD＝CD，连接DQ，求DQ的最小值；

问题解决：

（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，AC＝600米．其中AB、BD、BC为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB+BD+BC的最大值．

5．如图，已知矩形ABCD中，BC=2cm，AB=23cm，点E在边AB上，点F在边AD上，点E由A向B运动，连结EC、EF，在运动的过程中，始终保持EC⊥EF，△EFG为等边三角形．

（1）求证△AEF∽△BCE；

（2）设BE的长为xcm，AF的长为ycm，求y与x的函数关系式，并写出线段AF长的范围；

（3）若点H是EG的中点，试说明A、E、H、F四点在同一个圆上，并求在点E由A到B 运动过程中，点H移动的距离．

6．如图，B是O的半径OA上的一点（不与端点重合），过点B作OA的垂线交O于点C，D，连接OD，E是O上一点，CE CA

，过点C作O的切线l，连接OE并延长交直线l于点F.

（1）①依题意补全图形.

②求证：∠OFC=∠ODC．

（2）连接FB，若B是OA的中点，O的半径是4，求FB的长.

7．如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．

（1）求m ，n 的值以及函数的解析式；

（2）设抛物线y=-x 2+bx +c 与x 轴的另一交点为点C ，顶点为点D ，连结BD 、BC 、CD ，求△BDC 面积；

（3）对于（1）中所求的函数y=-x 2+bx +c ， ①当0≤x ≤3时，求函数y 的最大值和最小值；

②设函数y 在t ≤x ≤t +1内的最大值为p ，最小值为q ，若p-q =3，求t 的值．

8．抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交

于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；

②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求

c 的取值范围；

（3）若1c b =--，2727b -<

tan 2

α=

，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．

9．如图，抛物线y ＝ax 2－4ax ＋b 交x 轴正半轴于A 、B 两点，交y 轴正半轴于C ，且OB ＝OC ＝3.

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 如图1，D 为抛物线的顶点，P 为对称轴左侧抛物线上一点，连接OP 交直线BC 于G ，

连GD ．是否存在点P ，使

2GD

GO

=P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3) 如图2，将抛物线向上平移m 个单位，交BC 于点M 、N ．若∠MON ＝45°，求m 的值.

10．如图，已知抛物线2

34

y x bx c =

++与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为(1,0)-，过点C 的直线3

34y x t

=

-与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．

（1）点C 的坐标是________，b =________； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与COQ 相似？若存在，直接写出所有t 的值；若不存在，说明理由．

11．一个四边形被一条对角线分割成两个三角形，如果分割所得的两个三角形相似，我们就把这条对角线称为相似对角线.

（1）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为AD 的中点，点F ，H 分别在边AB 和CD 上，且1AF DH ==，线段CE 与FH 交于点G ，求证：EF 为四边形AFGE 的相似对角线；

（2）在四边形ABCD 中，BD 是四边形ABCD 的相似对角线，120A CBD ∠=∠=，

2AB =，6BD =CD 的长；

（3）如图，已知四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，90A ∠=，8AB =，6AD =，点E 是AB 的中点，点F 是射线AD 上的动点，若EF 是四边形AECF 的相似对角线，

请直接写出线段AF 的长度（写出3个即可）.

12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ； （1）求证：∠ADC+∠CBD ＝

1

2

∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）②；（2）±1；（3）23-＜B x ＜3或73-＜B x ＜23-- 【解析】 【分析】

（1）本题先利用切线的性质，结合勾股定理以及三角形面积公式将面积最值转化为线段最值，了解最美三角形的定义，根据圆心到直线距离最短原则解答本题．

（2）本题根据k 的正负分类讨论，作图后根据最美三角形的定义求解EF ，利用勾股定理求解AF ，进一步确定∠AOF 度数，最后利用勾股定理确定点F 的坐标，利用待定系数法求k ．

（3）本题根据⊙B 在直线两侧不同位置分类讨论，利用直线与坐标轴的交点坐标确定∠NDB 的度数，继而按照最美三角形的定义，分别以△BND ，△BMN 为媒介计算BD 长度，最后与OD 相减求解点B 的横坐标范围． 【详解】

（1）如下图所示：

∵PM 是⊙O 的切线，

∴∠PMO=90°，

当⊙O 的半径OM 是定值时，22PM OP OM =-， ∵1

=2

PMO

S

PM OM ??， ∴要使PMO △面积最小，则PM 最小，即OP 最小即可，当OP ⊥l 时，OP 最小，符合最美三角形定义．

故在图1三个三角形中，因为AO ⊥x 轴，故△AOP 为⊙A 与x 轴的最美三角形． 故选：②．

（2）①当k ＜0时，按题意要求作图并在此基础作FM ⊥x 轴，如下所示：

按题意可得：△AEF 是直线y=kx 与⊙A 的最美三角形，故△AEF 为直角三角形且AF ⊥OF ． 则由已知可得：111=1222

AEF

S

AE EF EF ??=??=，故EF=1． 在△AEF 中，根据勾股定理得：22AF AE ==．

∵A(0,2)，即OA=2，

∴在直角△AFO 中，22=2OF OA AF AF -==， ∴∠AOF=45°，即∠FOM=45°，

故根据勾股定理可得：MF=MO=1，故F(-1,1)， 将F 点代入y=kx 可得：1k =-． ②当k ＞0时，同理可得k=1． 故综上：1k =±．

（3）记直线33y x =+与x 、y 轴的交点为点D 、C ，则(3,0)D -，(0,3)C ， ①当⊙B 在直线CD 右侧时，如下图所示：

在直角△COD 中，有3OC =，3OD =tan 3OC

ODC OD

∠=

=ODC=60°． ∵△BMN 是直线33y x =+与⊙B 的最美三角形，

∴MN ⊥BM ，BN ⊥CD ，即∠BND=90°， 在直角△BDN 中，sin BN

BDN BD

∠=，

故=

sin sin 60?BN BN BD BN BDN =∠．

∵⊙B ，

∴BM =．

当直线CD 与⊙B 相切时，BN BM ==

因为直线CD 与⊙B 相离，故BN BD ＞2，所以OB=BD-OD ＞2．

由已知得：11=22BMN

S

MN BM MN ??=?=MN ＜1．

在直角△BMN 中，BN ==，此时可利用勾股定理

算得BD OB BD OD =- -

则2＜B x ＜

3

．

②当⊙B 在直线CD 左侧时，同理可得：3

-＜B x

＜2-

故综上：2＜B x B x ＜2- 【点睛】

本题考查圆与直线的综合问题，属于创新题目，此类型题目解题关键在于了解题干所给示例，涉及动点问题时必须分类讨论，保证不重不漏，题目若出现最值问题，需要利用转化思想将面积或周长最值转化为线段最值以降低解题难度，求解几何线段时勾股定理极为常见．

2．(1)作图见解析；（2）49

π. 【解析】

试题分析：（1）作出∠B 的角平分线BD ，再过X 作OX ⊥AB ，交BD 于点O ，则O 点即为⊙O 的圆心；

（2）由于⊙P 与△ABC 哪两条边相切不能确定，故应分⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和BC 相切；⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时；⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时三种情况进行讨论．

试题解析：（1）如图所示：

①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆

心，以大于2

3

GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于

点O，则点O即为⊙O的圆心．

（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是

∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC 的顶点）

∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，

∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，

∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，

时⊙P的面积就是S的最大值，

∵AC=1，BC=2，∴AB=5，

设PC=x，则PA=AC-PC=1-x

在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，

∴（1-x）2=x2+（5-2）2，

∴x=25-4；

②如图3，

同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC=y，则（2-y）2=y2+5）2，

∴51 ；

③如图4，

同理可得，当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF=z ， ∵△APF ∽△PBE ， ∴PF ：BE=AF ：PE ， ∴，

∴z=

49

． 由①、②、③可知，

49＞51-＞

∴z ＞y ＞x ，

∴⊙P 的面积S 的最大值为

π．

考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图． 3．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或6

5

AP =或3AP = 【解析】 【分析】

（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的

性质得1

2

AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定

理得3

2

QM AM x ==

，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得

AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当4

07

x <<

时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当4273

x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即2

3x ≥，同

理得AP ． 【详解】

解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x = ∴4AB x =

∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =+=

∵OD m ⊥，m l ⊥ ∴//OD l ∵OB OQ = ∴1

22

AH BH AB x === ∴2CD x = ∴3

32

FD CD x =

= （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q ∴3AP AQ x == ∵4PC = ∴64CQ x =+

过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：

∵90BAQ ∠=? ∴//OM AB ∵

O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=?

∴点O 是BQ 的中点 ∴1322

QM AM AQ x ==

= ∴39

64422

OD MC CQ QM x x ==-=+-=+ ∵15

22

OE BQ x =

= ∴95

42422

DE OD OE x x x =-=

+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =?=?+=矩形

∴13x =，25x =-（不合题意，舍去） ∴39AP x ==

∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9． （3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF = ①点P 在A 点的右侧时，如图：

∴243x x += ∴4x = ∴312AP x == ②点P 在A 点的左侧时 I.当点C 在Q 右侧时 i.当 4

07

x <<

时，如图：

∵47DE x =-，3DF x = ∴473x x -= ∴25

x =

∴635

AP x x == ii.当

42

73

x ≤<时，如图：

∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -=

∴1x =（不合题意，舍去） II. 当点C 在Q 的左侧时，即2

3

x ≥

，如图：

∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -= ∴1x = ∴33AP x ==

∴综上所述，当12AP =或6

5

AP =

或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或6

5

AP =或3AP = 【点睛】

本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题． 4．（1）4；（2）2；（3）6002+1）． 【解析】 【分析】

（1）如图①中，证明△EOB ≌△FOC 即可解决问题；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．利用四点共圆，证明∠DBQ＝∠DAC＝45°，再根据垂线段最短即可解决问题．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，首先证明AB+BC+BD＝（2+1）BD，当BD最大时，AB+BC+BD的值最大．

【详解】

解：（1）如图①中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，

∵∠EOF＝90°，

∴∠EOF＝∠BOC，

∴∠EOB＝∠FOC，

∴△EOB≌△FOC（SAS），

∴S△EOB＝S△OFC，

∴S四边形OEBF＝S△OBC＝1

4

?S正方形ABCD＝4，

故答案为：4；

（2）如图②中，连接BD，取AC的中点O，连接OB，OD．

∵∠ABD＝∠ADC＝90°，AO＝OC，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴A，B，C，D四点共圆，

∴∠DBC＝∠DAC，

∵DA＝DC，∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠DBQ＝45°，

根据垂线段最短可知，当QD⊥BD时，QD的值最短，DQ的最小值＝

2

2

BQ＝2．

（3）如图③中，将△BDC绕点D顺时针旋转90°得到△EDA，

∵∠ABC +∠ADC ＝180°，

∴∠BCD +∠BAD ＝∠EAD +BAD ＝180°， ∴B ，A ，E 三点共线， ∵DE ＝DB ，∠EDB ＝90°， ∴BE 2BD ，

∴AB +BC ＝AB +AE ＝BE 2BD ， ∴BC +BC +BD 2+1）BD ， ∴当BD 最大时，AB +BC +BD 的值最大， ∵A ，B ，C ，D 四点共圆， ∴当BD 为直径时，BD 的值最大， ∵∠ADC ＝90°， ∴AC 是直径，

∴BD ＝AC 时，AB +BC +BD 的值最大，最大值＝6002+1）． 【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 5．（1）详见解析；（2）21y 32x x =-,3

02

AF ≤≤；(3)3. 【解析】 【分析】

（1）由∠A =∠B =90°，∠AFE =∠BEC ，得△AEF ∽△BCE ；（2）由（1）△AEF ∽BCE 得

AF AE BE BC =，232

y x

x =，即2132y x x =-+，然后求函数最值；（3）连接FH ，取EF 的中点M ，证MA =ME =MF =MH ，则A 、E 、H 、F 在同一圆上；连接AH ，证∠EFH =30°由A 、E 、H 、F 在同一圆上，得∠EAH =∠EFH =30°，线段AH 即为H 移动的路径，在直角三角形ABH 中，3

602

AH sin AB =?=

，可进一步求AH. 【详解】

解：（1）在矩形ABCD 中，∠A =∠B =90°， ∴∠AEF +∠AFE =90°， ∵EF ⊥CE ， ∴∠AEF +∠BEC =90°， ∴∠AFE =∠BEC ， ∴△AEF ∽△BCE ； （2）由（1）△AEF ∽BEC 得

AF AE BE BC =，232

y x

x -=， ∴2

132

y x x =-+， ∵2132y x x =-+=213(3)22x --+， 当3x =

时，y 有最大值为

3

2

， ∴302

AF ≤≤

； （3）如图1，连接FH ，取EF 的中点M ， 在等边三角形EFG 中，∵点H 是EG 的中点， ∴∠EHF =90°， ∴ME =MF =MH ，

在直角三角形AEF 中，MA =ME =MF ， ∴MA =ME =MF =MH ， 则A 、E 、H 、F 在同一圆上； 如图2，连接AH ，

∵△EFG 为等边三角形，H 为EG 中点，∴∠EFH =30° ∵A 、E 、H 、F 在同一圆上∴∠EAH =∠EFH =30°， 如图2所示的线段AH 即为H 移动的路径，

在直角三角形ABH 中，3

602

AH sin AB =?=

， ∵AB =23 ∴AH =3，

所以点H移动的距离为3．

【点睛】

此题主要考查圆的综合问题，会证明三角形相似，会分析四点共圆，会运用二次函数分析最值，会分析最短轨迹并解直角三角形是得分的关键．

6．（1）①补图见解析；②证明见解析；（2）FB=221.

【解析】

【分析】

（1）①根据题意，补全图形即可；

②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根据垂径定理可得AD AC

=，利用等量代换可得AD CE

=，根据圆周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切线性质可得OC⊥FC，可得

∠OFC+∠FOC=90°，即可证明∠OFC=∠ODC；

（2）连接BF，作BG⊥l于G，根据OB=1

2

OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC

的长，根据垂径定理可得CD的长，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根据平行线的性质可得∠CBG=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可求出CG的长，利用勾股定理可求出BG的长，即可求出FG的长，利用勾股定理求出FB 的长即可.

【详解】

（1）①延长OE，交直线l于F，如图即为所求，

②∵OA⊥CD，OA为⊙O半径，

∴AD AC

=，

∵CE CA

=，

∴AD CE

=，

∴∠EOC=∠AOD，

∵FC是⊙O的切线，

∴OC⊥FC，

∴∠OFC+∠FOC=90°，

∴∠OFC=∠ODC.

（2）连接BF，作BG⊥l于G，

∵B是OA的中点，⊙O半径为4，

∴OB=1

2

OA=

1

2

OC=2，

∵OA ⊥CD ，

∴∠OCD=30°，BC=22OC OB -=2242-=23， ∴CD=2BC=43， 由（1）可知∠OFC=∠ODC ， ∴FC=CD=43， ∵BG ⊥l ，OC ⊥l ， ∴OC//BG ，

∴∠CBG=∠OCD=30°， ∴CG=

1

2

BC=3，BG=22BC CG -=3， ∴FG=FC+CG=53， ∴BF=22FG BG +=221.

【点睛】

本题考查切线的性质、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；30°角所对的直角边，等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键.

7．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2 【解析】 【分析】

（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ?三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=?，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；

②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答． 【详解】

解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，

用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，

11x ∴=-，23x =，

1m ∴=-，3n =，

(1,0)A ∴-，(0,3)B ，

把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=??

=?，解得2

3

b c =??=?，

∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．

（2）令2

230y x x =-++=，即2230x x --=，

解得11x =-，23x =，

∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，

1OA ∴=，3OC =，

∴对称轴为13

12

x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，

∴

BC = BD ==DC ==

222CD DB CB =+，

BCD ∴?是直角三角形，且90DBC ∠=?，

∴11

2322

S BCD BD BC =

=??=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4）， ①在0≤x ≤3范围内，

当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；

②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值

223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，

令22

(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．

2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；

3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，

此时4p =，令2

4(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，

21t = )；

或者2

4[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =

4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；

5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值

223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，

令22

23[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．

综上，1t =-或2t =． 【点睛】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．

8．（1）1；（2）①4b =-；②26c ≤<；（3）D 一定在线段AB 上，

=

CD 【解析】 【分析】

（1）根据题意顶点P （k ，h ）可将二次函数化为顶点式：()2

y a x k h =-+，又

4y k =+与抛物线交于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4，即可得出a 的值；

（2）①根据抛物线x=0和x=4时函数值相等，可得到顶点P 的横坐标，根据韦达定理结合（1）即可得到b 的值，

②根据（1）和（2）①即可得二次函数对称轴为x=2，利用点Q （0，2）关于对称轴的对称点R （4，2）可得QR=4，又QR 在直线y=2上，故令M 坐标（t ，2）（0≤t ＜2），代入二次函数即求得c 的取值范围；

（3）由c=-b-1代入抛物线方程即可化简，将抛物线绕原点逆时针旋转αα，且tanα=2，转化为将y 轴绕原点顺时针旋转α得到直线l ，且tanα=2，可得到直线l 的解析式，最后联立直线方程与抛物线方程运算求解． 【详解】

解：（1）根据题意可知1二次函数2

y ax bx c =++（a≠0）的顶点为P （k ，h ），

故二次函数顶点式为()2

y a x k h =-+，

又4y k =+与抛物线交于点A 、B ，且无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4， ∴a=1； 故答案为：a=1．

（2）①∵二次函数当0x =和4x =时的函数值相等 ∴222

b b

x a =-

=-= ∴4b =-

故答案为：4b =-．

②将点Q 向右平移4个单位得点()4,2R 当2c =时，2

42y x x =-+ 令2y =，则2242x x =-+ 解得14x =，20x =

此时()0,2M ，()4,2N ，4MN QR == ∵4QM QN +=∵QM NR = ∴4QN NR QR +==