人教版七年级数学下册：8.3实际问题与二元一次方程组教案
8.3实际问题与二元一次方程组（2）
【教学目标】
1.通过对实际问题的分析，能够建立二元一次方程组的数学模型，并利用二元一次方程组的知识求解；能根据具体的实际意义对结果进行检验.
2.经历利用二元一次方程组解决实际问题的过程，学会用数学建模的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题，体验数学建模的思想.
3.通过将二元一次方程组的有关的知识灵活用于实际问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．
【教学重、难点】
重点：如何从实际问题抽象出数学模型，列出二元一次方程组.
难点：1.从实际背景中提取数学信息，并转化成数学语言.
2.理解题意，寻找等量关系，选择适当的未知数，列出方程组.
3.依据方程组的解，描述土地划分方案.
【教学思想】导学自主
【教学过程】：
一、【情境引入】：
以大头儿子在租地过程中发现的问题为例将实际问题和数学问题联系起来，使学生感受到数学在我们的生活中无处不在，体会到学习数学知识的价值.
教学方法：情景引入式教学.
设计意图：1.拉近与学生的距离，激发学生的兴趣；2.让学生感受到数学无处不在.
二、【知识链接】
1.应用二元一次方程组解决实际问题的一般思路:
(7)答.
2.把一块长为10m，宽为5m的长方形土地分为两块小长方形土地，使得其中一块小长方形土地的面积为30m2，有哪些分割方法？请画出分割线.
分割方法：过长方形土地的______边上离一端______m处,作这条边的垂线，把这块地分为两块小长方形土地．
（教师板书并让学生做笔记）关键：确定分割线到一端对距离.
3.甲、乙两种作物的单位面积产量分别为10kg/m2，20 kg/m2，甲的种植面积为30m2，乙的种植面积为20m2，则甲种作物的总产量是______kg ,乙种作物的总产量是______kg.
变式：甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2 ，甲的种植面积为30 m2，乙的种植面积为20 m2，则甲、乙两种作物的总产量的比是________.
教学方法：课前预习完成，课上讲解交流.
设计意图： 1.回顾已学知识方法，为解决新问题铺下台阶；2. 分散难点，使学生在解决探究问题时容易上手.
三、【问题探究】
1.探究：据统计资料，茄子、西红柿的单位面积产量的比是1:
2.把一块长为20m，宽为10m的长方形土地分为两块小长方形土地，分别种植茄子和西红柿.怎样划分这块土地,?才能使茄子、西红柿的总产量的比是3:4？
处理方法：
（1）学生先齐读，再小声读题，划出关键词句，并找出问题的本质是让我们干什么.
（2）结合知识链接中，引导学生再回顾把一块长方形土地分成两块小长方形土地的方法和关键.
（3）小组合作交流，完成三个任务：①找出等量关系；②设出恰当的未知数；
③列出方程组.
设计意图：1.引导学生将复杂（不熟悉）问题向简单（熟悉）转化，培养学生解题思维与能力；2.小组合作，互学互教，体现个人价值，实现一对一指导.
茄子西红柿F E C
A D
B 图1 图2 备用图
法一：如图1，一种种植方案为：茄子、西红柿的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE .设AE =x m ，BE =y m.
列方程组2010:(210)3:4x y x y +=???=?，整理得20.23x y x y
+=??=?
解这个方程组得128x y =??=?
答：过长方形土地的长边上离一端12 m 处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种茄子，较小一块地种西红柿．
方法提升： 学生讲完解法一后，教师引导学生重新回顾解法一，并给出下面的表格，由表格可以清楚地看出各个数据和等量关系，然后提倡学生采用列表法梳理等量关系.
设计意图：让学生感受列表法的直观，体会用列表法梳理数量关系的好处，培养学生使用列表法的意识.
法二：解：如图1，一种种植方案为：茄子、西红柿的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE .设AE =x m ，BE =y m.
(31):(42)3:2÷÷=
则2010:103:2x y x y +=??=?
，整理得20.23x y x y +=??=? 解这个方程组得128x y =??=?
茄子 西红柿 未知边长
x y 种植面积
10x 10y 单位产量之比
1 2 总产量之比 10x 2×10y
答：过长方形土地的长边上离一端12 m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种茄子，较小一块地种西红柿．
法三：如图1，一种种植方案为：茄子、西红柿的种植区域分别为长方形AEFD 和BCFE.设长方形AEFD和BCFE的面积分别为x m2，y m2.
列方程组得：
2010
:23:4
x y
x y
+=?
?
?
=
?
，整理得
200
.
23
x y
x y
+=
?
?
=
?
解这个方程组得：
120
80 x
y
=
?
?
=
?
.
1201012
AE m
∴=÷=
答：过长方形土地的长边上离一端12 m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种茄子，较小一块地种西红柿．
法四：解：如图2，一种种植方案为：茄子、西红柿的种植区域分别为长方形ABFE和CDEF.设AE=x m，DE=y m.
列方程组
10
,
20:(220)3:4
x y
x y
+=
?
?
?=
?
整理得
10
.
23
x y
x y
+=
?
?
=
?
解这个方程组得
6
4 x
y
=?
?
=?
答：过长方形土地的短边上离一端6m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种茄子，较小一块地种西红柿．
法五：解：如图2，一种种植方案为：茄子、西红柿的种植区域分别为长方形ABFE和CDEF.设AE=x m，DE=y m.
(31):(42)3:2
÷÷=
列方程组
10
20:203:2
x y
x y
+=
?
?
=
?
，整理得
10
.
23
x y
x y
+=
?
?
=
?
解这个方程组得
6
4 x
y
=?
?
=?
答：过长方形土地的短边上离一端6m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种茄子，较小一块地种西红柿．
法六：如图2，一种种植方案为：茄子、西红柿的种植区域分别为长方形ABFE 和CDEF.设长方形ABFE和CDEF的面积分别为x m2，y m2.
列方程组得：2010:23:4x y x y +=???=?，整理得200.23x y x y
+=??=? 解这个方程组得：12080x y =??=?
. 120206AE m ∴=÷=
答：过长方形土地的短边上离一端6 m 处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种茄子，较小一块地种西红柿．
学生活动：小组讨论，学生讲解，自评利弊，同学纠错.
设计意图：学生交流解法，碰撞思维火花,体会一题多解的问题情境，学会从多种角度考虑问题.
2.类比延展：请加入生活中的其它实际背景（如：花坛、黑板、墙报、窗户等）对这道题进行改编并写在下面的横线上.
_____________________________________________________________________ 设计意图：让学生体会数学来源于生活，又服务于生活.
四、【当堂检测】
1.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x 人， 生产螺帽y 人，列方程组为( )
A.???==+y x y x 241590
B.???=-=x y y x 454890
C.???==+y x y x 243090
D.?
??=--=y x x y 24)15(290 2.如图，8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，大长方形的宽为60 cm ，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
法一：解：设长方形地砖的长为x cm ，宽为y cm.
列方程组得：603x y x y +=??=?，解这个方程组得：4515x y =??=?.
答：该长方形地砖的长为45cm ，宽为15cm ．
法二：解：设长方形地砖的长为x cm ，宽为y cm.
列方程组得：
60
460
x y
y
+=
?
?
=
?
，解这个方程组得：
45
15
x
y
=
?
?
=
?
答：该长方形地砖的长为45cm，宽为15cm．
法三：解：设长方形地砖的长为x cm，宽为y cm.
列方程组得：
60
23
x y
x x y
+=
?
?
=+
?
，解这个方程组得：
45
15
x
y
=
?
?
=
?
答：该长方形地砖的长为45cm，宽为15cm．
法四：解：设长方形地砖的长为x cm，宽为y cm.
列方程组得：
3
460
x y
y
=
?
?
=
?
，解这个方程组得：
45
15
x
y
=
?
?
=
?
答：该长方形地砖的长为45cm，宽为15cm．
教学方法：学生讲解，同学纠错，教师点评.
学生活动：学生独立完成，小组PK，看哪个小组的正确率最高.
设计意图：1.深化学生用二元一次方程组数学模型解决实际问题的能力；2.从不同角度观察问题，将发现不同的精彩，培养学生一题多解的意识与能力.
五、【归纳总结】
学有所思，感悟收获！
先让学生谈谈在本节课中学到了哪些内容，有哪些思想和方法，然后老师再总结.
本节课我们首先回顾了用二元一次方程组解决实际问题的一般思路，然后通过构建二元一次方程组数学模型的方法解决了本节课的所有问题，即建模思想；我们将生活问题转化为数学问题，将划分面积问题转化为划分边长问题，体现了转化思想；通过观察长方形，找出了题目中的数量关系，即数学结合思想；当题目中数量关系较多时，我们采用了列表法帮助我们分析问题；最后，一题多解，从不同角度思考问题，将带给你不同的精彩.
设计意图：归纳总结是进步的阶梯.培养学生养成归纳总结的习惯，帮助学生完善总结.
六、【布置作业】
必做题：
1.课本P102 习题8.3 4、5、7;
2.预习探究3，并完成学案中相应部分.
选做题：
改变探究中的情景，自编一道应用题并作答.
设计意图：作业自助餐，满足不同层次需求，便于老师分层评价，选做题，又可以给学生展示机会和平台.