计算机辅助几何造型技术(第四版)(万能,孙惠斌 主编)思维导图

初中几何辅助线技巧大全

初中几何辅助线技巧大全 一初中几何常见辅助线口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 注意点 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 二 由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地 去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 图1-1 B D B C

计算机辅助几何设计论文

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一、Coons曲面 1、基本概念 假定参数曲面片方程为，P(u,v),u,v[0,1]参数曲线P(u,0),P(u,1), P(0,v),P(1,v)称为曲面片的四条边界,P(0,0),P(0,1),P(1,0),P(1,1)称为曲 面片的四个角点。P(u,v)的u向和v向求偏导矢有： 分别称为u线上和v线上的切矢。边界线P(u,0)上的切矢为： 同理，Pu(u,1),Pv(0,v),Pv(1,v)也是边界线上的切矢。 曲面示意图 边界曲线P(u,0)上的法向（指参数v向）偏导矢： 称为边界曲线的跨界切矢，同理，Pv(u,1),Pu(0,v),Pu(1,v)也是边界曲线的

跨界切矢。 称为角点P(0,0)的u 向和v 向切矢，在曲面片的每个角点上都有两个这样的切 矢量。 称为混合偏导矢或扭矢，它反映了Pu 对v 的变化率或Pv 对u 的变化率。同样， 称为角点的扭矢，显然，曲面片的每个角点都有这样的扭矢。 2、曲面表示法与记号 1) 曲面上的点（x,y,z ）可表示为双参数u 和w 的函数平P(u,w)： ()()()()[]w u z w u y w u x w u P ,,,,,,= []1,0,∈w u 2) 令 w w =，则 () 0,w u P 是曲面上一条以u 为参数的曲线，称为u 向线或u 线。 w 的值由0变化到1，可得到一组u 向线，由此构成整张曲面片，类似地，参数 u 由0变化到1，可得到一组w 向线，同样构成了整张曲面片。 3) 曲面片的四条边界曲线为P(u,0),P(u,1),P(0,w)和P(1,w)。 4) 曲面片的四个角点为P(0,0),P(0,1),P(1,0)和P(1,1). 3、插值四个角点的双线性曲面 给定四个角点P(0,0),P(0,1),P(1,0)和P(1,1),则可按下式定义一双线性曲面Q(u,w): ()()()()()()()()()uw P w u P w u P w u P w u Q 1,110,111,0110,0,+-+-+--=(1.1) 显然上式满足给定的约束条件： ()()()()()()()()1,11,1,0,10,1,1,01,0,0,00,0P Q P Q P Q P Q ≡≡≡≡ 4、线性插值两条边界的曲面 给定两条边界P(u,0)和P(u,1)，可在其间构造一线性曲面()w u Q ,1：

初中数学几何辅助线技巧

几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径联。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。 内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。 要作等角添个圆，证明题目少困难。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等： 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等： 如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形： 如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。四、角平分线+平行线： 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

思维导图在教学中的运用

知识经济时代，科学技术的发展在越来越大的程度上决定着世界上每个国家和民族的兴衰存亡，也将更深刻地影响着个体的认知和行为模式，因此应从小就重视培养学生良好的科学素养，学会用科学的思维方式解决自身学习、日常生活中遇到的问题。本文尝试用思维导图策略去融入小学科学教学，探讨其对教师教学成长及学生学习的影响，并对其效果进行分析和反思，从而提供了小学科学教学中运用思维导图策略的教学案例和一些经验。一、思维导图融入小学科学课的教学理念近十几年世界各国都加大了科学课程改革的力度，我国科学课程改革是以培养科学素养为宗旨。早期的科学教育对于科学素养的形成具有决定性的作用。小学科学是一门形象性很强的学科，瑰丽多彩的自然现象，生动直观的实验，让小学生在从直观现象、感性知觉到逻辑思维、理性分析的质的飞跃的学习过程中遇到了很大的困难，如何在两者之间铺设自然过渡的台阶，提高教学成效?笔者认为由托尼巴赞所提出的思维导图是个可行的策略，它是一种视觉组织工具，其知识表征方式及过程、对知识的表达与理解，与科学教学有其共通之处，可让学生更容易掌握科学知识结构，理解其抽象概念，提升逻辑思维能力，加强记忆能力。二、思维导图融入小学科学课的教学实践笔者与南京某小学三年级的科学课教师合作，针对科学课程的特点，参考思维导图的相关理论和实验研究，设计并实施了4 节课的科学探究课，通过教师教学示范，逐步引导学生，强调合作学习，以提升科学学习的效果。（一）教学设计（二）教学过程1．思维导图的学习思维导图是对发散性思维的表达，它结合了左右脑功能，能促进思考、记忆、分析及触发灵感。它对学生而言是新的学习策略，所以在学习阶段，采用4-6 人分组的方式来合作完成思维导图，以减轻学生的认知负担。练习的时候，教师要强调画图步骤与重点：主题放在中央，尽量加上彩色图案突显主题；将次概念放在次要支干上；每一个分支只写一个关键字，字体要端正；关键字要写在支干线条上面；结合符号、图画或色彩让导图更丰富；运用交叉联结不同分支的概念。本课中首先用学生熟悉的童话故事龟兔赛跑为例，告诉学生兔子、乌龟、赛跑是主要概念，看、爬为次要概念，结合植物的分类（图1）和假期计划（图2）两张范图的展示，引导学生由认识概念与联结语开始，培养他们逐渐分辨不同层次的能力，让学生对其绘制流程有初步认识，等同学对其绘制逐渐了解时，再鼓励同学独立完成思维导图，为下一阶段学习做好准备。2．主题的引入本课主题是地球上的水，教师将向学生讲授地球上的水的分类、比例，补充一些学生并不具备或不一定能够想到的知识，如：水的物理性质、物态变化等。同时对学生进行一定的引导，如人类为什么总聚居在河流沿岸等，引发学生的探究兴趣。由于关于水的主题可以从很多个角度去研究，这就需要教师帮助学生确立一个最基本的探究方向。本课中，教师将水的主题分为水的重要性、水的节约、水污染、水文化四个分支，对学生进行分组，合作学习。3．小组的合作各小组分好后，先要对作品内容进行设计。大家要商量从哪几个方面来探究选定的主题，再进行分工，保证每个成员都有任务。然后通过浏览网站，看书等方式收集相关资料并进行分类和整理，由于之前基本已掌握构图理念和技巧，可以独立完成思维导图的制作，学生在上课的时候将导图作品带到学校来，小组成员相互探讨其概念之间的关联是否准确，内容是否完整，修改不足之处，共同构建小组导图。在这过程中，每个同学的思维和知识会得到很好的展示，通过讨论，学生之间不仅增强了小组意识，而且容易得到肯定和发现自己的不足。例如同学在进行水污染主题的研究中，列举了会出现传染病、生物死亡、植被破坏等问题，在这些概念中有没有上层的或比较普遍的概念呢?显然，危害这个概念包含了上述3 个概念，应是主要概念和层次，通过老师的适当的引导和同学的讨论，学生逐渐理解主要概念和层次的分辨。4．成果的展示各小组将完成的思维导图向其他小组展示，在此过程中，其它小组的同学可以向该组同学提问，发表自己的意见和看法，对其作品进行一定的修订。教师在此过程中加入适当的引导和建议，最终同学们将研究的主题汇总，共同完成一个较理想的思维导图。通过同学们作品的展示，学生不仅学到本小组主题的相关内容和概念，也了解了同一主题不同角度的相关内容，使学生通过

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三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1：已知AC ＝BD ，AD ⊥AC 于A ，BC ⊥BD 于B ， 求证：AD ＝BC 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） ∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， 1 9-图D C B A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O

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初中几何辅助线一克胜秘籍 等腰三角形 1?作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2?作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形 菱形 1. 连接两对角 2.做高 平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线一一把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高一一形内形外都要注意 矩形 1. 对角线 2.作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB, 就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线？ ①见中点引中位线，见中线延长一倍 在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。 ②在比例线段证明中，常作平行线。 作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件 不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立 已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用

计算机辅助几何设计大作业

Bezier曲线和B样条曲线的研究 高晶英 （内蒙古民族大学数学学院，内蒙古通辽028000） 摘要：本文简单的介绍了计算机辅助几何设计的历史背景以及计算机辅助几何中的Bezier 曲线和B样条曲线的概念. 关键词：计算机辅助几何设计；Bezier曲线；B样条曲线 THE RESEARCH OF BEZIER CURVE AND B-SPLINE CURVE Gao Jingying (Inner Mongolia University for the Nationalities College of Mathematics, Inner Mongolia Tongliao 028000 ) Abstract: This paper briefly describes the historic background of computer-aided geometric design and concept of Bezier curve and B-spine curve. Key words: Computer-aided geometric design; Bezier curve; B-spine curve 1 引言 计算机辅助几何设计（CAGD）主要研究以复杂方式自由变化的曲线曲面，即所谓的自由型曲线曲面，其中参数曲线曲面造型与形状调整是CAGD的一个重要内容。它起源于汽车制造、飞机、船舶的数学放样和外形设计，随着计算机的出现二产生并迅速发展起来的一门独立的新兴交叉学科。它与近代数学的许多分支学科，如应用数值分析、逼近论、微分几何、应用计算方法、代数几何学、高等代数、拓扑学、微分方程与偏微分方程、分形学、小波分析等，并与一些应用性较强的现代科技知识相互渗透，如计算几何、实体造型、图形图像学、数据结构、计算机程序语言、机械设计和加工制造等学科，是计算机辅助设计、计算机辅助制造等应用系统设计开发的理论基础。CAGD主要解决在计算机图像系统的环境下对几何外形信息的计算机表示、逼近以及用计算机控制、分析有关形状信息等问题。随着计算机技术的飞速发展，计算机辅助几何设计在近三十年来也得到了飞速发展。其研究工作开始于二十世纪六十年代，在几代学者的共同努力下，曲线曲面的表示和造型已形成了较为完备的几何理论体系。CAGD的造型方法和相关的理论已广泛地应用于其他技术领域，如游戏动画制作、计算机视觉、工业造型、建筑设计等。 曲线曲面造型理论是CAGD和CG（Computer Graphics：计算机图形）的重要的内容之一，即研究用计算机来表示、分析、显示和设计关于曲线曲面的相关问题自上世纪六十年代由Coon、Bezier等大师奠定其理论基础以来，已经取得了长足的发展。 工业产品的外形一般可分为两大类：一类是如平面、圆、圆锥面、柱面、球面、等解析曲面组成的外形，许多的机械零件都是归属于这一类，通过利用画法几何和机械制图就可以清楚地表示、传递它内存的形状信息。第二类通常是不能借助初等解析式来表示的曲面构成，而是以较为复杂的方式自由变化的曲线曲面，也就是通常意义下的自由形状的曲线、曲面构成，例如轮船、汽车、飞机等零部件外形。CAGD的主要研究对性是自由形状的曲线、曲面，CAGD的首要任务是建立曲线或曲面的数学模型，即利用直观有效的曲线曲面造型设计技术来对曲线曲面进行恰当的表示、清晰的显示和快速的处理。自由曲线曲面通常用参数方程来表示，相应的曲线或曲面被称为参数曲线或参数曲面。 2 Bezier曲线的研究 Bezier曲线是以“逼近”为基础, 先勾画折线多边形、然后用光滑的参数曲线去逼近这

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

作辅助线的常用方法

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出 来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如： 例1、 已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一） 将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ， 在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1） 在△BDM 中，MB+MD>BD ； （2） 在△CEN 中，CN+NE>CE ； （3） 由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2） 延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ， 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）………………………………..（2） DG+GE>DE （同上）…………………………………….（3） 由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。 一、 在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两 点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理： 例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。 因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于 在内角的位置； 证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图

运用思维导图优化小学科学教学的实践研究课题方案

运用思维导图优化小学科学教学的实践研究课题方案

附件1： 编号 洞头县2015年教育科学研究课题 申报书 课题名称：运用思维导图优化小学科学教学的实践研究课题类别：□教科规划课题□教学研究课题 √教师小课题 研究方向：□(1)学校管理□(2)课程建设 √(3)学科教学与课堂变革 □(4)德育与心理健康□(5)体卫艺 □(6)评价与质量监测□(7) 教师教育 □(8)教育技术□(9)其它 课题负责人：电话（手机全号）： 职务或职称：√是□否县级骨干教师课题负责人单位： 洞头县教育科学规划领导小组办公室制

课题组成员的姓名 课题内分 工 工作单 位 职务或职称

有关情况（含负责人）

课题负责人所在单 位意见单位盖章： 负责人签字： 年 月日 县 级 初 审 单 位 意 见单位盖章： 负责人签字： 年月日 附：研究方案

课题 运用思维导图优化小学科学教学的实践研究 名称 研究背景（针对什么现象、问题或需求，研究价值或意义）500字以内 现象及需求：小学科学课堂教师、学生都很重视做笔记，但发现部分孩子被记录所“绑架”。有的动作慢，记这没记那；有的不会自己设计笔记，照抄老师的板书；有的抄后即忘，有笔记等于无笔记……导致科学课堂的低效及浪费。思维导图仅用关键词、图形和连线等可以把一节课、一个单元的知识甚至一本书、一门课程的内容“梳理”并“压缩”成由关键信息及其联系所组成的一张图，去除了冗余杂乱的信息，保留了关键内容。不仅便于加速资料的累积量，大大减轻了记忆的负担，更将资料依据彼此间的关联性分层分类管理，使资料的储存、管理及应用更加系统化，从而提高大脑运作的效率。。因此利用思维导图一方面能展示出思维的过程,另一方面有利于理清思维脉络，对于优化学生学习有一定的效果。 研究意义：本课题研究旨在通过分析国内外思维导图研究的基础上，依据现代学习理论、教学设计理论和新课程教育教学理念，探索在不同类型的科学教学中去运用思维导图，以及运用思维导图对学生认知结构、学习兴趣、学习思维的影响，以期能更有效地推进小学科学课程教学，并以此推广到其它学科，为三导式课堂模式的实现提供一些参考和借鉴。 研究设计（研究目标与预期成果、研究内容与方法）500字以内 研究的目的：1、使学生了解思维导图的起源、思维方法、应用制作方法；掌握绘制思维导图的手段；应用思维导图记笔记、写总结、汇报成果以改善学生学习科学的方式、激发学生的学习科学兴趣、培养学生的放射性思维能力，实现与新课改的接轨。 2、教师在教学过程中借助思维导图这一技术，通过对众多知识点的自由组合或建构多种方案，培养和训练学生的创新思维，树立全局的观念，提高教学效率以及深化教学方法的改革提供最有力的工具。

初中几何辅助线大全

初中数学辅助线的添加浅谈人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线： 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下： （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。 （6）全等三角形： 全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 （7）相似三角形：

初中几何辅助线大全最全

初中几何辅助线大全-最全 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 例如：如图7-1 :已知AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD= BC 分析：欲证AD = BC,先证分别含有AD, BC的三角形全等，有几种方案：△KDC与ABCD , △XOD与△BOC’MBD与ABAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可 设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA CB它们的延长交于E点, ?/ AD丄AC BC丄BD （已知） ???/ CAE=Z DBE = 90 ° （垂直的定义） 在厶DBE与△ CAE中 E E（公共角） DBE CAE（已证） BD AC（已知） ? A DBE^A CAE （AAS ?ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等） ?ED- EA= EC— EB 即：AD= BC （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 例如：如图9-1 :在Rt△ ABC中，AB= AC, / BAC= 90°,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于E。求证：BD= 2CE

分析：要证BD = 2CE，想到要构造线段2CE，同时CE

与/ABC的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA CE交于点F。 ?/ BEX CF （已知） ???/ BEF=/ BEC= 90°（垂直的定义） 在厶BEF与厶BEC中， 1 2（已知） BE BE（公共边） BEF BEC（已证） 1 ? △ BEF^A BEC（ASA ?- CE=FE」CF （全等三角形对应边相等） 2 ?// BAC=90 BE 丄CF （已知） ???/ BAC=/ CAF= 90°/ 1 + / BDA= 90°/ 1 + Z BFC= 90° ???/ BDA=/ BFC 在厶ABM A ACF中 BAC CAF （已证） BDA BFC （已证） AB = AC（已知） ? △ ABD^A ACF （AAS ? BD= CF （全等三角形对应边相等）? BD= 2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 例如：如图11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB 分析：由AB = DC ,ZA =/D，想到如取AD的中点N，连接NB , NC,再由SAS公理有△ ABN也Q CN，故BN = CN , ZABN =ZDCN。下面只需证/ NBC =ZNCB，再取BC的中点 M，连接MN，则由SSS公理有△ NBM也A CM，所以/NBC = ZNCB。问题得证。 证明：取AD, BC的中点N、M连接NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCN

初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全

初中数学中考几何如何巧妙做辅助线大全人教版北师大初中数学中考几何如何巧妙做辅 助线大全 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。 一(添辅助线有二种情况: 1按定义添辅助线: 如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90?;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”～这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下: (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等 第三条直线 (2)等腰三角形是个简单的基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 1

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。 (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当

几何专题——辅助线

几何专题——辅助线 平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。 一、辅助线的定义： 为了证实的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线。 二、几种常用的辅助线：连结、作平行线、作垂线、延长等 注意：1）添加辅助线是手段，而不是目的，它是沟通已知和未知的桥梁，不能见到题目，就无目的地添加辅助线。一则没用、二则辅助线越多，图形越乱，反而妨碍思考问题。 2）添加辅助线时，一条辅助线只能提供一个条件 三、正确添加辅助线歌 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证实有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证实是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆 假如碰到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证实题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注重勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时把握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。几何证题难不难，关键常在辅助线； 知中点、作中线，中线处长加倍看；底角倍半角分线，有时也作处长线； 线段和差及倍分，延长截取证全等；公共角、公共边，隐含条件须挖掘； 全等图形多变换，旋转平移加折叠；中位线、常相连，出现平行就好办； 四边形、对角线，比例相似平行线；梯形问题好解决，平移腰、作高线； 两腰处长义一点，亦可平移对角线；正余弦、正余切，有了直角就方便； 非凡角、非凡边，作出垂线就解决；实际问题莫要慌，数学建模帮你忙； 圆中问题也不难，下面我们慢慢谈；弦心距、要垂弦，碰到直径周角连； 切点圆心紧相连，切线常把半径添；两圆相切公共线，两圆相交公共弦； 切割线，连结弦，两圆三圆连心线；基本图形要熟练，复杂图形多分解； 以上规律属一般，灵活应用才方便。

初中几何辅助线解题举例大全(最全版)

初中几何辅助线解题举例大全(最全版) 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、延长已知边构造三角形： 分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。 证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中 ∵?? ???=∠=∠∠=∠)()() (已知已证公共角AC BD CAE DBE E E ∴△DBE ≌△CAE （AAS ） ∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。 （当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。） 二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。 三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。 分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CE 与 ∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。 ∵BE ⊥CF （已知） D A E F 1 2 A B C D E 1 7-图O

∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义） 在△BEF 与△BEC 中， ∵ ?? ???∠=∠=∠=∠)() () (21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE= 2 1 CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知） ∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中 ?? ? ??∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC ∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE 四、取线段中点构造全等三有形。 分析：由AB ＝DC ，∠A ＝∠D ，想到如取AD 的中点N ，连接NB ，NC ，再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN ，故BN ＝CN ，∠ABN ＝∠DCN 。下面只需证∠NBC ＝∠NCB ，再取BC 的中点M ，连接MN ，则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM ，所以∠NBC ＝∠NCB 。问题得证。 证明：取AD ，BC 的中点N 、M ，连接NB ，NM ，NC 。则AN=DN ，BM=CM ，在△ABN 和△DCN 中 ∵ ?? ???=∠=∠=)() () (已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴△ABN ≌△DCN （SAS ） ∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC （全等三角形对应边、角相等） 在△NBM 与△NCM 中 ∵?? ???)()() (公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB 1 11-图D C B A M N

初中数学几何题常见辅助线作法

几何常见辅助线口诀 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径联。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB，再证明CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自已试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等 如图，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180 分析：可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。 三、三线合一构造等腰三角形 如图，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证： BD=2CE。

1_初中数学几何辅助线大全

初中几何辅助线—克胜秘籍 等腰三角形 1. 作底边上的高，构成两个全等的直角三角形，这是用得最多的一种方法； 2. 作一腰上的高； 3 .过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。梯形 1. 垂直于平行边 2. 垂直于下底，延长上底作一腰的平行线 3. 平行于两条斜边 4. 作两条垂直于下底的垂线 5. 延长两条斜边做成一个三角形菱形 1. 连接两对角 2. 做高平行四边形 1. 垂直于平行边 2. 作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形 3. 做高——形内形外都要注意矩形 1. 对角线 2. 作垂线 很简单。无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB 等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB, 就好了。还有一些关于平方的考虑勾股，A 字形等。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。也可将图对折看，对 称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线， 三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与第1页共64页

半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有 中线，延长中线等中线。 解几何题时如何画辅助线? ①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中， 如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关 问题。②在比例线段证明中，常作平行线。作平行线时往往是保留结论中的 一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。 ③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有 1、过上底的两端点向下底作垂线 2、过上底的一个端点作一腰的平行线 3、过上底的一个端点作一对角线的平行线 4、过一腰的中点作另一腰的平行线 5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交 6、作梯形的中位线 7、延长两腰使之相交 四边形平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对 角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线 平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关 键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边 上面作高线 初中数学辅助线的添加浅谈 人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，第2页共64页