概率、随机变量及分布列(一)

概率、随机变量及分布列（一）

一.知识回顾：

1．随机事件的概率

(1)随机事件的概率范围：0≤P (A )≤1；必然事件的概率为____；不可能事件的概率为___. (2)古典概型的概率：P (A )＝_________. (3)几何概型的概率：P (A )＝__________.

2．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表

为离散型随机变量（1）①p i ______0，i ＝1,2，…，n ；②∑n

i ＝1

p i ＝_____ （2）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的____________． 3．离散型随机变量的数字特征：

（1）E (X )＝__________________________为X 的均值或数学期望(简称期望)． （2）D (X )＝____________________________________叫做随机变量X 的方差． 性质 : ①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，②D (aX ＋b )＝a 2D (X )；

4.特殊分布 （1）二点分布：如果随机变量X 的分布列为

其中0

（2）超几何分布列:在含有M 件次品数的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝________________________，(k ＝0,1,2，…，

m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *.随机变量X 的分布列具有以下表格的形式．

则称随机变量二.典例分析：

例1. (1)在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________．

(2)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得函数f

(x )＝1－x ＋x ＋3－1有意义的概率为________．

例2. 一个袋子中装有7个小球，其中红球4个, 从袋子中任取4个小球 (1)求取出红球个的分布列及数学期望；

（2）若红球的编号分别为1,2,3,4，剩下3个黄球，编号分别为2,4,6 ①求取出的小球中有相同编号的概率；

②记取出的小球的最大编号为Y ，求随机变量Y 的分布列和数学期望．

课后作业：

1. 从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 落在阴影部分的概率为________．

2．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表演

节目．若选到男教师的概率为9

20

，则参加联欢会的教师共有________人．

3.在集合{x |x ＝n π6，n ＝1,2,3，…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x ＝1

2

的

概率是________．

4. 设X 是一个离散型随机变量，其分布列为

则q 的值为( ) A ．1 B ．1±22 C ．1＋22 D ．1－2

2

5.若某一射手射击所得环数X 的分布列如下：

则此射手“射击一次命中环数X ≥7”的概率是________．

6.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示.通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6和4名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率.

(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望E (X ).

7．某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每件的利润(单位:百元)与该产品首次出现故障的时间(单位:年)有关.某厂家生产甲、乙两种品牌,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件,统计数据如下:

品牌 甲 乙

首次出现 故障时间x 02 0

x>2

数量 2 3 45 5 45 每件利润

1

2 3

1.8

2.9

将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件,求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率;

(2)若该厂生产的家电均能售出,记生产一件甲品牌家电的利润为X 1,生产一件乙品牌家电的利润为X 2,分别求X 1,X 2的分布列;

(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的家电.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的家电?说明理由.

ξ －1 0 1 P 12 1－2q q 2 X 4 5 6 7 8 9 10

P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

答案： 例1.

（1）14 （2）23

例2 （2）(1)设取出的小球中有相同编号的事件为A ，编号相同可分成一个相同和两个相同．

P (A )＝2(C 12C 13＋C 2

3)＋1C 4

7＝1935

. (2)随机变量X 的可能取值为3,4,6. P (X ＝3)＝1C 47＝1

35

，

P (X ＝4)＝C 12C 34＋C 24C 47

＝2

5，

P (X ＝6)＝C 36C 47＝4

7

.

所以随机变量X 的分布列为

所以随机变量X 的数学期望E (X )＝3×135＋4×25＋6×47＝179

35.

课后作业：

1. 13

2. 120

3. 1

5

5．0.88 6. 9.解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ,则P (M )=

C 8

4C 105=

5

18

. (2)由题意知X 可取的值为:0,1,2,3,4,则

P (X=0)=C 6

5C 105=1

42, P (X=1)=C 64C 41C 105=

5

21, P (X=2)=C 63C 42C 105=1021, P (X=3)=C 62C 43C 105=521, P (X=4)=

C 61C 4

4C 10

5=1

42.

因此X 的分布列为

X 的数学期望是

E (X )=0×P (X=0)+1×P (X=1)+2×P (X=2)+3×P (X=3)+4×P (X=4)

=0+1×521+2×1021+3×521+4×1

42=2.

7. 解(1)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A ,则

P (A )=1-45

50×45

50=19

100.

(2)依题意得,X 1的分布列为

X 2的分布列为

(3)由(2)得E (X 1)=1×1

25+2×3

50+3×9

10=143

50=2.86(百元),E (X 2)=1.8×1

10+2.9×

9

10

=2.79(百元).因为E (X 1)>E (X 2),所以应生产甲品牌家电.