陕西省宝鸡市扶风县法门高中2020-2021学年高一上学期期末数学试题

法门高中2020-2021学年度第一学期高一期末检测数学试题

一：选择（每小题5分，共50分）

1. 圆221:230C x y x ++-= 和圆222:430C x y y +-+=的位置关系为( ).

A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内含 B

分别求出两个圆的圆心和半径，根据圆心距离和半径之间的关系即可得到两圆的位置关系． 分别求出两个圆的标准方程为C 1：（x+1）2+y 2=4，圆心C 1：（-1，0），半径r=2．

C 2：x 2+（y-2）2=1，圆心C 2：（0，2），半径R=1，

则12C C =，

∵r -R=2-1=1，R+r=1+2=3，

∴1＜|C 1C 2|＜3，

∴两个圆相交．

故选B ．

本题主要考查圆与圆的位置关系的判断，利用圆的标准方程求出圆心和半径是解决本题的关键．

2. 经过两点()3,9、()1,1-的直线在x 轴上的截距为( ) A. 32- B. 2

3- C. 23 D. 2

A

先由两点坐标求出直线方程，进而可求出其在x 轴上的截距.

经过两点()3,9、()1,1-的直线的斜率为()

91231k -==--， 则该直线的方程为()23923y x x =-+=+，

令0y =，则32

x =-， 即该直线在x 轴上的截距为32

-.故选：A . 3. 已点(2,)P m 在直线32x y +=上，那么m 的值是 ( )

A. 4

B. 4-

C. 8-

D. 8

B

将点代入已知直线方程，即可求出结果.

因为点(2,)P m 在直线32x y +=上，所以62m +=，解得4m =-.故选：B.

4. 过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线的方程是（ ）

A. 210x y --=

B. 210x y -+=

C. 210x y +-=

D. 210x y ++=

A

根据直线平行，先设所求直线的一般方程，再将已知点代入，即可得出结果.

因为所求直线与直线220x y --=平行，所以可设所求直线方程为20x y m -+=，

又该直线过点(1,0)，则10m +=，即1m =-，

因此所求直线方程为210x y --=.故选：A.

5. 空间直角坐标系中，点(3,4,0)A -与点(,1,6)B x -

x 等于（ ）

A. 2

B. 8-

C. 2或8-

D. 8或2 C 由空间中两点间的距离公式列方程求解即可. 由空间中两点的距离公式得

AB =

=

解得：8x =-或2x =.故选：C

本题主要考查了空间中两点间的距离公式，需要学生熟练掌握该公式.

6. 已知直线1:10l x ay ++=与直线21:22l y x =

+垂直，则a 的值是 （ ） A . 2

B. －2

C. 12

D. 12

- C 由题意得111()122

a a ?-=-∴= ，选C. 7. 直线34250x y +-=与圆2225x y +=的位置关系是（ ）

A. 相切

B. 相交但不过圆心

C. 相离

D. 相交且过圆心

A 求圆心到直线的距离，与圆的半径比较大小，即可得出结果.

因为2225x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为=5r ，

所以圆心到直线34250x y +-=的距离为220025534d r +-=

==+， 所以直线与圆相切.故选：A.

8. P A 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确．．．的是（ ）

A .

PA BC ⊥

B. BC ⊥平面PAC

C. AC PB ⊥

D. PC BC ⊥

C

由题意，PA ⊥平面ABC ，则由线面垂直的性质可得A 对；而AC BC ⊥，则由线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面PAC ，即B 对；由此推出D 对；采用反证法排除C 选项. 由题意有，PA ⊥平面ABC ，

∵BC ?平面ABC ，

∴PA BC ⊥，故A 对；

而AC BC ⊥，且PA AC A =，,PA AC ?平面PAC ，

∴BC ⊥平面PAC ，故B 对；

由BC ⊥平面PAC 可得，BC PC ⊥，故D 对；

若AC PB ⊥，因为AC BC ⊥，可得AC ⊥平面PBC ，则AC PC ⊥，与已知矛盾，故C 错；故选：C ．

9. 如图，将一个正方体的表面展开，直线AB 与直线CD 在原来正方体中的位置关系是（ ）

A. 平行

B. 相交并垂直

C. 异面

D. 相交且成60?角

D

还原正方体即可得出答案.

将正方体还原后如图，A与C重合，

连接BD，则BDC是等边三角形，

∴直线AB与直线CD在原来正方体中的位置关系是相交且成60?角，故选：D.

10. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A. 12π

B. 45π

C. 57π

D. 81π

C 由三视图可知，此组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱

故它的体积是5×π×32+

π×32×=57π故选C

二：填空（每小题5分，共25分）

11. 正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm

33先由题条件，求出正方体棱长，再由体积公式，即可求出结果.

设该正方体的棱长为a cm ，

由题意可得，2618a =，解得3a = 所以该正方体的体积为333V a ==3cm . 故答案为：3312. 两平行直线340x y +-=与2690x y +-=的距离是____________________．

1020 在直线x ＋3y －4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x ＋6y －9＝0的距离d 即为两平行直线之间的距离．d ＝2224609

1040

26??＋－＝＝＋ 13. 若直线()14:l y k x -＝与直线2l 关于点()21，对称，则直线2l 恒过定点_____．

()0,2

根据直线()14:l y k x -＝恒过定点，求其关于点()21

，的对称点，即可求解. 因为()14:l y k x -＝过定点(4,0)，

而(4,0)关于点()21

，的对称点为(0,2)， 又直线()14:l y k x -＝与直线2l 关于点()21

，对称， 所以直线2l 恒过定点(0,2).

本题主要考查了直线系过定点，直线关于点对称，点关于点对称问题，属于中档题.

14. 若直线20x y --=被圆22()4x a y -+=所截得的弦长为22，则实数a 的值为___________. 0或4

圆心到直线的距离为：()

222

2211a a d --==+-， 结合弦长公式有：2224222a ??--= ???

，

求解关于实数a 的方程可得：0a =或4a =.

点睛：圆的弦长的常用求法

(1)几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则2

2l ?? ???＝r 2－d 2； (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB |＝21k + |x 1－x 2|

15. 若l 为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ，

则α⊥β；②α⊥γ，β//γ，则α⊥β；③l //α，l ⊥β，则α⊥β.④若l //α，则l 平行于α内的所有直线.其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都．．．．．．．．填上）

②③

根据面面位置关系，可判断①错，②正确；根据面面垂直的判定定理，可判断③正确；根据线面平行的性质，可判断④错；

①若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行或相交；即①错；

②若α⊥γ，则平面γ内存在直线l α⊥，又β//γ，则平面β内存在直线//m l ，则m 也是平面α的一条垂线，因此α⊥β；即②正确；

③若l //α，则平面α内存在直线//m l ，又l ⊥β，所以m ⊥β，则α⊥β；即③正确； ④若l //α，则l 平行于α内的无数条直线，故④错；

故答案为：②③

16. 如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯子吗?请用你的计算数据说明理由.

不会溢出杯子.见解析

根据中所给数据,分别求出V 半球和V 圆锥即可求得答案.

根据中所给数据:

331414128423233

V R =?=??=半球πππ 2211160410333V R h πππ=?=??=圆锥

∴ V V <半球圆锥,所以不会溢出杯子.

本题考查了求球的体积和圆锥体积,掌握球体体积公式和圆锥体积公式是解题关键,属于基础题.

17. 求过280x y ++=和30x y ++=的交点，且与直线23100x y +-=垂直的直线方程． 32190x y -+=

解方程组可得两直线的交点，再由垂直，确定直线斜率，利用直线点斜式，求得直线方程.

解方程组28030x y x y ++=??++=?

， 得52

x y =-??=?，即交点(5,2)P -． 直线23100x y +-=的斜率23

k =-， ∴所求直线的斜率是32

. 故所求直线的方程是32(5)2

y x -=+，即32190x y -+=. 故答案为：32190x y -+=.

18. 过点(2,0)P -向圆221x y +=引切线，求切线方程

（1）20,x -+=或20x ++=

设出切线方程，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离d r =，或直线与圆联立判别式0?=，可求解.

法一：由题设所求切线的斜率为k ，

则切线方程为(2)y k x =+．

因此由方程组()22{1

y k x x y +=2＝＋． 得222(2)1x k x ++=，

即2222(1)4410k x k x k +++-=.

上述一元二次方程有一个实根，

4222164(1)(41)1240k k k k ∴?=-+-=-+=，

即k =±，

所以所求切线的方程为2)y x =+．

即20,x -+=或20x ++=.

法二：设所求切线的斜率为k ，

则切线方程为(2)y k x =+．

由于圆心到切线的距离等于圆的半径长， 所以2211k d k

==+，

解得33

k =± 所以所求切线的方程为3(2)y x =±

+． 即320,x y -+=或320x y ++=.

故答案为：320,x y -+=或320x y ++=.

过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况.

19. 如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥， AC BC ⊥，M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形．

（1）求证：DM ∥平面APC ；

（2）求证：平面ABC ⊥平面APC .

（1）见解析（2）见解析

试题分析：（1）本问考查线面平行判定定理，根据题中条件，易得//MD AP ，在分别强调面外、面内这两个条件，即可以证明线面平行；（2）本问主要考查证明面面平行，根据面面平行判定定理，应先证明线面垂直，根据题中条件AC BC ⊥，应设法证明BC AP ⊥，根据题中条件分析可证出AP ⊥ 平面ABC ，所以得到BC AP ⊥，于是根据线面垂直判定定理可得CB ⊥平面APC ，于是平面ABC ⊥平面APC .

试题解析：（1）∵D M 、分别为PB AB 、的中点，∴//MD AP ，又AP ?平面,APC MD ?平面APC ，∴//MD 平面APC .

（2）∵D 为PB 的中点，MPB △为正三角形，∴MD PB ⊥.

由（1）知//MD AP ，∴AP PB ⊥.

又AP PC ⊥，且PB PC P ?=，

∴AP ⊥平面PBC .

∵BC ?平面PBC ，∴⊥AP BC .

又AC BC ⊥，且AC

AP A =，

∴BC ⊥平面APC .

而BC ?平面ABC ，

∴平面ABC ⊥平面APC .

考点：1.线面平行；2.面面垂直.

20. 如图，三棱锥V —ABC 中， VA=VB ＝AC=BC=2，AB ＝23，VC=1．

（1）证明： AB ⊥VC ；

（2）求三棱锥V —ABC 的体积．

（1）证明见解析；（2）12

. （1）分别证明ABV 和ABC 是等腰三角形，可得答案； （2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，由1

3VDC S AB 可得答案.

（1）证明：取AB 的中点为D ，连接VD ，CD ，

∵VA=VB ，ABV ∴是等腰三角形，∴AB ⊥VD ， AC BC =，ABC ∴是等腰三角形， AB ⊥CD ，

VD CD D =，所以AB ⊥平面VDC ．又VC ?平面VDC ，故AB ⊥VC .

（2）由（1）知AB ⊥平面VDC ，

132AD AB ==，2VA ，所以221VD VA AD =-=，

2AC =，221CD AC AD =-=，又VC=1，所以VDC

等边三角形，

所以1133sin 601122VDC S VD DC =??=???=， 故三棱锥V —ABC 的体积等于1131233342

VDC S AB =??=．

本题考查了线线垂直的证明和三棱锥的体积，对于线线垂直的证明，一般是先证明线面垂直，再证线线面垂直，还可以利用勾股定理、两直线的方向向量的数量积为零，属于基础题. 21. 在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4),(2,2),(5,5)D E F ---都在圆C 上．

（1）求圆C 的方程；

（2）直线0x y m -+=与圆C 交于A B ，两点，OA OB ⊥时，求m 值．

（1）22(2)(1)25x y -+-=；（2）5m =-或4m =.

（1）由点4()2,D -，(2,2)E --坐标，设圆C 的圆心为(,1)a ，利用点4()2,D -，()5,5F 在圆上，可求得圆心坐标，进而求得半径与圆的方程；

（2）设1122(,)(,)A x y B x y ，，将直线与圆联立，得到二次方程，利用判别式0?>，韦达定理，再根据OA OB ⊥，再向量数量积为0，列出方程，解方程即可.

（1）由点4()2,D -，(2,2)E --坐标，设圆C 的圆心为(,1)a ，

则有2222(2)(14)(5)(15)a a ++-=-+-，解得 2.a =

则圆C 的半径为22(25)(15)5r -+-=

所以圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=，

（2）设1122(,)(,)A x y B x y ，，

其坐标满足方程：0x y m -+=，22(2)(1)25x y -+-=，

联立消去y ，得到方程2222(3)2200x m x m m +-+--=，

由已知可得，判别式2224(3)8(220)481960m m m m m ?=----=--+>，

从而2121222032

m m x x m x x --+=-=， 由于OA OB ⊥，可得12120,x x y y +=

又1122y x m y x m =+=+，，

所以212122()0x x m x x m +++=，

即22220(3)0m m m m m --+-+=，2

200m m

解得5m =-或4m =，均满足0?>，

故5m =-或4m =. (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．