高一数学：对数函数(导学案含答案)
第十节 对数函数
一、基础知识
1．对数函数的概念
函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0， ＋∞).
y ＝log a x 的3个特征 (1)底数a >0，且a ≠1； (2)自变量x >0； (3)函数值域为R.
2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质
定义域：(0，＋∞)
3．反函数
指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．
二、常用结论
对数函数图象的特点
(1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1
a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象．
(2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a
x (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称．
(3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0 考点一 对数函数的图象及应用 [典例] (1)函数y ＝lg|x －1|的图象是( ) (2)已知当0 4 时，有x [解析] (1)因为y ＝lg|x －1|＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ lg (x －1)，x >1， lg (1－x )，x <1. 当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． (2)若x 4时成立，则0 由图象知 14 ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 16 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫116，1. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫116，1 [变透练清] 1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )＝2log 4(1－x )，则函数f (x )的大致图象是( ) 解析：选C 函数f (x )＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；函数f (x )＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.故选C. 2．已知函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ＞0， 3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则 实数a 的取值范围是________． 解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a ＞1. 答案：(1，＋∞) 3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2 ⎭⎫0，1 2恒成立，求实数a 的取值范围． 解：设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝⎛⎭⎫0，1 2时，不等式x 2 ⎫0，1 2上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立； 当0 要使x 2 2， 所以有⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以1 16≤a <1. 即实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫1 16，1. 考点二 对数函数的性质及应用 考法(一) 比较对数值的大小 [典例] 已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 12 1 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b [解析] 因为c ＝log 12 1 3 ＝log 23>log 2e ＝a ， 所以c ＞a . 因为b ＝ln 2＝1 log 2e ＜1＜log 2e ＝a ，所以a ＞b . 所以c ＞a ＞b . [答案] D 考法(二) 解简单对数不等式 [典例] 已知不等式log x (2x 2＋1) [解析] 原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0 x >1，2x 2＋1<3x <1 ②，解不等式组①得13 2，不 等式组②无解，所以实数x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫ 13，12. [答案] ⎝⎛⎭⎫ 13，12 考法(三) 对数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)，若f (1)＝1，求f (x )的单调区间． [解] 因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1， 因此a ＋5＝4，a ＝－1， 这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)． 由－x 2＋2x ＋3>0，得－1 则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． [题组训练] 1．已知a ＝2- 13 ，b ＝log 213，c ＝log 12 1 3 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 解析：选C 0 -1 3 <20＝1，b ＝log 213 1 3 ＝log 23>1，∴c >a >b . 2．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1 2 B.⎝⎛⎦⎤0，1 2 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A ∵－1 2 . 3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3,4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3,4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ≤3，9a －3>0， 解得a >13 . 答案：⎝⎛⎭⎫13，＋∞ [课时跟踪检测] A 级 1．函数y ＝log 3(2x －1)＋1的定义域是( ) A ．[1,2] B ．[1,2) C.⎣⎡⎭ ⎫2 3，＋∞ D.⎝⎛⎭ ⎫2 3，＋∞ 解析：选C 由⎩ ⎪⎨⎪⎧ log 3(2x －1)＋1≥0， 2x －1＞0， 即⎩⎨⎧ log 3(2x －1)≥log 313 ， x ＞1 2， 解得x ≥2 3 . 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log2x B.12x C ．log 12 x D ．2x － 2 解析：选A 由题意知f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． ∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x . 3．如果log 12 x y <0，那么( ) A ．y B ．x C ．1 D ．1 解析：选D ∵log 12 x y 1，∴x >y >1. 4．函数f (x )＝|log a (x ＋1)|(a >0，且a ≠1)的大致图象是( ) 解析：选C 函数f (x )＝|log a (x ＋1)|的定义域为{x |x >－1}，且对任意的x ，均有f (x )≥0，结合对数函数的图象可知选C. 5．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log 2sin 2π 5 ，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b >c >a B ．b >a >c C ．c >a >b D ．a >b >c 解析：选D 依题意，得a >1,0 5<1,2>1，得c <0，故 a > b > c . 6．设函数f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定 解析：选A 由已知得0f (2)． 7．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上，则f (x )＝________. 解析：设幂函数为f (x )＝x α，因为函数y ＝log a (2x －3)＋2的图象恒过点P (2，2)，则2α＝2，所以α＝1 2 ，故幂函数为f (x )＝x 1 2. 答案：x 1 2 8．已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则log b a ＝________. 解析：f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0， 且f (0)＝log a (0＋b )＝1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1，b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，a ＝2. 所以log b a ＝1. 答案：1 9．函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)(a >1)的单调递增区间是________． 解析：由函数f (x )＝log a (x 2－4x －5)，得x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.令m (x )＝x 2－4x －5，则m (x )＝(x －2)2－9，m (x )在[2，＋∞)上单调递增，又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5，＋∞)． 答案：(5，＋∞) 10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2 x ，x ＞0，log 1 2 (－x )，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是 ________________． 解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞log 12 a 或⎩⎪⎨⎪ ⎧ a ＜0，log 1 2(－a )＞log 2(－a )， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪ ⎧ a ＜0，－log 2(－a )＞log 2 (－a ). 解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 11．求函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值． 解：显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝ 12log 2x ·log 2(4x 2)＝1 2 log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－1 4 . 12．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦ ⎤0，3 2上的最大值． 解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a ＞0，且a ≠1)，∴a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪ ⎧ 1＋x ＞0，3－x ＞0， 得－1＜x ＜3， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x ) ＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2 ＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数， 故函数f (x )在⎣⎡⎦ ⎤0，3 2上的最大值是f (1)＝log 24＝2. B 级 1．已知函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)满足f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，则f ⎝⎛⎭⎫1－1x >0的解集为( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞) D ．(0，＋∞) 解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而2a <3 a 且 f ⎝⎛⎭⎫2a >f ⎝⎛⎭⎫3a ，所以f (x )＝lo g a x 在(0，＋∞)上单调递减，即00，得0<1－1 x <1，所以x >1，故选C. 2．若函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎫x 2＋32x (a >0，且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫1 2，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________． 解析：令M ＝x 2＋3 2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y ＝log a M 为增函数， 又M ＝⎝⎛⎭⎫x ＋342－9 16 ， 因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3 4，＋∞. 又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－3 2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 3．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x . (1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12 (－x )． 因为函数f (x )是偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12 (－x )， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧ log 12x ，x >0， 0，x ＝0， log 12 (－x )，x <0. (2)因为f (4)＝log 12 4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2转化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5 班 级________ 姓 名________ 主备教师__________ 备课组长_______ 年级组长________ 教师评价__________ 《对数函数》导学案 学习目标： 1.理解对数函数的定义； 2.会判断给定函数是否为对数函数；并会区分对数函数与对数型函数； 3.弄清楚对数函数的图像和性质； 4.会求对数函数的复合函数的定义域、值域。 学习重点：对数函数的判断； 对数函数的复合函数的定义域、值域的求法； 对数函数的图像和性质。 学习难点：对数函数复合函数求定义域、值域的逆向求参问题。 使用方法：预习课本7170P P ——，完成本导学案。 预习案 一． 对数函数的概念： 一般地，我们把函数_______________( )叫做_____________,其中x 是________,函数的定义域是___________. 以10为底的对数函数________叫做常用对数函数； 以e 为底的对数函数________叫做自然对数函数。 从对数函数的定义可得到判断一个解析式x y a log =是否为对数函数的关键是什么？ 答：x y a log =的系数必须为____;真数必须为____;底数必须为____. 二． 利用三点法画出下列四个函数的图像。 （x y a log =图像必过（1 , 0） （a , 1） (1,1 -a )） x y x y x y x y 3 132 12log log log log ====与与 1. 下列函数表达式中，是对数函数的有____________. ①2log x y =②)(log R a x y a ∈=③x y 8log =④x y ln = ⑤)2(log +=x y x ⑥x y 4log 2=⑦)1(log 2+=x y 宿迁中学高一数学(必修1) 课题：对数函数（一） 导学案 班级_______学号________姓名________组内评价_____ 【三维目标】 1. 知识与技能 ① 理解指数函数与对数函数之间的联系与区别。 ② 理解对数函数的概念，能熟练的进行比较大小。 2. 过程与方法 ① 通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习。 ② 通过探究对数函数的概念，感受化归思想，培养学生数学的分析问题的意识。 3. 情感态度价值观 ① 通过对对数函数概念的学习，使学生认清基本概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣。 ② 通过学生的相互交流来加深理解对数函数概念，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人建议的优良品质。 【教学重难点】 1. 对数函数和指数函数之间的联系； 2. 理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型； 3. 掌握对数函数的图像和性质，会求与对数函数有关的复合函数的定义域和值域 【教具准备】 多媒体课件，投影仪，打印好的作业。 【教学过程】 一. 预习填空: 1.一般地，把函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 ，值域 .（可从指数式和对数式的互化来理解） 3.指数函数y=a x (a>0且a ≠1)和对数函数y = log a x (a>0且a ≠1)是关于 对称 二、例题讲解 例1.求下列函数的定义域 (1).0.2log (4);y x =- (2).log 0,1)a y a a =>≠ (3). 61log 13y x =- (4). 2lg(23) y x x =+- 第1课时对数函数的概念、图象及性质 学习目标 知识梳理 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象及性质 (0，＋∞) 3．反函数 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的定义域和值域正好互换． 名师导学 知识点1 对数函数的概念 【例】(1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)·log m x，则m＝________． (2)已知对数函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12. ①求f (x )的解析式； ②解方程f (x )＝2. 【解】 (1)由对数函数的定义可得m 2－3m ＋3＝1， 即m 2－3m ＋2＝0，也就是(m －1)(m －2)＝0，解得m ＝1或m ＝2. 又因为m >0，且m ≠1，所以m ＝2. (2)①由题意设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，由函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，12可得f (4)＝1 2， 即log a 4＝1 2 ， 所以4＝a 1 2，解得a ＝16， 故f (x )＝log 16x . ②方程f (x )＝2，即log 16x ＝2， 所以x ＝162＝256. 反思感悟 判断一个函数是对数函数的方法 变式训练 1．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________． 解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪ ⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1>0，a ＋1≠1，解得a ＝4. 答案：4 2．点A (8，－3)和B (n ，2)在同一个对数函数图象上，则n ＝________． 解析：设对数函数为f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)． 则由题意可得f (8)＝－3，即log a 8＝－3， 所以a －3 ＝8，即a ＝8－ 1 3＝1 2 . 第十节 对数函数 一、基础知识 1．对数函数的概念 函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0， ＋∞). y ＝log a x 的3个特征 (1)底数a >0，且a ≠1； (2)自变量x >0； (3)函数值域为R. 2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象与性质 定义域：(0，＋∞) 3．反函数 指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 二、常用结论 对数函数图象的特点 (1)对数函数的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝⎛⎭⎫1 a ，－1，依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x (a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称． (3)当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当01， lg (1－x )，x <1. 当x ＝1时，函数无意义，故排除B 、D. 又当x ＝2或0时，y ＝0，所以A 项符合题意． (2)若x 高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数 与对数函数学案文含解析新人教A 版 第六节 对数对数函数 2019考纲考题考情 1．对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 (2)几种常见对数 (1)对数的性质 ①a log aN ＝N (a >0且a ≠1，N >0)。 ②log a a N ＝N (a ＞0，且a ≠1)。 (2)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。 ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。 (3)对数的运算法则 如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。 ②log a M N ＝log a M －log a N 。 ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )。 ④log am M n ＝n m log a M (m ，n ∈R )。 3．对数函数的图象与性质 4.y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。 1．指数与对数的等价关系：a x ＝N ?x ＝log a N 。 2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝ 1 log b a ； (2)log am b n ＝n m log a b ； (3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。 故0 高一数学对数函数教案 高一数学对数函数教案【篇1】 一、内容与解析 (一）内容：对数函数的性质 （二）解析：本节课要学的内容是对数函数的性质及简洁应用,其核心(或关键)是对数函数的性质,理解它关键就是要利用对数函数的图象.同学已经把握了对数函数的图象特点,本节课的内容就是在此基础上的进展.由于它是构造简单函数的基本元素之一，所以对数函数的性质是本单元的重要内容之一.的重点是把握对数函数的性质,解决重点的关键是利用对数函数的图象，通过数形结合的思想进行归纳总结。 二、目标及解析 (一)教学目标: 1.把握对数函数的性质并能简洁应用 (二)解析: (1)就是指依据对数函数的两类图象总结并理解对数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数值的分布特征等性质，并能将这些性质应用到简洁的问题中。 三、问题诊断分析 在本节课的教学中,同学可能遇到的问题是底数a对对数函数图象和性质的影响,产生这一问题的缘由是同学对参量熟悉不到位，往往将参量等同于自变量.要解决这一问题,就是要将参量的取值多元化，最好应用几何画板的快捷性处理这类问题,其中关键是应用好几何画板. 四、教学支持条件分析 在本节课的教学中,预备使用(),由于使用(),有利于(). 五、教学过程 问题 1.先画出下列函数的简图，再依据图象归纳总结对数函数的相关性质。 设计意图: 师生活动(小问题): 1.这些对数函数的解析式有什么共同特征？ 2.通过这些函数的图象请从值域、单调性、奇偶性方面进行总结函数的性质。 3.通过这些函数图象请从函数值的分布角度总结相关性质 4.通过这些函数图象请总结：当自变量取一个值时，函数值随底数有什么样的变化规律？ 问题2.先画出下列函数的简图，依据图象归纳总结对数函数的相关性质。 问题3.依据问题1、2填写下表 图象特征函数性质 a＞10＜a＜1a＞10＜a＜1 向y轴正负方向无限延长函数的值域为R+ 图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数 函数图象都在y轴右侧函数的定义域为R 函数图象都过定点（1,0） 自左向右,图象渐渐上升自左向右,图象渐渐下降增函数减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于0，横坐标大于1在第一象限内的图象纵坐标都大于0，横标大于0小于1 在第四象限内的图象纵坐标都小于0，横标大于0小于1在第四象限内的图象纵坐标都小于0，横标大于1 [设计意图]发觉性质、弄清性质的来龙去脉，是为了更好揭示对数函数的本质属性，传统教学往往让同学在解题中领悟。为了扭转这种方式，我先引导同学回顾指数函数的性质，再利用类比的思想，小组合作的形式通过图象主动探究出对数函数的性质。教学实践表明：当同学对对数函数的图象已有感性熟 §3.5 对数函数 问题导学 一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系 活动与探究1 (1)下列函数是对数函数的是( )． A ．y ＝log 2(3x ) B ．y ＝log 2x 3 C ．14 log y x = D ．1 2 1log y x = (2)写出下列函数的反函数： ①y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12x ；②y ＝ln x . 迁移与应用 1．若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________． 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )等于( )． A ．log 2x B ．12 log x C ．12 x D ．x 2 (1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a 的值． (2)函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)． 二、求与对数函数有关的函数的定义域 活动与探究2 求下列函数的定义域： (1)f (x )＝lg(4－x ) x －3 ；(2)y ＝log 0.1(4x － 3). 迁移与应用 求下列函数的定义域： (1)y ＝1 lg(x ＋1)－3； (2)y ＝log 3x － 1. 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零． 三、对数函数的图像 活动与探究3 作出函数f (x )＝|log 3x |的图像，并求出其值域和单调区间． 迁移与应用 【新教材】4.4.2 对数函数的图像和性质（人教A 版） 1、掌握对数函数的图象和性质,培养学生实际应用函数的能力; 2、通过观察图象,分析、归纳、总结对数函数的性质; 3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 1.数学抽象:对数函数的图像与性质; 2.逻辑推理:图像平移问题; 3.数学运算:求函数的定义域与值域; 4.数据分析:利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式; 5.数学建模:通过由抽象到具体,由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 重点:对数函数的图象和性质; 难点:对底数的分类,如何由图象、解析式归纳对数函数的性质、 一、 预习导入 阅读课本132-133页,填写。 1、对数函数的图象及性质 的范围 0＜a ＜1 a ＞1 升”;当0＜a ＜1时,对数函数的图象“下降”、 2、反函数 指数函数__________和对数函数y ＝log a x( a＞0且a≠1)互为反函数、 1.若函数y=log a x的图象如图所示,则a的值可能是 ( ) A.0.5 B.2 C.e D.π 2.下列函数中,在区间( 0,+∞)内不是增函数的是( ) A.y=5x B.y=lg x+2 C.y=x2+1 D.y= 3.函数的f( x)=log a( x-2)-2x的图象必经过定点.. 4.( 1)函数f( x)= 的反函数是. ( 2)函数g( x)=log8x的反函数是. 题型一对数函数的图象 例1函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示. ( 1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由; ( 2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lo g1 2 x,y=lo g1 5 x,y=lo g1 10 x的图象; ( 3)从( 2)的图中你发现了什么? 跟踪训练一 1、作出函数y=|lg( x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间. 题型二比较对数值的大小 例2比较下列各组数中两个值的大小: ( 1)log23.4,log28.5; ( 2)log0.31.8,log0.32.7; ( 3)log a5.1,log a5.9( a＞0,且a≠1)、 跟踪训练二 1、比较下列各题中两个值的大小: ( 1)lg 6,lg 8;( 2)log0.56,log0.54; ( 3)log 1 3 2与log 1 5 2; ( 4)log23与log54. lo g1 2 x 2 3 x 4.4 对数函数 学习目标 1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习，培养数学抽象、直观想象素养. 2.通过对数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算素养. 第1课时对数函数的概念、图象及性质 1.对数函数的概念 一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). 2.对数函数的图象与性质 我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质: 对数函数的概念 [例1] (1)下列函数是对数函数的是( ) A.y=lg 10x B.y=log3x2 C.y=ln x D.y=lo g1 3 (x-1) (2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数，则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义，得y=log a x(a>0，a≠1)是对数函数，由此得到y=ln x是对数函数.故选C. (2)由对数函数的定义可知，{ a2-4a-5=0, a>0, a≠1, 解得a=5. 答案:(1)C (2)5 判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件: (1)系数为1. (2)底数为大于0，且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x. 针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为 . 解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，所以{a 2-3a +2=0, a >0, a ≠1, 解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0，a>0，且a ≠1)， 因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以2=log a 9，所以a 2=9，又a>0， 解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x 对数型函数的定义域 [例2] 求下列函数的定义域. (1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0，且a ≠1); (2)f(x)= 1 log 12 (2x+1) . 3.2.1 对数 名师导航 知识梳理 一、对数与对数运算 1.对数的定义 一般地，如果a x =N(a>0,a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中a 叫做对数的__________，N 叫做对数的__________. 对数恒等式为________________________________________. 2.对数的运算法则 指数的运算法则： 对数的运算法则： （1）a m ·a n =a m+n ;→ （1）______________; （2）n m a a =a m ·a -n =a m-n ;→ （2）______________; （3）(a m )n =a mn ;→ （3）_______________. 二、对数运算法则的证明 (学会证明方法) 1.正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的_______________； log a (MN)=log a M+log a N. 设log a M=p,log a N=q, 则a p =M,a q =N, ∴MN=a p ·a q =a p+q . ∴log a (MN)=p+q=log a M+log a N. 2.两个正数的商的对数等于被除数的对数___________除数的对数； log a N M =log a M-log a N.∵N M =q p a a =a p-q , ∴log a N M =p-q=log a M-log a N. 3.正数的幂的对数等于幂的底数的对数____________幂指数； log a (N n )=n ·log a N. 根据对数恒等式:N a a log =N, ∴N n =(a a log N)n =N n a a log •.∴log a (N n )=n ·log a N. 4.正数的正的方根的对数等于被开方数的对数______________根指数. log a n N n 1 =·log a N.∵n N =n N 1 , ∴由法则3得log a n N =log a n N 1= n 1 ·log a N. 三、对数的性质 1.__________和__________没有对数. 2.2.2 对数函数及其性质(一) 学习目标 1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用． 知识点一对数函数的概念 思考已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 答案由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)．习惯上用x，y分别表示自变量、因变量．上式可改为y＝log2x，x∈(0，＋∞)． 梳理一般地，把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点二对数函数的图象与性质 对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 1．由y＝log a x，得x＝a y，所以x>0.( √) 2．y＝2log2x是对数函数．( ×) 3．y＝a x与y＝log a x的单调区间相同．( ×) 4．由log a 1＝0，可得y ＝log a x 恒过定点(1,0)．( √ ) 类型一 对数函数的定义域的应用 例1 求下列函数的定义域． (1)y ＝log a (3－x )＋log a (3＋x )； (2)y ＝log 2(16－4x )． 考点 对数函数的定义域 题点 对数函数的定义域 解 (1)由⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 3－x >0， 3＋x >0，得－3 4.3.3对数函数y=log a x的图象和性质 （二） (1分钟) 1.掌握对数函数y=log a x的图象和性质. 2.会应用对数函数的图象与性质比较大小、求定义域和值域、确定单调区间等. 3.通过学习对数函数y=log a x的图象、性质，培养学生的直观想象、数学运算等素养. (1分钟) 上节课我们学习了对数函数y=log2x的图象和性质，若函数的底数不为2时，它的图象和性质又是怎么样的呢？ 请在同一坐标系中画出y=log2x、y=log3x、y=log4x、y=log1 2x、y=log1 3 x、y=log1 4 x的图 象，并根据图象归纳出y=log a x的图象和性质. (2分钟) 1.知识图谱 2.引导学生自主构建或选择性讲解. (探究1用时8分钟，探究2用时8分钟，探究3用时9分钟)探究1：对数函数的图象问题 【例1】(1)函数y=log a(2x-1)-3(a>0，且a≠1)的图象过定点. (2)画出函数y=|log2(x+1)|+2的图象. 【方法指导】(1)根据对数函数的图象和整体代换的思想求解；(2)根据图象的平移变换求解. 【解析】(1)令2x-1=1，即x=1，得y=log a1-3=-3，故函数y=log a(2x-1)-3的图象过定点(1，-3). (2)第一步，画出y=log2x的图象，如图①所示. 第二步，将y=log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y=log2(x+1)的图象，如图②所示. 第三步，将y=log2(x+1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得 y=|log2(x+1)|的图象，如图③所示. 第四步，将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图④所示. 第2课时 对数函数及其性质的应用 知识点 反函数 1．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为________，它们的定义域与值域正好交换． 答案：反函数 2．对数函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x 的图象 y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象在________的右侧，图象过定点(1,0)；y ＝log a x 与y ＝log 1a x 的图象关于______对称． 这一性质我们可以类比指数函数y ＝a x 的图象在x 轴的上方，图 象过定点(0,1)；y ＝a x 与y ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1a x 的图象关于y 轴对称． 答案：y 轴 x 轴 [自我排查] 1．已知函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，且f (x )＝2x ，则f (4)＋f －1 (4)的值为( ) A ．8 B ．18 C ．20 D ．32 答案：B 解析：因为函数y ＝f (x )的反函数为y ＝f －1(x )，且f (x )＝2x ，所以 f －1(x )＝lo g 2x ，所以 f (4)＝24＝16，f －1(4)＝log 24＝2，f (4)＋f －1(4)＝18. 故选B ． 2．设m ∈()0，1，若a ＝lg m ，b ＝lg m 2，c ＝(lg m )2，则( ) A ．a >b >c B ．b >c >a C ．c >a >b D ．c >b >a 答案：C 解析：∵m ∈(0,1)，∴a ＝lg m <0，b ＝lg m 2＝2lg m 222对数函数及其性质(一) 自主学习 (8学习目标 1. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 2 •能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数 函数关系的实质. ®自学导引 1.对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且1)叫做 ________________________ 其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+^ ). 2.对数函数的图象与性质 定义 y = log a x (a>0，且 1) 底数 a>1 0 高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及 练习题(含答案) 高一数学上册第二章基本初等函数之对数函数知识点总结及练习题(含答案) 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若axN(a0,且a1)，则x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做底数， N叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：xlogaNaxN(a0,a1,N0)． （2）几个重要的对数恒等式:loga10，logaa1，logaabb． N；自然对数：lnN，即loge（3）常用对数与自然对数：常用对数：lgN，即log10…）．e2.71828（4）对数的运算性质如果a0,a1,M①加法：logaN（其中0,N0，那么 MlogaNloga(MN) M②减法：logaMlogaNlogaN③数乘：nlogaMlogaMn(nR) ④alogaNN nlogaM(b0,nR)bn⑤logabM⑥换底公式：logaNlogbN(b0,且b1) logba【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数函数名称定义函数对数函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数 a1yx10a1yx1ylogaxylogax图象O(1,0)O(1,0)xx定义域值域过定点奇偶性(0,)R图象过定点(1,0)，即当x1时，y0．非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数logax0(x1)函数值的变化情况 logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a变化对图象的影响在 第一象限内，a越大图象越靠低，越靠近x轴在第一象限内，a越小图象越靠低，越靠近x轴在第四象限内，a越大图象越靠高，越靠近y轴在第四象限内，a越小图象越靠高，越靠近y轴(6)反函数的概念 设函数果对于 yf(x)的定义域为A，值域为C，从式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如 y在C中的任何一个值，通过式子x(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 x(y)表示x是y的函数，函数x(y)叫做函数yf(x)的反函数，记作xf1(y)，习惯 上改写成 yf1(x)． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式③将xyf(x)中反解出xf1(y)； f1(y)改写成yf1(x)，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数②函数 yf(x)与反函数yf1(x)的图象关于直线yx对称． yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf1(x)的值域、定义域． yf(x)的图象上，则P"(b,a)在反函数yf1(x)的图象上． ③若P(a,b)在原函数④一般地，函数 yf(x)要有反函数则它必须为单调函数． 一、选择题：1． log89的值是log23A． 2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质 学习目标 1.理解对数函数的概念(易错点).2.初步掌握对数函数的图象和性质(重点)． 预习教材P70－P73，完成下面问题： 知识点1 对数函数的概念 一般地，把函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log x 1 2是对数函数．( ) (2)函数y ＝2log 3x 是对数函数．( ) (3)函数y ＝log 3(x ＋1)的定义域是(0，＋∞)．( ) 提示 (1)× 对数函数中自变量x 在真数的位置上，且x >0，所以(1)错； (2)× 在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须是1，所以(2)错； (3)× 由对数式y ＝log 3(x ＋1)的真数x ＋1>0可得x >－1，所以函数的定义域为(－1，＋∞)，所以(3)错． 知识点2 对数函数的图象和性质 (1)函数f (x )＝log a (2x －1)＋2的图象恒过定点________． (2)若函数y ＝log (2a －3)x 在(0，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析 (1)令2x －1＝1，得x ＝1，又f (1)＝2，故f (x )的图象恒过定点(1,2)． (2)由题意2a －3>1，得a >2，即a 的取值范围是(2，＋∞)． 答案 (1)(1,2) (2)(2，＋∞) 知识点3 反函数 对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)互为反函数． 【预习评价】 设函数f (x )＝2x 的反函数为g (x )，若g (2x －3)>0，则x 的取值范围是________． 解析 易知f (x )＝2x 的反函数为y ＝log 2x ，即g (x )＝log 2x ，g (2x －3)＝log 2(2x －3)>0，所以2x －3>1，解得x >2. 答案 (2，＋∞) 题型一 对数函数的概念及应用 【例1】 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 (2)若对数函数f (x )的图象过点(4，－2)，则f (8)＝________. 解析 (1)由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0，且a ≠1， ∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 的系数为2， ∴⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义． (2)由题意设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，则f (4)＝log a 4＝－2，所以a － 2＝4，故a ＝12， f (x )＝lo g 12 x ，所以f (8)＝log 12 8＝－3. 答案 (1)B (2)－3 规律方法 判断一个函数是对数函数的方法 【训练1】 若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________. §4对数 知识点一对数的有关概念 [填一填] (1)一般地，如果a b＝N(a>0，且a≠1)，那么数b叫作以a为底N的对数，记作log a N＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数． (2)以10为底的对数叫作常用对数，N的常用对数记作lg N. (3)以e为底的对数叫作自然对数，N的自然对数记作ln N. [答一答] 1．对数概念的理解？ 提示：(1)对数是一种数，对数式log a N可看作一记号，表示关于x的方程a x＝N(a>0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a>0，且a≠1)幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式log a N又可看作幂运算的逆运算． (2)对数符号log a N只有在a>0，a≠1，且N>0时才有意义，而对数值b＝log a N，可以为任意的实数． 知识点二对数的运算性质 [填一填] 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，则 (1)log a(MN)＝log a M＋log a N； (2)log a M N＝log a M－log a N； (3)log a M n＝n·log a M(n∈R)． [答一答] 2．如何正确运用对数的运算法则？ 提示：(1)运算中常见的错误有： log a (MN )＝log a M ·log a N . log a M N ＝log a M log a N . log a N n ＝(log a N )n . log a M ±log a N ＝log a (M ±N )． (2)注意前提条件：a >0，a ≠1，M >0，N >0，尤其是M ，N 都是正数这一条件，否则M ，N 中有一个小于或等于0，就导致log a M 或log a N 无意义，另外还要注意，M >0，N >0与M ·N >0并不等价． (3)要注意运算法则的逆用． 知识点三 换底公式 [填一填] log b N ＝log a N log a b (a 、b >0，a 、b ≠1，N >0)． [答一答] 3．如何准确的应用换底公式？ 提示：(1)在使用换底公式时，底数的取值不唯一，应根据实际情况选择． (2)换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题． 如：在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值． (3)要注意换底公式的两个重要推论的应用． ①log a b ＝1log b a ，②log am b n ＝n m log a b . 1．对数log a N 中规定a >0，a ≠1的原因 3．2．2 对数函数 1．了解对数函数模型所刻画的数量关系．2．理解对数函数的概念及对数函数的单调性．3．掌握对数函数的图象与性质． , ) 1．对数函数的概念 函数y ＝log a x(a>0，a≠1，x >0)叫做对数函数，其中x是自变量． 2．对数函数的图象与性质 a>10 (4)y ＝log 2x ． 解：(1)(2)(3)都不是，只有(4)是对数函数． 4．底数a 的大小变化对对数函数y ＝log a x 的图象有何影响？ 解：(1)当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴． (2)当00，解得x <1， 所以函数y ＝log 5(1－x )的定义域是{x |x <1}． (2)要使函数式有意义，需⎩ ⎪⎨⎪⎧1－x >0 1－x ≠1，解得x <1，且x ≠0， 所以函数y ＝log 1－x 5的定义域是{x |x <1，且x ≠0}． (3)要使函数式有意义，需⎩ ⎪⎨⎪⎧8x －6>0 log 0.5（8x －6）≥0， 解得34《对数函数》导学案
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