经典学而思全等三角形全套教学内容
第一讲全等三角形的性质及判定
【例1】 如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：AF BD =．
【补充】如图所示：AB CD ∥，AB CD =．求证：AD BC ∥．
【例2】 已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB DC =，BE CF =，B C ∠=∠．求证：
OA OD =．
【补充】已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．
【补充】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 为CD 中点，连结AE 并延长AE 交BC 的延长线于点F ．求
证：FC AD =．
F
E
D
C
B
A
【例3】 如图，AB CD ，相交于点O ，OA OB =，E 、F 为CD 上两点，AE BF ∥，CE DF =．求证：
AC BD ∥．
O
F E D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
D
C
B A F E O D
C B A O
D C B
A
【补充】已知，如图，AB AC =，CE AB ⊥，BF AC ⊥，求证：BF CE =．
F E C
B
A
【例4】 如图，90DCE CD CE AD AC BE AC ∠=?=⊥⊥，，，，垂足分别为A B ，，试说明AD AB BE +=
E
D
C
B
A
【例10】 如图所示， 已知AB DC =，AE DF =，CE BF =，证明：AF DE =．
【例11】 E 、F 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 边上的点，且BE CF =．求证：AE BF ⊥．
P
F
E
D
C
B
A
【补充】E 、F 、G 分别是正方形ABCD 的BC 、CD 、AB 边上的点，GE EF ⊥，GE EF =．求证：
BG CF BC +=．
G
A B
C D
E
F
F D
C B
A
【例12】 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．
【补充】如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥．
A B
C
D E
F
【例13】 （1）如图，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判
断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.
（2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知
中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？
G
F
E
D
C
B A
【例14】 如图，ABC ?中，AB BC =，90ABC ∠=?，D 是AC 上一点，且CD CB AB ==，DE AC ⊥交AB
于E 点．求证：AD DE EB ==．
C
B D
E
A
M E
D
C B A
【例15】 ABC ?中，90B ∠=?，M 为AB 上一点，使得AM BC =，N 为BC 上一点，使得CN BM =，连
AN 、CM 交于P 点．试求APM ∠的度数，并写出你的推理证明的过程．
图3
P D
M N B C A
【例16】 如图，I 是ABC △的内心，且CA AI BC +=．若80BAC ∠=?，求ABC ∠和AIB ∠的大小．
A
B C
I
【例17】 已知：BD CE 、是ABC ?的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =，
求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．
P
D
Q
C
B
E
A
【例18】 ⑴ 如左下图，在矩形ABCD 中，E 为CB 延长线上一点且AC CE =，F 为AE 的中点．求证：
BF FD ⊥．
⑵ 如右下图，在ABC ?中，BE 、CF 分别为边AC 、AB 的高，D 为BC 的中点，DM EF ⊥于M ．求证：FM EM =．
F E
D
C
B
A M
F
E
D C
B A
18.补充：如图，已知60ABD ACD ∠=∠=?，且1
902
ADB BDC ∠=?-∠．求证：ABC ?是
等腰三角形．
【例19】 如图，ABC ?为边长是1的等边三角形，BDC ?为顶角()BDC ∠是120?的
等腰三角形，以D 为顶点作一个60?角，角的两边分别交AB 于M ，AC 于N ，连接MN ，形成一个AMN ?．求AMN ?的周长．
【习题1】 已知：如图，AB DE ∥，AC DF ∥，BE CF =． 求证：AB DE =．
F
E
D
C B A
【习题2】 已知：△DEF ≌△MNP ，且EF ＝NP ，∠F ＝∠P ，∠D ＝48°，∠E ＝52°，MN ＝12cm ，求：∠P 的
度数及DE 的长. 家庭作业
B A
A
M
N
B C
D
【习题3】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，CE EF ⊥交AB 于F 点，若2DE =，矩形周长为16，且CE EF =，求AE 的长．
E
D
C
B
F A
【习题4】在四边形ABCD 中，AD BC ∥，A ∠的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是B ∠的角平分线
时，有AD BC AB +=．
【备选1】 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠．
【备选2】 如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于点D ，2B C ∠=∠．求证：AB BD CD +=．
【备选3】 如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，
DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF . （1）求证：BG ＝CF .
（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由.
月测备选
A
B
C
D
E
O
C D B A
F
E D
C
B
A
G
第二讲 全等三角形与中点问题
版块一 倍长中线
【例1】 在△ABC 中，9,5==AC AB ，则BC 边上的中线AD 的长的取值
范围是什么？
【补充】已知：ABC ?中，AD 是中线．求证：1
()2
AD AB AC <+．
【例2】 已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交
于点F ．求证：BCE FDE ??≌．
D
F
E
C
B
A
【例3】 如图，在ABC ?中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：
BDE CDF ??≌．
B
B C F E
D C B A
【例4】 如图，ABC ?中， 【例5】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延 长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． 【例6】 如图所示，在ABC ?和A B C '''?中，AD 、A D ''分别是BC 、 B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''??≌． 【例7】 如图，在ABC ?中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ?的角平分线． 【例8】 已知AD 为ABC ?的中线，ADB ∠，ADC ∠的平分线分别交 AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>． B C F E D C B A B F G E D C B A A 【例9】 在Rt ABC ?中，90A ∠=?，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且ED FD ⊥．以 线段BE 、EF 、FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？ 【例10】 已知△ABC ，∠B =∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ， 求证GD =GE ． 【例11】 如图所示，在ABC ?中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果2222BM CN DM DN +=+，求 证()2221 4 AD AB AC =+．(勾股定理的内容，选做) G E D C B A F E D C B A N M D C B A 【例10】 在Rt ABC ?中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上， 满足90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________． 【习题1】 如图，在等腰ABC ?中，AB AC =，D 是BC 的中点， 过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =． 求证：EDB FDC ∠=∠． 【习题2】 如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且 BE AC =，延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？ 【习题3】 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =． 家庭作业 图 6 G E F D B C A F E D C B A D F E C B A A 【备选1】如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F 【备选2】如图，ABC ?中，AB AC =，90 BAC ∠=?，D是BC中点，ED FD ⊥，ED与AB交于E，FD 与AC交于F．求证：BE AF =，AE CF =． 第三讲全等三角形与角平分线问题 【例1】在ABC ?中，D为BC边上的点，已知BAD CAD ∠=∠，BD CD =，求证：AB AC =． D C B A 【例2】已知ABC ?中，AB AC =，BE、CD分别是ABC ∠及ACB ∠平分线．求证：CD BE =． E D C B A 【例3】如图，在ABC ?中，60 B ∠=?，AD、CE分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD与CE的交点为F．求证：FE FD =． A B C D E F F B E D C A 【例4】 如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ， 且3OD =，求ABC ?的面积． 【补充】如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DAE ∠． 【例5】 已知ABC ?中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、 CD 、BC 的数量关系，并加以证明． O E D C B A 【例6】 如图，已知E 是AC 上的一点，又12∠=∠，34∠=∠．求证：ED EB =． E D C B A 4 32 1 【例7】 如图所示，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =．求证：AB CD =． A D O C B A B C D E O P D B O C A 【例8】 如图所示，已知ABC ?中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求 证：EF ∥AB F A C D E B 【例10】 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1 ()2 AE AB AD =+，则 ABC ADC ∠+∠等于多少？ E D C B A 【补充】长方形ABCD 中，AB =4，BC =7，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于F ，则 EF =__________． F E D C B A 【补充】在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点． 求证：AB AC PB PC ->-． C D B P A 【例11】 如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：AB BD AC +=． D C B A 【例12】 如图，ABC ?中，AB AC =，108A ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：BC AC CD =+． A B C D 【巩固】已知等腰ABC ?，100A ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于D ，则BD AD BC +=． 【例13】 如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证2AB AC AM +=． M D C B A 【例14】 如图，ABC ?中，AB AC =，BD 、CE 分别为两底角的外角平分线，AD BD ⊥于D ，AE CE ⊥ C B 于E ．求证：AD AE =． H G D A B C E 【例15】 如图，180A D ∠+∠=?，BE 平分ABC ∠，CE 平分BCD ∠，点E 在AD 上． ① 探讨线段AB 、CD 和BC 之间的等量关系． ② 探讨线段BE 与CE 之间的位置关系． E D C B A 【习题2】如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：2B C ∠=∠． D C B A 【习题3】AD 是ABC ?的角平分线，BE AD ⊥交AD 的延长线于E ，EF AC ∥交AB 于F ．求证：AF FB =． 家庭作业 D E C F B A 【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB ∠∠，ABE=EBC ∠∠，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC ?中，D为BC中点，DE BC ⊥交BAC ∠的平分线于点E，EF AB ⊥于F EG AC ⊥于G．求证：BF CG =． E G F D C B A 【备选1】在ABC ?中，AD平分BAC ∠，AB BD AC +=．求: B C ∠∠的值． C D B A 月测备选