京沪铁路线中的列车调度模型-Read

京沪铁路线中的列车调度模型

摘要：

本文主要研究了，以京沪高速为背景以客车时间表为基础之上安排货车的模型。从车站的战略发展、资源利用、时间安排和资源策划等综合考虑，需要对客车的时间安排进行考虑。从而设计有效而可行的安排货车运行模型.

本文以京沪高速为背景，对列车调度问题进行了研究。我们选择了济南至徐州区间段作为研究对象，采用区间算法，通过MATLAB 程序设计现行列车速度下的列车运行图。不仅充分利用了客车资源而且为京泸区间安排了货车.

当客车的最高时速提高到200 公里/小时，货车的最高时速提高到120 公里/小时，制订出相应的客车时刻表和“列车运行图”。建立货车调度的数学模型和求解算法，给出插入货车方案、运行时刻表以及列车运行图。

我们采用matlab编程得到的数据可以求出徐州到济南各个乘车区间可以插入货车的数量上界为：乘车区间1 到乘车区间7 可以插入货车的数量分别为：126 辆；117 辆；120 辆；135 辆；91 辆；80 辆；93辆。再根据各个乘车区间货车和客车的数量比为7:5，可以得到：乘车区间1 到乘车区间4 可以插入货车的数量为70 辆，乘车区间5 到乘车区间7 可以插入货车的数量为82辆。将两组数据取下界可以得到：乘车区间1 到乘车区间7 可以插入货车的数量分别为：70 辆；70 辆；70 辆；70 辆；

82 辆；80 辆；82 辆。其中只有乘车区间6 将所有的插车区间充分利用，而余下的六个区间的插车区间都没有充分利用，这也为后面第2 问插入客车留下了一定的插车区间。

关键词列车调度列车运行图区间算法数学模型

问题重述

B题：铁路大提速下的京沪线列车调度

我国铁路自1997年以来先后进行了５次大提速，以前客车的最高时速为60至80公里/小时，到2004年4月18日的第５次提速后，京沪等部分干线客车的最高时速达到了160至200公里/小时。据悉，在2006年实施第6次大提速后，将使部分干线上运行客车的最高时速都提高到200公里/小时。另外，我国在“十一五”期间将修建京沪高速客运专线铁路，计划运行初期的最高时速为300公里/小时(参看附件1)。

目前，我国铁路大都采用客货混运的机制，目前主要干线铁路客车最高时速可达160公里/小时，货车最高时速为80公里/小时，客车与货车的运行数量比例大约为5 ：7。根据铁路安全规程的要求，既有线路同方向相继列车的间隔时间不得少于7分钟。

京沪线是我国最繁忙的铁路线之一，贯通北京至上海，途经40多个城市，全长1463公里(参看附件2) 。目前全线采用上行线和下行线独立双向运行方式，分别运行着175趟和176趟客车，最高时速160公里/小时，具体的车次和时刻表如附件3和附件4所示。

请你研究以下问题（第1，2题必须做，其它题中至少选做1个）：

（1）从京沪全线选择一个区间段，如济南至徐州，或南京至上海，根据现行的列车时刻表最多能安排多少趟货车，并制订出具体的“列车运行图”。

（2）对现行的列车时刻表进行分析，如果要在客流增加时（如春运和黄金周期间）在北京至上海、北京至南京、天津至上海、北京至合肥、北京至青岛间各增开一对临时客车，在不改变现行列车时刻表及尽量减少对货车影响的条件下，制订出临时客车的时刻表(只安排京沪线区间)及“列车运行图”（只考虑客车）。

（3）如果在即将实行的第6次大提速时将京沪线上的客车的最高时速提高到200公里/小时，货车的最高时速提高到120公里/小时，制订出相应的客车时刻表和“列车运行图”。按照第1题选择的区间段进行估计，与提速前相比货

车可以提高多少运力？

（4）针对预计到2010年投入运行的京沪高速铁路客运专线（现京沪线用作货运），如果高速列车时速达到300公里/小时，普通列车提速到200公里/小时。在安全行车规程的要求之下（同方向相继列车的间隔距离不得少于4500米），并考虑各经过城市的客运需求量，给出现有客车相应的时刻表，同时还能至少增加多少客车，运行时刻表如何？

(5) 如果某一列客车因故晚点，就会影响到后续列车的正常运行，给出可

行的实时调整相关列车的运行策略，使得造成的影响最小，并就某一列客车进行分析检验。

模型假设

（1）客车和货车都是匀速运行。

（2）每个车站都可以加货车。

1 列车运行图的铺画

我们选择京沪线上的济南到徐州区间段，该区间段总共有8 个站点，7 个区间段，

以上行方向为正方向建立模型。根据铁路安全规程的要求，线路同方向相继列车的间隔时间不得少于7 分钟，所以我们考虑将时间单位确定为分钟，时间0 点为凌晨0 点，则时间周期区间为720 分钟到2160 分钟。列车运行图的铺画步骤如下：

1）做出京沪线上徐州到济南段上行方向24 小时的列车运行图。

将24 小时的时间周期确定为：中午12 点到第二天中午的12 点，即选择24 小时的时间区段为720 分钟到2160 分钟，求出所有列车在该时间段内的到站和出发时间，根据该时间做出徐州到济南区间段的24 小时的列车运行图。

2）对徐州到济南段上行方向24 小时的列车运行图进行修正

根据列车运行图的定义，在同一条铁路线上，是不可能出现相交的情况的，而在图中出现了少数线相交的情况。这主要是因为对于没有停靠的站点，我们使用区间平均速度来求到达该站点的时间。对这样的情况，我们在速度允许的范围内，对相交的两条线所代表的出发时间和到站时间进行调整，调整的原则

是：时间的变化量最小。根据列车运行原则我们可以知道，车辆在站点处是可以让道越行，也就是说在列车运行图上，车辆在出发时间相差7 分钟的条件下，到站下一站的时间是可以相交的，不过应该尽量避免这样情况的发生。

所以在进行调整的时候，有两种情况，如图4.1 所示：

图4.1 列车运行调整示意图

图4.1(a)表示的是两辆列车在区间内相交的情况，f1 和f2 分别表示两辆列车在该区间内的出发时间；d1 和d2 分别表示的是两辆列车的在该区间内的到站时间。有两种方法对这样的相交情况进行调整。 方案1：如图4.1(b)所示，将列车1 的到站时间d1 调整为d2，时间变化量为d1-d2，

列车1 在该区间内的平均速度变为：21i D d f -,如果21

i

D d f -<=160,证明该调整是可行

的，

满足速度约束的条件；列车1 的时间调整比例为：12

11

d d d f --；

方案2：如图4.1(c)所示，将列车2 的到站时间d2 调整为d1，时间变化量为d1-d2，

列车2 在该区间内的平均速度变为：11

i

D d f -，通过图形我们可以发现列车2 的速度

是减慢的，所以不需要考虑速度约束的条件；列车2 的时间调整比例为：12

22d d d f --

比较方案1 和方案2 的时间调整比例，选择较小的一个，对该列车的起始时间进行修改。通过对交叉列车的起始时间进行调整，做出调整后的徐州到济南上行方向列车运行图。 2 货车调度模型 模型的建立

根据调整后的徐州到济南段24

小时列车运行时刻表，建立合适的模型来安

第i 站

第i-1站

Di f1 f2

f1

f1

f2

f2

d2

d2

d1

d2

d1

(a)

(b)

(c)

d1

排货车，使得货车的安排数量尽可能的多。从实际的角度，我们可以知道货车的到发站点是不能确定的，所以我们只能从区间插车的思想出发，求出每两个站点之间的可以插入货车时间。这样根据实际的需要，将相邻区间之间等待时间最短的货车时间区段相连接，就可以构成一条完整的货车运行时刻表。 设徐州到济南的8 个站点分别为：{}8

1i i S = ，7 个乘车区间为：{}7

1i i Q = ，我们假定上行方向为正方向。对徐州到济南的8 个站点进编号，如下图4.2 所示。

在现行列车时刻表的基础上，要对徐州到济南段的货车进行安排，需要首先确定出各个车站可以插入货车的时间区间，因为济南是货车的终到站，所以不需要再求济南站的可以发车的时间区间，只需要求出徐州到泰山7 个站点，各个站点可以发车的时间区间集合。分别为：{}7

1i i P =，假设各个站点可以插车的时间区段共有i K （ i =1,...,7 ）个，并且相应的区间段为{}1i

K ij j M =（ i

=1,...,7 ），那么有：

1

,1,...,7i

K i ij j P M i ==

=

设任何一个可以插车的时间区间ij M 为ij M =,ij ij M M ???? ，ij M 和ij M 分别表示的是

区间的下界和上界。ij M 应该满足两个条件：（1）该区间内，任何一个时

Q7 Q6 Q1

Q4 Q3 Q5 Q2 S8 S7 S6 S5 S4 S3 S2 S1

12点（720分钟）

36点（2160分钟）

邹城 徐州

衮州 磁窑 枣庄西 腾州 泰山 济南 图4.2 徐州到济南乘车区间图

间点的前后7分钟之内都没有客车；（2）该区间内任何一点作为货车的发车时间，到达下一个车站的时间都不会和该区间内的客车相交。

通过4 中对区间内相交的列车进行调整，列车运行图上徐州到济南的每个区间都被

分割为一系列的四边形（见图4.3(a)中的区域1）和三角形（见图4.3(a)中的区域2），其中三角形区域是不可能再加入列车的，所以插车区间仅存在于四边形区域中。而四边形区域是由列车的起始时间构成的，见图4.3(b)。

图4.3 插车区间和现行运行客车时间关系图

根据条件（1）和（2）可以得到时间区间ij M 的约束条件为：

,,1,11

77ij i j ij i j i ij i j ij

ij M f f M D M d v M M ++≥+??

≥+??

?+≤???≤? 其中，i D 表示的是该区间的距离长度，而1v 表示的是货车的速度。将所有满足该约

束条件的时间区间ij M 进行合并，就形成了第i 站的插车时间i P ，它是由一列的时间区间ij M 所构成的。

在求出徐州到泰山站的插车时间i P ，i =1,...,7 之后，在各个时间区间内插入货车。插入的货车要满足三个原则：（1）插入货车的数量要尽可能的多；（2）并且相邻的乘车区间i Q 之间插入货车在进行连接的时候，要保证等待的时间尽可能的短；（3）乘车区间内的货车和客车数量比为7:5。根据这三个原则，建立如下的规划模型：

,1i j f +

,i j f

ij

M

ij

M

,1i j d +

区域2 区域1

第i+1站

第i 站

,i j d (a)

(b)

}{

(

)

}{

(

)

7

1

611111216111

1121

max :min min ,,1,...,,min ,,1,...,k

k

k

k N k k k k k i j j i j k k k i N k k k k k i j j i j k k k i N obj f d d f f P j N d f f d f p j N =-----==+++++==?

?

?

?

-≤∈=???+-≤∈=??∑∑∑∑∑

，1111,171,...75,1,...,,1, (7)

,1,...7,1,...,17,1,...7,1,...,1,1,...7,1,...,1,...70,k k k k k k i i k

k

k

i i K k k i i k k

k

i k i K k N k kj j k i k N N k D d f i N k v f f k i N subject to f f k i N f P f P k i N P M k f N +++=???≤=??????

?=+==≥==-?-≥==-∈∈====≥，为正整数????

??????

??

其中：［·］表示的是取整符号。

2.2 区间搜索算法

为了对该模型进行求解，我们首先考虑这样一种情况：在区间长度恰好是7 的倍数的时候，该区间能插入的最多数量的货车是固定的。设该区间为：

,ij ij ij M M M ??=??

，那 么该区间可以插入的数量最多的货车为

()117

7

ij ij

ij M M m M -+=

+，出发时间分别为：,7,...,ij ij ij M M M +。其中：m (g) 表

示的是区间的长度。在该种情况的基础上，我们可以知道一个区间要想插入货车数量最多，那么该区间插入货车出发时间变动的灵活性取决于该区间长度被7 整除余数的大小。余数为0 的时候，插入货车的出发时间就是固定的。所以根据这个思想，对上面的双目标整数规划进行求解，我们运用设计如下的区间

搜索算法：记7

7

1

1

1

(

),,i

k i ij i i j I p M I G ====

=

=Φ=Φ

步骤1：首先求出各个区间可以插入货车的上界()7min ,157i i i m p N N ??

??=+????????

步骤2：求出所有时间区间集合7

7

1

1

1

(

)i

k i ij i i j I p M ====

=

中，区间长度被7 整除，余数最

小的时间区间，因为可能出现余数相等的情况，所以假设这样的区间共有K 个，分

别为,1,...,7

min ((),7)k ij i j M Mod m M ==∑，其中Mod (a ,b ) 表示的是a 除以b 的余数。

那么1

,\K

k k I M I I I ==

=；

步骤3：对1

K

k k I M ==

中的区间首先插入货车，按照取左的原则，也就是从每个区间

的下界ij M 作为出发时间开始，依次插入：()

17

k m M +辆货车，这些货车的出发时间依次加7；那么总共可以插入1()

(

1)7

K

k k m M =+∑辆货车，按照k M 所在的区间，分别记这些货车的出发时间为i G ， i =1,...,7 ，那么确定的货车集合为：7

1

i i G G ==

步骤4：对7

1

i i G G ==

中的每列货车，分别计算相邻乘车区间内，与之相距最近的时

间区间，并且对该时间区间安排货车。 模型的求解

根据统计，从徐州到兖州的4 个乘车区间，每个区间共有上行方向客车51

辆，而兖州到济南的3 个乘车区间，每个区间有上行方向客车59 辆。

通过用Matlab 进行编程，可以画出徐州到济南段内的24 小时列车运行图。 为了求解插车区间，对得到的数据根据调整后的徐州到济南列车运行时间运用图

4.4 中的方法求解插车区间，最后得到徐州到泰山站的插车区间集合{}7

1i i p = 可以求出徐州到济南各个乘车区间可以插入货车的数量上界为：乘车区间1 到乘车区间7 可以插入货车的数量分别为：126 辆；117 辆；120 辆；135 辆；91 辆；80 辆；93辆。再根据各个乘车区间货车和客车的数量比为7:5，可以得到：乘车区间1 到乘车区间4 可以插入货车的数量为70 辆，乘车区间5 到乘车区间7 可以插入货车的数量为82辆。将两组数据取下界可以得到：乘车区间1 到乘车区间7 可以插入货车的数量分别为：70 辆；70 辆；70 辆；70 辆；82 辆；

80 辆；82 辆。其中只有乘车区间6 将所有的插车区间充分利用，而余下的六

个区间的插车区间都没有充分利用，这也为后面第2 问插入客车留下了一定的插车区间。运用模型一的方法进行区间搜索后，可以得到各个区间插入货车的起始时间。然后根据货车出发时间和到站时间，可以做出上行方向货车的24 小时列车运行图.

结果分析:将徐州到济南段的火车和客车调度时间做成总体的列车运行，在可以很明显的是否存在交叉的现象，如果存在证明火车调度不合理，否则证明火车调度合理，该调度方案是可行的。上行方向徐州到济南段的火车和客车合并的列车运行图，见图4.7到济南货车和客车合并的列车运行图；该图中没有出现相交的情况，证明该调度案是可行的，并且保证了各个乘车区间插入货车数量是最多的。

大提速后的列车运行状况

如果在即将实行的第6 次大提速时将京沪线上的客车的最高时速提高到200 公里/小时，货车的最高时速提高到120 公里/小时，制订出相应的客车时刻表和“列车运行图”。其数学模型没有发生改变，参数的值发生变化。我们认为，新的运行图应该能够保持第五次提速形成的客运模式，即

1) 总体上，可以分为直达、特快、快速以及普通等几种客车，几种客车应该

在速度上有一定的区别；

2) 提速之前的“夕发朝至”客车，提速后应仍能保持“夕发朝至”的运行模

式，即始发时间应保证在18 时至24 时之间，到站时间在5 时至8 时之间；

3) 列车经过各主要站点（上海、南京、济南、天津、北京）的时间应该是一

个对旅客比较合适的时间，以便于主要站点上下车旅客继续工作。以上是铺画的基本规则，在铺画过程中还需要注意：

4) 从更实际的情况来考虑，提速后的200 公里/时是客车的最高时速，而客

车全程的平均速度应小于200 公里/时，根据此前几次铁路提速的情况，我们近似地把每趟旅客列车的平均速度加上40 作为第六次提速后各列客车的平均运行速度；

5) 考虑到客车在两个停靠站之间的区间中，可以达到最高200 公里/时的高

速，因此，为了更加充分的利用铁路资源，及更早的使列车到达目的地，我们认为，如果在某区间可以以高于当前时速20 公里/时的速度快速通过时，则安排其通过；

6) 货车速度的情况和客车相似，即认为120 公里/时是货车的最高速度，而平均速度则等于100 公里/时，某区间可以浮动的车速为20 公里/时；

7) 铺画过程应遵循先快车后慢车，先客车后货车的原则，即首先安排直达列车，其次为特快，然后是快速和普通客车，最后再安排货车；

8) 为了保证“夕发朝至”列车以及列车经过主要站点的时间为一个合适的时间，提速后我们将各等级旅客列车的开行时间分别向后推迟了一段。根据已经建立的模型及其算法，我们可以求解出徐州至济南区间段上行方向可以安排100 辆货车。

提速后新的旅客列车时刻（简）表部分车次如表4.1 所示。

模型的优缺点分析

㈠模型的优点：

（1）通过区间分析原理解决了客车运行安排中合理问题，为车站争取了更大的利润。

（2）更充分地利用了资源.

（3）巧妙利用了matlab软件解决实际中的问题。

（4）对车站车辆分配提供最优解决方案。

㈡模型的缺点：

（1）由于所给定的数据有限，对个别问题的解决难免带来了误差；时间的仓促也使对我们对问题的研究还不能达到尽善尽美。

（2）数据的可靠性缺乏一定实际意义，现实中很难达到这种准确状态。

（3）客车的匀速运行不可能实现.

（4）但是由于数据的限制，这也是不能很好的做到的一个客观原因。

五、模型的推广与改进

我们的模型不仅可以应用于对利润进行较好的分析，而且对类似的调度等问题都能很好的解决。对现行的资源节约、原材料的充分利用资源问题。

本模型是一个典型的调度模型，用来安排资源问题。此类问题很多，也有很多的推广应用价值。优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。设计师要在满足强度要求下选择材料的尺寸，使结构总重量最轻；公司经理要根据生产成本和市场要求下确定产品价格，使所获利润最高；调度人员要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线，使运输总费用最低；投资者要选择一些股票、债券“下注”，使收益最大，而风险最小；生产轮胎的公司要决策如何进行生产轮胎才能

保证收益最大，假如顾客的订单突然增加，可能导致缺货，假如机器需要检修或者购买新机器等因素，如何决策呢？

这种用数学建模的方法来处理优化问题，即建立和求解所谓优化模型。虽然由于建模时要做适当的简化，可能使得结果不一定完全可行或达到实际上的最优，但是它基于客观规律和数据，又不需要多大的费用。如果在建模的基础上再辅之以适当的经验和试验，就可以期望得到实际问题的一个比较圆满的回答。在决策科学化、定量化的呼声日益高涨的今天，这无疑是符合时代潮流和形势发展需要的。

参考文献

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【5】 MATLAB使用教程

【6】数学建模（https://www.360docs.net/doc/bf2966462.html,）https://www.360docs.net/doc/bf2966462.html,/

【7】数海 https://www.360docs.net/doc/bf2966462.html,/yunyan8/

【8】数学建模 (本科册) 湖北省大学数学建模竞赛专家组主编华中科技大学出版社 2006年2月

【9】其他图书馆资源应用https://www.360docs.net/doc/bf2966462.html,:8080/book/queryIn.jsp 【10】胡思继主编. 铁路行车组织. 北京：中国铁道出版社. 2002.

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