苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2全册教学案

苏教版2017-2018学年高中数学选修2-2

全册教学案

目录

1.1.1导数的概念平均变化率

1.1.2瞬时变化率--导数

1.2.1常见函数的导数

1.2.2函数的和差积商的导数

1.2.3简单复合函数的导数

1.3.1单调性

1.3.2极大值与极小值

1.3.3最大值与最小值

1.4导数在实际生活中的应用

1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分

1.5定积分的概念1.5.3微积分基本定理

第一章导数及其应用章末小结知识整合与阶段检测

2.1.1导数的概念第2课时类比推理

2.1.1导数的概念第一课时归纳推理

2.1.2导数的运算演绎推理

2.1.3导数在研究函数中的作用推理案例赏析

2.2.1合情推理与演绎推理直接证明

2.2.2间接证明

2.3数学归纳法第1课时利用数学归纳法证明等式不等式问题

2.3数学归纳法第2课时利用数学归纳法证明几何整除等问题

第二章推理与证明章末小结知识整合与阶段检测

3.1数系的扩充

3.2复数的四则运算第2课时复数的乘方与除法运算

3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算

3.3复数的几何意义

第三章数系的扩充与复数的引入章末小结知识整合与阶段检测

1．1.1 平均变化率

假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．

自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，

y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．

问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0.

问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？ 提示：对于山坡AB ，可用Δy

Δx 来近似刻画山路的陡峭程度．

问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0

x 1－x 0的几何意义是什么？

提示：Δy Δx ＝y 1－y 0

x 1－x 0

表示直线AB 的斜率．

问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？Δy

Δx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？

提示：不相同.Δy

Δx

的值越大，山路越陡峭．

1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为

f x 2－f x 1

x 2－x 1

.

2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．

在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义； (2)在式子

f x 2－f x 1

x 2－x 1

中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.

(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．

[例1] (1)求函数f (x )＝3x 2

＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．

[思路点拨] 求出所给区间内自变量的改变量及函数值的改变量，从而求出平均变化率． [精解详析] (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为：

f

－f 2.1－2

＝

2

＋

－2

＋

0.1

＝12.3.

(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g －

－g －－－－

＝

－

－2]－－－2]

－－－

＝

－

－－－1＋2

＝3.

[一点通] 求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1； 第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)； 第三步：求平均变化率

f x 2－f x 1

x 2－x 1

.

1．函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________． 解析：函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率为g

－g 4－2＝

－3×4－－4－2

＝

－12＋6

2

＝－3.

答案：－3

2.如图是函数y ＝f (x )的图象，则：

(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为

f

－f －1－－＝2－12＝12

.

(2)由函数f (x )的图象知，f (x )＝?????

x ＋32

，－1≤x ≤1，

x ＋1，1

所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为

f

－f

2－0

＝3－322＝34

.

答案：：(1)12 (2)3

4

3．本例条件不变，分别计算f (x )与g (x )在区间[1,2]上的平均变化率，并比较变化率的大小． 解：(1)f

－f 2－1

＝

3×22＋2－2

＋

2－1＝9.

(2)

g

－g 2－1

＝

3×2－2－

－

2－1

＝3.

f (x )比

g (x )在[1,2]上的平均变化率大．

[例2] t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．

[思路点拨] 求物体在某段时间内的平均速度，就是求位移的改变量与时间的改变量的比值． [精解详析] 物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为

S

＋Δt －S

＋Δt －1＝

＋Δt ＋1－1＋1

Δt

＝2＋Δt －2

Δt

＝

2＋Δt －22＋Δt ＋2

Δt

2＋Δt ＋2

＝

1

2＋Δt ＋2

(m/s)．

即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为

12＋Δt ＋ 2

m/s.

[一点通] 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．

4．圆的半径r 从0.1变化到0.3时，圆的面积S 的平均变化率为________． 解析：∵S ＝πr 2

，∴圆的半径r 从0.1变化到0.3时， 圆的面积S 的平均变化率为

S

－S

0.3－0.1＝π×0.32－π×0.12

0.2

＝0.4π.

答案：0.4π

5．在F 1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t (单位：s)存在函数关系S ＝10t ＋5t 2

，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？

解

：

赛

车

在[20,20.1]上

的平均速度为

S

－S

20.1－20

＝

＋5×20.12

－

＋5×20

2

20.1－20

＝

21.05

0.1

＝210.5(m/s)．

[例3] 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较

两人的速度哪个大？

[思路点拨] 要比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过平均变化率的大小关系得出结论．

[精解详析] 在t 0处s 1(t 0)＝s 2(t 0)， 但

s 1t 0－s 1t 0－Δt Δt

Δt

，

所以在单位时间内乙的速度比甲的速度大，因此，在如图所示的整个运动状态中乙的速度比甲的速度大．

[一点通] 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．

6.汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段

[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是

________．

解析：v 1＝

s t 1－s t 0

t 1－t 0

＝k OA ，

v 2＝s t 2－s t 1

t 2－t 1＝k AB ，

v 3＝s t 3－s t 2

t 3－t 2

＝k BC ，

由图象知：k OA v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 1

7．A 、B 两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W 1(t )、W 2(t )分别表示A 、B 两机关的用电量与时间第t 天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)

①两机关节能效果一样好；

②A 机关比B 机关节能效果好；

③A 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率比B 机关在[0，t 0]上的用电平均变化率大； ④A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大． 解析：由图可知，在t ＝0时，W 1(0)>W 2(0)， 当t ＝t 0时，W 1(t 0)＝W 2(t 0)， 所以W 1t 0－W 1

t 0

<

W 2t 0－W 2

t 0

，

且??

????W 1t 0－W 1

t 0>?

???

??W 2t 0－W 2

t 0.

故只有②正确． 答案：②

1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题

(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差． (2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．一次函数的平均变化率

一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)在区间[m ，n ]上的平均变化率为

f n －f m n －m ＝kn ＋b －km ＋b

n －m

＝

k .由上述计算可知，一次函数y ＝kx ＋b ，在区间[m ，n ]上的变化率与m ，n 的值无关，只与一次项系数有

关，且其平均变化率等于一次项的系数．

3．平均变化率的几何意义 (1)平均变化率f x 2－f x 1

x 2－x 1

表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数

量化”．

(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．

(一)]

一、填空题

1．函数f (x )＝x 2

－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 解析：

f

－f 1.1－1

＝

2

－－2

－

1.1－1

＝

0.21

0.1

＝2.1. 答案：2.1

2．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________．

解析：

f b －f a

b －a

＝

b ＋

－a ＋b －a

＝

b －a

b －a

＝2.

答案：2

3．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：

服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________． 解析：

c

－c 70－30＝0.90－0.9840

＝－0.002.

答案：－0.002

4.如图所示物体甲、乙在时间0到t

1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙

的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．

解析：由图可知，在[0，t 0]上，甲的平均速度与乙的平均速度相同；在[t 0，t 1]

上，甲的平均速度大于乙的平均速度．

答案：等于 大于

5．函数y ＝x 3

＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 解析：

a 3＋

－3

＋

a －1

＝a 3－1a －1

＝a 2＋a ＋1＝21. 解之得a ＝4或a ＝－5. 又∵a >1，∴a ＝4. 答案：4 二、解答题

6．已知函数f (x )＝2x 2

＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率． 解：函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率为2×2.012

＋1－2×22

－1

2.01－2＝8.02.

7．求函数y ＝sin x 在0到

π6之间和π3到π

2

之间的平均变化率，并比较它们的大小． 解：在0到π6之间的平均变化率为sin π

6－sin 0

π6

－0＝3

π

；

在π3到π

2之间的平均变化率为sin π2－sin

π3π2－π

3＝－3

π

.

∵2－3<1，∴3

π

>

－3π

，

∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π

2之间的平均变化率为

－3π

，故在

0到π

6

之间的平均变化率较大．

8．已知气球的表面积S (单位：cm 2)与半径r (单位：cm)之间的函数关系是S (r )＝4πr 2

.求： (1)气球表面积S 由10 cm 2

膨胀到20 cm 2

时的平均膨胀率即气球膨胀过程中半径的增量与表面积增量的比值；

(2)气球表面积S 由30 cm 2

膨胀到40 cm 2

时的平均膨胀率． 解：根据函数的增量来证明．

由S (r )＝4πr 2

，r >0，把r 表示成表面积S 的函数：

r (S )＝

12π

πS .

(1)当S 由10 cm 2

膨胀到20 cm 2

时，气球表面积的增量ΔS ＝20－10＝10(cm 2

)，气球半径的增量Δr ＝r (20)－r (10)＝1

2π

(20π－10π)≈0.37(cm)．

所以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.37

10

＝0.037.

(2)当S 由30 cm 2膨胀到40 cm 2时，气球表面积的增量ΔS ＝12π(40π－30π)≈0.239(cm 2

)．所

以气球的平均膨胀率为Δr ΔS ≈0.239

10

＝0.023 9.

1．1.2 瞬时变化率——导数

如图P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4…)，P 的坐标为(x 0，y 0)．

问题1：当点P n →点P 时，试想割线PP n 如何变化？ 提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置． 问题2：割线PP n 斜率是什么？ 提示：割线PP n 的斜率是k n ＝

f x n －f x 0

x n －x 0

.

问题3：割线PP n 的斜率与过点P 的切线PT 的斜率k 有什么关系呢？ 提示：当点P n 无限趋近于点P 时，k n 无限趋近于切线PT 的斜率． 问题4：能否求得过点P 的切线PT 的斜率？ 提示：能．

1．割线

设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线． 2．切线

随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时，直线

PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线.

一质点的运动方程为S ＝8－3t 2

，其中S 表示位移，t 表示时间． 问题1：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度是多少？ 提示：该质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度为8－

＋Δt 2－8＋3×1

2

Δt

＝－6－3Δt .

问题2：Δt 的变化对所求平均速度有何影响？

提示：Δt 越小，平均速度越接近常数－6.

1．平均速度

运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度． 2．瞬时速度

一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体位移S (t )的平均变化率

S t 0＋Δt －S t 0

Δt

无限趋

近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率．

3．瞬时加速度

一般地，如果当Δt 无限趋近于0时，运动物体速度v (t )的平均变化率

v t 0＋Δt －v t 0

Δt

无限趋

近于一个常数，那么这个常数称为物体在t ＝t 0时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率．

1．导数

设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值

Δy

Δx

＝f x 0＋Δx －f x 0

Δx

无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x

＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．

2．导数的几何意义

导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 3．导函数

(1)若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数，记作f ′(x )，在不引起混淆时，导函数f ′(x )也简称

f (x )的导数．

(2)f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．

1．利用导数的几何意义，可求曲线上在某点处的切线的斜率，然后由点斜式写出直线方程． 2．函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．

P5]

[例1] 已知曲线y ＝x ＋x 上的一点A ? ???2，2，用切线斜率定义求： (1)点A 处的切线的斜率； (2)点A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算

f

＋Δx －f

Δx

，再求其在Δx 趋近于0时无限逼近的值．

[精解详析] (1)∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2＋Δx ＋12＋Δx －?

????2＋12＝

－Δx

＋Δx

＋Δx ，

∴

Δy Δx ＝－Δx 2Δx ＋Δx ＋Δx Δx

＝－1

＋Δx

＋1.

当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx 无限趋近于3

4，

即点A 处的切线的斜率是3

4.

(2)切线方程为y －52＝3

4(x －2)，

即3x －4y ＋4＝0.

[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近的常数．

1．曲线y ＝－12x 2－2在点P ? ????1，－52处的切线的斜率为________． 解析：设P ? ????1，－52，Q ? ??

??1＋Δx ，－

12＋Δx 2

－2，

则割线PQ 的斜率为k PQ ＝－12＋Δx 2

－2＋

5

2

Δx

＝－1

2

Δx －1.

当Δx 无限趋近于0时，k PQ 无限趋近于－1，所以曲线y ＝－12x 2－2在点P ? ????1，－52处的切线的斜率为－1.

答案：－1

2．已知曲线y ＝2x 2

＋4x 在点P 处的切线的斜率为16，则P 点坐标为________．

解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f x 0＋Δx －f x 0

x 0＋Δx －x 0

＝

Δx

2

＋4x 0Δx ＋4Δx

Δx

＝4x 0＋4＋2Δx .

当Δx 无限趋近于0时，4x 0＋4＋2Δx 无限趋近于4x 0＋4，

因此4x 0＋4＝16，即x 0＝3， 所以y 0＝2×32

＋4×3＝18＋12＝30. 即P 点坐标为(3,30)． 答案：(3,30)

3．已知曲线y ＝3x 2

－x ，求曲线上一点A (1,2)处的切线的斜率及切线方程． 解：设A (1,2)，B (1＋Δx,3(1＋Δx )2

－(1＋Δx ))， 则k AB ＝

＋Δx

2

－

＋Δx －2

－

Δx

＝5＋3Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，5＋3Δx 无限趋近于5，所以曲线y ＝3x 2

－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 切线方程为y －2＝5(x －1)，即5x －y －3＝0.

[例2] 一质点按规律S (t )s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．

[思路点拨] 先求出质点在t ＝2s 时的平均速度，再根据瞬时速度的概念列方程求解．

[精解详析] 因为ΔS ＝S (2＋Δt )－S (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2

，所以ΔS Δt ＝

4a ＋a Δt .

当Δt 无限趋近于0时，ΔS

Δt 无限趋近于4a .

所以t ＝2 s 时的瞬时速度为4a m/s. 故4a ＝8，即a ＝2.

[一点通] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量ΔS ，再求出平均速度v ＝ΔS Δt ，最后计算当Δt 无限趋近于0时，ΔS

Δt

无限趋近常数，就是该物体在该时刻的瞬时速度．

4．一做直线运动的物体，其位移S 与时间t 的关系是S ＝3t －t 2

，则此物体在t ＝2时的瞬时速度为________．

解析：由于ΔS ＝3(2＋Δt )－(2＋Δt )2

－(3×2－22

)＝3Δt －4Δt －(Δt )2

＝－Δt －(Δt )2

， 所以ΔS Δt ＝

－Δt －Δt 2

Δt

＝－1－Δt .

当Δt 无限趋近于0时，ΔS

Δt 无限趋近于常数－1.

故物体在t ＝2时的瞬时速度为－1. 答案：－1

5．如果一个物体的运动方程S (t )＝???

?

?

t 2

＋2，0≤t <3，29＋

t －2，t ≥3，试求该物体在t ＝1和t ＝4时的瞬

时速度．

解：当t ＝1时，S (t )＝t 2

＋2， 则ΔS Δt

＝S

＋Δt －S

Δt

＝

＋Δt 2

＋2－3

Δt

＝2＋Δt ，

当Δt 无限趋近于0时，2＋Δt 无限趋近于2， 所以v (1)＝2； ∵t ＝4∈[3，＋∞)，

∴S (t )＝29＋3(t －3)2

＝3t 2

－18t ＋56， ∴ΔS Δt

＝＋Δt

2

－

＋Δt ＋56－3×42

＋18×4－56

Δt

＝3Δt 2

＋6·Δt Δt

＝3·Δt ＋6，

∴当Δt 无限趋近于0时，3·Δt ＋6→6，即ΔS

Δt →6，

所以v (4)＝6.

[例3] 已知f (x )＝x 2

－(1)求f (x )在x ＝2处的导数； (2)求f (x )在x ＝a 处的导数．

[思路点拨] 根据导数的定义进行求解．深刻理解概念是正确解题的关键． [精解详析] (1)因为Δy Δx ＝

f

＋Δx －f

Δx

＝

＋Δx

2

－3－2

－

Δx

＝4＋Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，4＋Δx 无限趋近于4， 所以f (x )在x ＝2处的导数等于4. (2)因为Δy Δx ＝

f

a ＋Δx －f a

Δx

＝

a ＋Δx

2

－3－a 2

－

Δx

＝2a ＋Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，2a ＋Δx 无限趋近于2a ， 所以f (x )在x ＝a 处的导数等于2a .

[一点通] 由导数的定义知，求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx

＝

f

x 0＋Δx －f x 0

Δx

；

(3)令Δx 无限趋近于0，求得导数．

6．函数y ＝x ＋1

x

在x ＝1处的导数是________．

解析：∵函数y ＝f (x )＝x ＋1

x

，

∴Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)

＝1＋Δx ＋11＋Δx －1－1＝Δx

2

1＋Δx ，

∴

Δy Δx ＝Δx 1＋Δx ，当Δx →0时，Δy Δx

→0， 即y ＝x ＋1

x

在x ＝1处的导数为0.

答案：0

7．设f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 解析：∵

f

＋Δx －f

Δx

＝

a

＋Δx ＋4－a －4

Δx

＝a ，

∴f ′(1)＝a ，即a ＝2. 答案：2

8．将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第x h 时，原油的温度(单位：℃)为f (x )＝x 2

－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数y ＝f (x )在x ＝6处的导数f ′(6)，并解释它的实际意义．

解：当x 从6变到6＋Δx 时，函数值从f (6)变到f (6＋Δx )，函数值y 关于x 的平均变化率为：

f

＋Δx －f

Δx

＝

＋Δx

2

－＋Δx ＋15－

2

－7×6＋

Δx

＝

5Δx ＋Δx 2

Δx

＝5＋Δx .

当x →6时，即Δx →0，平均变化率趋近于5，

所以f ′(6)＝5，导数f ′(6)＝5表示当x ＝6 h 时原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度．也就是说，如果保持6 h 时温度的变化速度，每经过1 h 时间，原油温度将升高5℃.

1．利用导数的几何意义求过某点的切线方程

(1)若已知点(x 0，y 0)在已知曲线上，则先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．

(2)若题中所给的点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．

2．f ′(x 0)与f ′(x )的异同

(二)]

一、填空题

1．一质点运动的方程为S ＝5－3t 2

，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度为________．

解析：∵当Δt 无限趋近于0时，－3Δt －6无限趋近于常数－6，∴该质点在t ＝1时的瞬时速度为－6.

答案：－6

2．函数f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为________．

解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy

Δx ＝－3，

则Δx 趋于0时，Δy

Δx ＝－3.

故f (x )在x ＝2处的导数为－3. 答案：－3

3．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1

2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.

解析：由题意知f ′(1)＝12，f (1)＝12＋2＝5

2

，

所以f (1)＋f ′(1)＝52＋1

2＝3.

答案：3

4．曲线f (x )＝12x 2－2在点?

????1，－32处的切线的倾斜角为________． 解析：∵

f

＋Δx －f

Δx

＝

12

＋Δx

2

－2－? ??

??12－2Δx

＝12Δx 2

＋Δx Δx ＝12Δx ＋1.

∴当Δx 无限趋近于0时，f

＋Δx －f

Δx

无限趋近于常数1，即切线的斜率为1.

∴切线的倾斜角为π

4.

答案：π4

5．已知曲线y ＝2ax 2

＋1过点P (a ，3)，则该曲线在P 点处的切线方程为________． 解析：∵y ＝2ax 2

＋1过点P (a ，3)， ∴3＝2a 2

＋1，即a 2＝1.

又∵a ≥0，∴a ＝1，即y ＝2x 2

＋1. ∴P (1,3)． 又Δy Δx

＝f ＋Δx －f

Δx

＝

＋Δx

2

＋1－2×12

－1

Δx

＝4＋2Δx .

∴当Δx 无限趋近于0时，

Δy

Δx

无限趋近于常数4， ∴f ′(1)＝4，即切线的斜率为4. 由点斜式可得切线方程为y －3＝4(x －1)， 即4x －y －1＝0. 答案：4x －y －1＝0 二、 解答题

6．已知质点运动方程是S (t )＝12gt 2

＋2t －1(g 是重力加速度，常量)，求质点在t ＝4 s 时的瞬时速度

(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)．

解：ΔS Δt

＝

S ＋Δt －S

Δt

＝

?

?????12g ＋Δt

2

＋

＋Δt －1－? ??

?

?12g ·42＋2×4－1Δt

＝

1

2

g Δt 2

＋4g ·Δt ＋2·Δt

Δt

＝1

2

g Δt ＋4g ＋2. ∵当Δt →0时，ΔS

Δt →4g ＋2，

∴S ′(4)＝4g ＋2，即v (4)＝4g ＋2，

所以，质点在t ＝4 s 时的瞬时速度为(4g ＋2) m/s.

7．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2

－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程． 解：∵

＋Δx

2

－

＋Δx ＋2－

2

－4×1＋

Δx

＝

2Δx ＋Δx 2Δx

＝2＋3·Δx ，

∴当Δx →0时，2＋3·Δx →2，∴f ′(1)＝2， 所以直线的斜率为2，

所以直线方程为y －2＝2(x ＋1)， 即2x －y ＋4＝0.

8．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3

－2x 2

＋3相切．求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)， ∵Δy Δx

＝x 0＋Δx 3

－

x 0＋Δx 2＋3－x 30－2x 2

＋

Δx

＝(Δx )2

＋(3x 0－2)Δx ＋3x 2

0－4x 0. ∴当Δx →0时，Δy Δx →3x 2

0－4x 0，

即f ′(x 0)＝3x 2

0－4x 0，

由导数的几何意义，得3x 2

0－4x 0＝4， 解得x 0＝－2

3

或x 0＝2.

∴切点的坐标为? ????－23，4927或(2,3)， 当切点为? ??

??－23，4927时， 有

4927＝4×? ??

??－23＋a ，∴a ＝12127，

当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5， 当a ＝12127时，切点为? ??

??－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．

1.2.1 常见函数的导数

已知函数

(1)f (x )＝c ，(2)f (x )＝x ，(3)f (x )＝x 2

， (4)f (x )＝1

x

，(5)f (x )＝x .

问题1：函数f (x )＝x 的导数是什么？ 提示：∵Δy Δx

＝

f

x ＋Δx －f x Δx ＝x ＋Δx －x

Δx

＝1，

∴当Δx →0时，Δy

Δx →1，即x ′＝1.

问题2：函数f (x )＝1

x

的导数是什么？

提示：∵Δy Δx ＝

f

x ＋Δx －f x Δx ＝1x ＋Δx －1

x Δx

＝

x －x ＋Δx x x ＋Δx Δx ＝－1x 2＋x ·Δx

，

∴当Δx →0时，Δy Δx →－1x ，即? ??

??1x ′＝－1x .

1．(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)； 2．C ′＝0(C 为常数)； 3．(x )′＝1； 4．(x 2

)′＝2x ； 5．(x 3

)′＝3x 2

； 6.? ??

??1x ′＝－1x

2；

7．(x )′＝1

2x

.

1．(x α

)′＝αx

α－1

(α为常数)；

2．(a x

)′＝a x

ln_a (a >0，且a ≠1)；