专题分段函数与函数零点答案
11. 已知函数f(x)=???x ,x ≥0,x 2,x <0,
则关于x 的不等式f(x 2
)>f(3-2x)的解集是
__________
11. (-∞,-3)∪(1,3) 解析:x≤3
2时原不等式化为x 2>3-2x ,解得x <
-3或1<x≤32;x >32时原不等式化为x 2>(3-2x)2
,解得32<x <3.综上x <-3或
1<x <3.本题考查分类讨论的思想,考查解不等式的能力.本题属于中等题.
11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x),当x≥0时,f(x)=-x +2,则不等式f(x)-x 2≥0的解集为________.
11. [-1,1] 解析:∵ f(x)≥x 2,而f(x)示意图如下:
令x 2=-x +2,得x =1(x>0),从而由图象知,原不等式解集为[-1,1].
本考查了函数的综合运用,以及数形结合数学思想.本题属于中等题.
13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数,若函数y =f(x 2)+f(k -x)只有一个零点,则实数k 的值是__________.
13. 1
4 解析:不妨设f(x)=x ,则x 2+k -x =0只有一个解,从而1-4k =0,
得k =14
.
12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x≤0时,f(x)=-x 2
-3x ,则不等式f(x -1)>-x +4的解集是____________.
12. (4,+∞) 解析:由题意得f(x)=?
??-x 2
-3x ,x ≤0,
x 2-3x ,x>0,
f(x -1)=???-(x -1)2
-3(x -1),x -1≤0,
(x -1)2
-3(x -1),x -1>0,
即f(x -1)=???-x 2
-x +2,x ≤1,
x 2-5x +4,x>1,
所以不等式f(x -1)>-x +4可化为?
??-x 2
-x +2>-x +4,
x ≤1,
或?
??x 2
-5x +4>-x +4,
x>1,
解得x >4.
11. 已知f(x)=???x 2
+x (x≥0),
-x 2+x (x<0),
则不等式f(x 2-x +1)<12的解集是________.
11. (-1,2) 解析:由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3)=12.从而x 2-x +1<3,即x 2-x -2<0,∴ -1<x <2.本题主要考查函数的奇偶性、单调性的综合运用,属于中等题.
12. 已知函数f(x)=???? ????12x ,x<0,
(x -1)2
,x ≥0.
若f(f(-2))>f(k),则实数k 的取值
范围为________.
12. (log129,4) 解析:由f(x)解析式画出f(x)示意图如下,又f(-2)=4,
∴ 原不等式等价于f(4)>f(k).设x<0,令f(x)=f(4)=9,解得x =log129,设
x>0,(x -1)2=9,得x =4从而x 图象,以及利用图象解决不等式问题,同时考查了分类讨论与数形结合的数学思想.本题属于中等题. 12. 若函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数,如 果实数t 满足f(lnt)+f ? ?? ?? ln 1t ≤2f(1),那么t 的取值范围是________. 12. ???? ?? 1e ,e 解析:f(lnt)+f(-lnt)=2f(lnt)≤2f(1) ,即f(lnt)≤f(1), 又f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递增,从而有|lnt|≤1,∴ -1≤lnt ≤1, 即t∈???? ?? 1e ,e .本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.本题属于中等题. 13. 设函数f(x)=???1-|x -1|,x<2,12 f (x -2),x ≥2,则方程xf(x)-1=0根的个数为________. 13. 6 解析:方程xf(x)-1=0,显然x =0不是方程的解,因而原方程等价于y =f(x)与y =1 x 两个函数图象的交点个数,f(x)示意图如下图所示. ∵ f(7)=18<17,从而x>7时f(x)=1 x 无交点,因而原方程有6个解. 设函数f(x)=???1 4x ,x ∈ ???? ??0,12,-x +1,x ∈? ???? 12,1, g(x)=asin ? ???? π6x -a +2(a>0).若存在x 1 、x 2 ∈[0,1],使得f(x 1)=g(x 2)成立,则实数a 的取值范围为________. 14. 已知函数f(x)=???kx +k ,x ≤0 lnx ,x>0 (其中k≥0),若函数y =f[f(x)]+1有4 个零点,则实数k 的取值范围是________. 14. k ≥1 e 解析:令t = f (x),则f (t)+1=0,∴ ???f (t )=-1,t =f (x ), 关于x 有4个解,又t =f (x)示意图如图. f (t)=-1有两解: t 2<-1,t 1=1 e , 而f (x)=t (k≥0),当t 2<-1时,由图象可知方程f(x)=t 肯定有两解;当t 1=1e 时,由题意知,方程f (x) = 1e 在x∈R 上必须有两解,由图象知k≥1 e .本 题考查函数与方程的综合运用以及数形结合的数学思想.本题属于难题. 12. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x 2,当x >1时,f(x +1)=f(x)+f(1).若直线y =kx 与函数y =f(x)的图象恰有5个不同的公共点,则实数k 的值为__________. 12. 22-2 解析:f(1)=1,从而f(x +1)=f(x)+1,当1≤x≤2时,f(x)=f(x -1)+1=(x -1)2+1,直线y =kx 与y =f(x)图象关于原点对称,从而原题等价于直线y =kx 与y =f(x)在x 轴右边有2个交点(原点除外),从而y =kx 与y =(x -1)2+1在1≤x≤2有唯一交点,即x 2-2x +2=kx 有1解,令Δ=(k +2)2-8=0得k =-2±22,又k >0,从而k =22-2. 已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=|x 2-2x +1 2 |.若函数y =f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是____________. (0,12 ) 13. 已知函数f(x)=? ??(2x -x 2)e x ,x ≤0, -x 2 +4x +3,x >0,g(x)=f(x)+2k.若函数g(x)恰有两个不同的零点,则实数k 的取值范围为__________. 13. ? ????-72,-32∪(2+1 e 2 ,0) 解析:g(x)=0等价于-2k =f(x)有两个 解.又函数f(x)的示意图如图所示. 即-(22+2)e - 2 <-2k <0或3<-2k <7. 从而k∈? ????-72,-32∪(2+1 e 2 ,0).