第五章水文统计的基本知识及方法
第五章水文统计的基本知识及方法
研究内容：
主要有频率计算与相关分析。
频率计算，包括随机变量及其概率分布、水文频率曲线、适线法等；
相关分析，包括简相关与复相关。
研究目的：
研究河川径流的统计规律，预估径流的变化趋势，以满足水利水电工程规划、设计、施工和运行管理的需要。
第一节概述
概率论与数理统计是一门研究客观事物偶然性（随机性）规律的学科。由于水文现象一般都具有偶然性的特点，所以，可以用数理统计的原理和方法分析研究它的变化规律。这种方法称为水文统计法。
工程水文计算中运用水文统计法，不仅合理，而且是必要的。例如，流域开发，首先要搞清未来河流水量的多少；设计拦河坝、堤防工程需要知道未来时期当地洪水的大小。这些都要求对未来长期的径流形势做出估计。如果所建工程计划使用100年，那么就要对未来100年的径流形势做出估计。但是，由于影响径流的因素众多，难以基于必然现象的规律，应用成因分析法对径流做出这样长期的时序定量预报，而只能基于统计规律，运用数理统计方法对径流做出概率预估，以满足工程设计的需要。
第二节概率的基本概念
一、试验和事件
在概率论中, 对随机现象的测验叫做随机试验,随机试验的特点是限定条件，重复做。随机试验的结果称为事件。根据事件发生的可能性，事件可以分为三类：
1、必然事件：在一定试验条件下，试验结果中必然会发生的事件；
2、不可能事件：在一定试验条件下，试验结果中决不会发生的事件；
3、随机事件：在一定试验条件下，试验结果中可能发生也可能不发生的事件。
二、概率
随机事件出现的可能性或机率叫概率。随机事件A发生的概率用P(A)表示，以百分数计。
显然，必然事件概率为1；不可能事件的概率为0；随机事件的概率介于0和1之间。
如果某试验可能发生的结果总数是有限的，并且所有结果出现的可能性是相等的，称之为古典概型事件。在古典概型事件中，如果可能发生的结果总数为n，而事件A有其中的m个结果，则随机事件A发生的概率P(A)为：
P(A)=m/n 5-1
水文事件一般不能归为古典概型事件。它们的概率一般只能通过多次观测试验来推求，这种概率称为经验概率，也称频率。
三、频率
设事件A在n次重复试验中出现了m次，则比值：
W（A）=m/n 5-2
称为事件A在n次试验中出现的频率。频率在一定程度上反映了事件出现的
可能性大小。事件A发生的概率是理论值，而频率是经验值，在试验中事件发生的频率通常不等于概率。但随着试验次数的增加，频率有趋近概率的规律。这一点不仅可以从理论上证明，如大数定理，而且可以通过随机试验验证，如掷硬币试验。因此，水文上常用事件发生的频率作为概率的近似值。
四、概率加法定理和乘法定理
1、概率加法定理
事件（A+B）表示事件A与B的和事件，包括事件A发生或事件B发生以及两事件同时发生。加法定理公式：
P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB） 5-3 式中: P（A+B）－事件A与事件B的和事件发生的概率；
P（A）－事件A发生的概率；
P（B）－事件B发生的概率；
P（AB）－事件A与B同时发生的概率。
若事件A与B不可能同时发生，则称为互斥事件。互斥事件加法定理公式：P（A+B）=P（A）+P（B） 5-4
2、概率乘法定理
两事件积的概率，表示两事件共同出现的概率，它等于其中一事件的概率乘以另一事件在前一事件发生的条件下发生的条件概率，即：
P（AB）=P（A）×P（B︱A） 5-6 或P（AB）=P（B）×P（A︱B） 5-7
若事件A的发生对事件B发生的概率没有影响，即：P（B︱A）＝P（B）或P（A︱B）＝P（A），则称这两个事件是相互独立的；它们共同出现的概率等于事件A的概率乘以事件B的概率，即
P（AB）＝P（A）×P（B） 5-5
第三节随机变量及其概率分布
一、随机变量
表示随机试验结果的量称为随机变量，常用大写英文字母来表示，并用相应的小写字母来表示随机变量的具体取值。
随机变量可分为两类：即离散型随机变量和连续型随机变量。
1、离散型随机变量：若随机变量仅能取得某区间内的一些间断的数值，则称为离散型随机变量；
2、连续性随机变量：若随机变量可以取得某区间内的任何数值，则称为连续性随机变量。
随机变量取值的全体称为总体，总体中的一部分称为样本。
二、随机变量的概率分布
随机变量可以取得总体中的任何值，但是取某一值都有一定的概率，随机变量的取值与取该值的概率之间有一定的对应关系。这种对应关系称为概率分布。
1、离散型随机变量概率分布的表示
离散型随机变量的概率分布一般以分布列表示，如表5-3-1。
表5-3-1离散型随机变量及其概率分布
2、连续型随机变量概率分布的表示
对于连续型随机变量，其取值是无限多的，恰好取某个值的概率都非常小，趋近于零，因此，讨论这样的问题没有意义，一般研究区间概率问题。水文学关心随机变量取值大于等于某一定值的概率，即P（X≥x），而该概率是x的函数，由此，定义了分布函数和密度函数。
①、分布函数
设事件X≥x 的概率用P（X≥x）来表示，它是随随机变量取值x而变化的，所以p（X≥x）是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为F（x），即:
F(x)=P(X≥x)
它代表随机变量X取值大于等于某一定值x的概率。其几何图形如图5-4（b）所示，图中纵坐标表示变量x，横坐标表示概率分布函数值F（x），在数学上称此曲线为概率分布曲线，水文统计中称为频率曲线。
②密度函数
为了应用方便，人们又定义了密度函数。分布函数一阶导数的负值称为密度函数，记为f（x），即:
密度曲线的图形习惯以纵坐标表示变量x ,横坐标表示概率密度函数值f(x)，如5-4（a）所示。
显然，分布函数与密度函数有以下关系：
F(x)=P(X≥x)=（5-10）
其对应关系可在图5-4中看出来。
图5-4（a）概率密度函数（b）概率分布函数
三、随机变量的统计参数
表示随机变量统计特征的数字，称为随机变量的统计参数。
统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文计算中常用的统计参数有均值、离差系数和偏差系数。
1、均值（平均数）
均值表示随机变量的平均水平，反映其位置特征。
对于离散型随机变量其均值为 :
（5-11）
式中x i－随机变量的某一具体取值；
P
－随机变量取第i个值的概率。
i
如果取值为等概率，其均值即为算术平均数：
对于连续型随机变量，其均值用期望值E(x)表示：
E(x)=（5-12）
式中a是总体的最小值，b是是总体中的最大值
2、离差系数
随机变量的离散特征一般用均方差表示：
（5-13）
均方差越大表示离散程度越大。但是，当随机变量量纲不同时，均方差则难以反映离散程度的大小。因此，水文学定义离差系数表示离散程度。
水文计算中用均方差与均值之比作为衡量系列相对离散程度的一个参数，称为离差系数，用Cv表示，其计算式为:
（5-14）
式中Ki＝xi/,称为模比系数。
3、偏差系数
偏差系数作为衡量随机变量取值对称特征的参数，用C
S
表示，其计算式为:
（5-15）
当随机变量取值对于对称时，C
S
＝0；当随机变量取值对于不对称时，称
为有偏。这时，C
S ≠0；若C
S
＞0，称为正偏；若C
S
＜0，称为负偏。
三、几种常用的概率分布曲线
水文上把常用的随机变量概率分布曲线称为水文频率曲线，我国统计中广泛应用的频率曲线有两种类型，即正态分布和皮尔逊Ⅲ型分布。我国水文计算中常用的频率分布线型为皮尔逊Ⅲ型（P-Ⅲ型）。
（一）正态分布
正态分布具有如下形式的概率密度函数：
其中：（－∞﹤x﹤＋∞）（5-16）式中：—均值；
σ–均方差；
e - 自然对数的底。
正态分布的密度曲线有以下几个特点：
①单峰；
②对于平均数对称，C
S ＝0；C
S
＞0，正偏；C
S
＜0，负偏；
③曲线两端趋于±∞，即以x轴为渐近线。
正态分布密度函数中只包含两个参数：均值和均方差σ。可以证明：
①
②
上式说明±σ区间的面积占全面积的68.3％（见图5-10），±3σ区间的面积占全面积的99.7％。换言之，服从正态分布的随机变量，取值在±σ区间的概率为68.3％，取值在±3σ区间的概率为99.7％。正态分布的上述性质经常用于误差分析。
图5-10 正态分布密度曲线
(二)皮尔逊Ⅲ（P－Ⅲ）型曲线
1、皮尔逊Ⅲ型曲线的概率密度函数
皮尔逊Ⅲ型曲线是一条一端有限一端无限的不对称单峰、正偏曲线（见图5-11），其概率密度函数为:
（4-4-2）
式中：Γ（α）―α的伽玛函数；
α、β、a0―分别为皮尔逊Ⅲ型分布的三个参数。
图5-11 皮尔逊Ⅲ型概率密度曲线
显然，三个参数确定以后，该密度函数随之确定。可以推证，这三个参数与常用的三个参数、Cv、CS具有如下关系：
因此，皮尔逊Ⅲ型频率曲线的密度函数可表示为以、Cv、CS为参数的函数
。
2、皮尔逊Ⅲ型频率曲线及其绘制
水文计算中，一般需要求出指定频率P所对应的随机变量取值xp，这就需要对密度函数进行积分，确定其下限xp，即:
（5-18）
令，可变换成下面的积分形式 :
（5-19）
，其它两个参数、Cv都包含式（5-19）中被积函数只含有一个待定参数C
S
在中，是标准化变换。因此，只需要给定一个Cs值，便可从式（4-4-7）通过积分求出P与之间的关系值。
对于若干个给定的Cs值，P与的对应值可制成表，该表已先后由美国福
斯特和前苏联雷布京制作出来，见附表2皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表，查表可由C
S
求出相应频率的值，进而可计算出该频率对应的x值：
附表2 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的离均系数值表（摘录）
例题：
（1）已知某地区多年平均年降雨量＝1000mm，Cv＝0.5，Cs＝1.0，设年降雨量的概率分布符合皮尔逊Ⅲ型，试求概率P为1％的年雨量值。
由C
S ＝1.0, P=1％查Φ值表，得Φ
1%
＝3.02，所以
X 1%=(Φ
1%
Cv+1) =(3.02×0.5+1)×1000mm＝2510mm
（2）已知某流域最大1日雨量的＝80.0mm，Cv＝0.5，Cs＝3.5 Cv，则该流域P=1%的最大一日雨量为多少？
Cv+1) =(2.74
3、皮尔逊Ⅲ型频率曲线的应用
在频率计算时，由已知的C
S
值，查值表得出不同的P的值，然后利用已知的、Cv，通过公式即可求出与各种P相应的x值，从而可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。
当Cs等于Cv的一定倍数时,为了应用方便，P-Ⅲ型频率曲线的模比系数K
P
也已制成表格,见附表3皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数K
P
值表。频率计算时，
由已知的C
S 和C
V
可以从附表2中查出与各种频率P相对应的K
P
值，然后即可算
出与各种频率对应的x
p =K
P
。如上例，由C
S
＝2Cv，Cv＝0.5，P＝1％，查K
P
值
表，可得K
1%＝2.51,所以X
1%
＝K
1%
＝2.51×1000mm＝2510mm。有了P和x 的一些
对应值，即可绘制出皮尔逊Ⅲ型频率曲线。
附表3 皮尔逊Ⅲ型频率曲线的模比系数K P值表（摘录，Cs = 2Cv）
第四节统计参数估算
在概率分布函数中一般都有一些参数, 例如皮尔逊III型分布曲线中就包含有均值、变差系数Cv、偏态系数Cs三个统计参数。为了确定概率分布函数, 就得估计出这些参数。
一、矩法
矩法是通过矩和参数之间的关系，来估计频率曲线参数的一种方法。无偏估计公式如下：
二、三点法
三点法是在绘制的经验频率曲线上任取三点，其坐标为（x
1，p
1
）、（x
2
，
p 2）和（x
3
，p
3
），由式（4-4-12）可以建立3个方程，联解三个方程组成的方
程组，便可以求得三个参数。
从理论上讲，P
1、P
2
、P
3
可以任取，但在实际工作中一般取：P
1
＝5％，P
2
＝
50％，P
3＝
95％。
图5-4-1 三点法在经验频率曲线上取点示意图
在解方程组的过程中，引入一个系数S，该系数称为偏度系数
显然，S是Cs的函数，其关系已制成表 - P = 5～50～95% 时S与Cs关系表，计算出s后，就可从表中查出相应的Cs值。
解方程组可得：
（4-5-7）
而（4-5-8）式中值可由值表中查出，由此得到皮尔逊Ⅲ型频率曲线的三个统计参数。
附表4 三点法用表P = 5～50～95% 时S与Cs关系表
三、抽样误差
用样本的统计参数来估计总体统计参数时存在一定的误差，这种误差是由于抽样引起的，称为抽样误差。
误差的均方差称为均方误。显然，均方误越大，抽样误差也越大。皮尔逊Ⅲ型分布用矩法估算参数时，可用、、、分别代表、、Cv和Cs的均方误，其计算公式为：
（5-28）
（5-29）
（5-30）
（5-31）
由上述公式可见，各式的分母中都含有n，n为样本容量。可见，样本容量越大，其抽样误差就越小。
第五节现行水文频率计算方法—适线法
一、经验频率
由实测资料计算的频率称为经验频率，经验频率计算采用公式：
1+=
n m P
式中：m 为水文变量由大到小排列并按自然数顺序编出的序号
n 为样本容量。
二、重现期
由于"频率"较为抽象，水文上常用"重现期"来代替"频率"。所谓重现期是指某随机变量重复出现的平均周期，单位为年，用符号T 表示。重现期为T ，习惯上又称作T 年一遇。频率P 与重现期T 的关系如下：
1、暴雨、洪水问题，关心的是超概率事件，则:
（年） （5-32）
例如P=0.5%的设计洪水，用式5-32计算，其重现期为200年，可称此洪水为200年一遇的设计洪水。
例如某堤防按20年一遇防洪标准设计，其相应的设计频率P=1/T ×100%，即P=1/20×100%=5%。
2、干旱、枯水问题，关心的是不及概率事件，则 P
T -=
11
（年） （5-33） 例如P=80%的枯水流量，用式5-33计算，其重现期为5年，可称此为5年一遇的枯水流量。
3、有关说明
100年一遇暴雨或洪水，是指大于或等于这样的暴雨或洪水在长时期内平均
100年可能发生1次，而不能认为每隔100年必然遇上1次。
三、机率格纸
频率计算所用的格纸称为机率格纸，此种格纸横坐标的两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格。之所以采用这样的机率格纸，是因为将频率曲线绘在普通方格纸上，实际意义较大的两端特别陡峭，应用起来极不方便，而绘在机率格纸上，两端的坡度变缓，使用起来就比较方便了。这种机率格纸的分格是按正态分布曲线能绘制成直线来划分的，所以，当Cs=0时，频率曲线在机率格纸上为一直线。
四、统计参数对频率曲线形状的影响
为了避免配线时调整参数的盲目性，必须了解皮尔逊Ⅲ型分布的统计参数对频率曲线形状的影响。
1、均值对频率曲线形状的影响
当皮尔逊Ⅲ型频率曲线的Cv和Cs不变时，均值增大，频率曲线会升高。如下图所示。
不同均值对频率曲线的影响图
2、变差系数cv对频率曲线形状的影响
当皮尔逊Ⅲ型频率曲线的均值和Cs不变时，Cv增大，频率曲线会变陡。如下图所示。
图5-12 Cs=1.0时，各变差系数Cv对频率曲线的影响
3、偏态系数Cs对频率曲线形状的影响
当皮尔逊Ⅲ型频率曲线的均值和Cv不变时，Cs增大，频率曲线会上部陡、下部缓、中间弯。如下图所示。
图5-13 偏态系数Cs对频率曲线的影响
五、适线法的步骤
1、点绘经验频率点据（把资料从大到小排列，按自然数顺序编号，按P=
计算经验频率，以变量值为纵坐标、以相应的经验频率值为横坐标，在机率格纸上点绘出点据）；
2、用无偏估计公式计算均值、变差系数；
3、假定一个Cs（年径流问题Cs=2～3Cv，暴雨、洪水问题Cs=2.5～4 Cv）；
4、选定线型，一般用皮尔逊Ⅲ型；
5、根据三个统计参数查Ф值表或K值表，计算出各频率对应的变量值，点绘出一条皮尔逊Ⅲ型曲线；
6、分析皮尔逊Ⅲ型曲线与经验点据的拟合情况，如果满意，则该曲线对应的三个统计参数就作为总体参数的估计值。如果不满意，则修改参数，再画一条皮尔逊Ⅲ型曲线拟合，直到满意为止。
适线法软件介绍：用EXCEL软件分析计算（见例题）
第六节相关分析
一、概述
1．相关分析及其目的
分析和建立随机变量之间相互关系的过程称为相关分析。相关分析可以用来延长和插补短系列资料。
2．相关的种类
按照随机变量的个数，相关的种类分为：简相关和复相关。两个变量之间的关系称为简相关，三个或三个以上变量之间的关系称为复相关。
本章主要讨论简相关的问题，两个变量之间的关系有三种情况：完全相关、零相关、统计相关。
①、完全相关（函数关系）
两变量x 与y 之间，如果每给定一个x 值，就有一个完全确定的y 值与之对应，则这两个变量之间的关系就是完全相关（或称函数关系）。完全相关的形式有直线关系和曲线关系两种，如图5-15所示。
图5-15 完全相关示意图
②、零相关（没有关系）
两变量之间毫无联系，或某一变量的变化不影响另一变量的变化，这种关系称为零相关或没有关系，如图5-16所示。
图5-16 零相关示意图
③、统计相关
若两个变量之间的关系界于完全相关和零相关之间，则称为统计相关。分为直线相关和曲线相关，如图5-17所示。
水文频率分析方法
水文频率分析方法hydrologic frequency analysis（讲座） （一、问题；二、原理；三、步骤；四、应用；五、讨论） 一、问题 高等学校的“培养人才、发展科学、服务社会”的功能。其中的培养人才的功能：把所学课程的知识逐步 遗忘，最后未被遗忘的知识，对最后未被遗忘的知识的认识、运用和创新。“水文频率分析方法”，就是我认为 的《水文学》课程中这种很可能最后未被遗忘的知识。 各门自然科学是人类对大自然各种现象（“文”）的系统知识，大自然各种现象之间本身具有普遍的联系。 若各门自然科学的各个知识点看作水分子，则这些知识点象水文循环一样，也在各门自然科学之间运动、更新， 把各门自然科学联结成一个整体上的科学。20世纪30年代普郎克：“科学是内在的整体，实际上存在着从物理 到化学，通过生物学和人类学到社会学的连续链条，这是任何一处都不能打断的链条。目前整体上的科学，被 分解为各门科学，不是取决于自然现象本身，而是取决于人类认识能力的局限性、阶段性。” [工程水文学主要包括水文计算、水文预报和水利计算三个组成部分。水文计算主要运用概率论和数理统计 的原理和方法，对未来长期的水文情势作出概率预估，为各类水利工程的规划和设计提供设计暴雨、设计洪水 设计年径流及其他有关水文数据。 水文预报是根据流域暴雨洪水形成理论和河道洪水波传播的规律，为各类防洪工程发布洪水预报；同时，也根 据水体热量平衡原理，对山区融雪径流，河流、水库、湖泊冰情作出预报；根据土壤中水分的补给、运动和消 退规律，为农业提供土壤水分的预报；根据河道退水规律，为航运和引水工程等作出枯季径流及其水位预报。 水利计算是研究水资源综合利用中的规划和经济效益论证，管理运用中的优化调度和对环境影响评价的理 论、原则和计算方法，特别是水资源开发利用中系统分析的理论和方法。] 已学教学内容的总结 研究对象：文—自然现象—水文现象（水文循环过程中的降水、蒸发、入渗、径流自然现象，活跃在地面 以上平均约11公里的大气对流层顶至地面以下1～2公里深处的广大空间；全球每年约有577000立方公里的水 参加水文循环，水文循环的内因，是水在自然条件下能进行液态、气态和固态三相转换的物理特性，而推动如 此巨大水文循环系统的能量，是太阳的辐射能和水在地球引力场所具有的势能）—水文随机现象。 研究方法：水文随机现象—水文随机变量—水文随机变量的概率分布（确定一个普通变量，只要指明该变量取 何值即可；确定一个随机变量，必须同时指明该随机变量取何值以及取该值的概率）—水文随机变量的各种统 计特征。 研究问题：计算径流（设计年径流及设计年径流的年内分配过程）； 设计枯水（设计流量历史曲线，设计枯水流量）； 设计洪水（设计洪峰流量，设计洪水过程线）。 [总结为同一类问题—水文统计的基本问题]：建设各类水利水电、土木建筑等工程，需要为其提供一定设 计频率p的水文设计值x p，p=P(X≥x p)，例如：95%的设计年径流量y95%，1%的设计年最大洪峰流量Q m,95%。 思路：水文随机变量的概率分布 水文随机变量的各种统计特征，引出2个问题： 1）概率分布的模型结构形式如何确定？ 2）概率分布模型结构中的参数如何确定？ 已学教学内容的总结 研究对象：文—自然现象—水文现象（水文循环过程中的降水、蒸发、入渗、径流自然现象，活跃在地面以上平均约11公里的大气对流层顶至地面以下1～2公里深处的广大空间；全球每年约有577000立方公里的水参加水文循环，水文循环的内因，是水在自然条件下能进行液态、气态和固态三相转换的物理特性，而推动如此巨大水文循环系统的能量，是太阳的辐射能和水在地球引力场所具有的势能）—水文随机现象。 研究方法：水文随机现象—水文随机变量—水文随机变量的概率分布（确定一个普通变量只要指明该变量取何值即可；确定一个随机变量，必须同时指明该随机变量取何值以及取该值的概率）—水文随机变量的各种统计特征。 研究问题：计算径流（设计年径流及设计年径流的年内分配过程）；
第4章习题_水文统计汇总
第四章水文统计 本章学习的内容和意义：本章应用数理统计的方法寻求水文现象的统计规律，在水文学中常被称为水文统计，包括频率计算和相关分析。频率计算是研究和分析水文随机现象的统计变化特性，并以此为基础对水文现象未来可能的长期变化作出在概率意义下的定量预估，以满足水利水电工程规划、设计、施工和运行管理的需要。相关分析又叫回归分析，在水利水电工程规划设计中常用于展延样本系列以提高样本的代表性，同时，也广泛应用于水文预报。 本章习题内容主要涉及：概率、频率计算，概率加法，概率乘法；随机变量及其统计参数的计算；理论频率曲线（正态分布，皮尔逊III型分布等）、经验频率曲线的确定；频率曲线参数的初估方法（矩法，权函数法，三点法等）；水文频率计算的适线法；相关系数、回归系数、复相关系数、均方误的计算；两变量直线相关（直线回归）、曲线相关的分析方法；复相关（多元回归）分析法。 一、概念题 （一）填空题 1、必然现象是指____________________________________________。 2、偶然现象是指。 3、概率是指。 4、频率是指。 5、两个互斥事件A、B出现的概率P（A+B）等于。 6、两个独立事件A、B共同出现的概率P（AB）等于。 7、对于一个统计系列，当C s= 0时称为；当C s﹥0时称为；当C s ﹤0时称为。 8、分布函数F（X）代表随机变量X 某一取值x的概率。 9、x、y两个系列，它们的变差系数分别为C V x、C V y，已知C V x＞C V y ，说明x系列较y系列的离散程 度。 10、正态频率曲线中包含的两个统计参数分别是，。 11、离均系数Φ的均值为，标准差为。 12、皮尔逊III型频率曲线中包含的三个统计参数分别是，，。 13、计算经验频率的数学期望公式为。 14、供水保证率为90%，其重现期为年。
天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解
第 5 章 大数定律与中心极限定理 一、 填空题： 1.设随机变量μξ=)(E ，方差2 σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9 1 . 2.设n ξξξ,,, 21是 n 个相互独立同分布的随机变量， ),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑== n i i n 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 2 28εεξεμξn D P =≤ ≥-)(}|{| ，并估计≥ <-}|{|4μξP n 21 1- . 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =, 1(1,2,,9)i DX i == , 令9 1 i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式 直接可得{} ≥<-ε9X P 2 9 1ε- . 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有 22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2 2{||}1.P X σμεε -<≥- 由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以 99 9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===??===== ???∑∑∑ 99 9 2 111()()19.i i i i i D X D X D X σ===??===== ???∑∑∑ 4. 设随机变量X 满足：2 (),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1 16 ≤ . 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2 (),()E X D X μσ==, 则对任意 的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221 {||4}.(4)16 P X σμσσ-≥≤=
数理统计第五章
第五章 1.通过原点的一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+，1,2,,i n =??? 其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()2 0,N σ 。试由n 组观测值(),i i x y ，1,2,,i n =???，用最小二乘法估计 β，并用矩法估计2 σ。 解： 对一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+ i n = ??? 离差平方和为 ()2 1 n i i i Q y x β== -∑ 对Q 求β的偏导数，并令其为0，即 ()1 0n i i i i y x x β=-=∑ 变换得 2 1 1 1 1n n i i i i i x y x n n β=== ∑∑ 解此方程得 2 xy x β∧ = 因为 22D E σεε== i i i y x εβ=- 所以 2 2 1 1n i i i y x n σβ∧∧ =??= - ??? ∑ () () () 22212 2 22 2 2 2 222 1222 n i i i i i y x y x n y xy x xy xy x y x x ββββ∧∧=∧ ∧??= -+ ???=-+=-+ ∑ () 2 2 2 xy y x =- 其中 1 1 n i i i xy x y n == ∑ 2 2 1 1 n i i x x n == ∑ 2 2 1 1 n i i y y n == ∑
2.在考察硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同温度观察它在100m l 的水中溶解的硝酸钠的重量，获得观察结果如下： 从经验和理论知i Y 和i x 之间有下述关系式i i i Y x αβε=++，1,2,,9i =??? 其中各i ε相互独立，并且都服从正态分布()2 0,N σ。试用最小二乘法估计参数,αβ ，并 用矩法估计2σ。 解： 将 26x = 90.14y = 2736.511xy = 2 451.11x m = 2 342.665 y m = 代入得 22 2 2 2 2 2736.51126 90.14 0.8706 451.11 90.140.870626 67.5088 342.665 0.8706 451.11 0.7487 x y x xy x y m y x m m βαβσ β∧ ∧ ∧ ∧ ∧--?= = ==-=- ?==-=-?= 3.为了得到一元线性回归分析的简化计算法，作变换101 ,,1,2,,, i i i i x c y c u v i n d d --= = =???且010,0d d ≠≠。若原经验回归直线方程为y x αβ∧ ∧ ∧ =+变换后经验回归直线方程为 ' ' v u αβ∧ ∧∧=+试证' ' ' 000011 1 ,d d d c c d d ββααβ∧ ∧∧ ∧∧= =+- ，并且 2 2 ''2 01 1 n n i i i i i i y x d v u αβαβ∧∧ ∧∧==?? ? ?--=-- ? ?? ??? ∑∑ 证明： ' 002 2 1 1 d d uv u v d d u u β∧-= - ()() () 01 2 1 1 n i i i n i i u u v v d d u u ==--= -∑∑
(完整版)水文水利计算复习资料
水文计算 1.水文现象的基本特征及水文学的研究方法是什么. 基本规律（1）成因规律（确定性规律） （2）统计规律（随机性规律） （3）地区性规律 研究方法成因分析法、数理统计法、地理综合法 2.流域平均雨量计算有哪几种方法. 算数平均法、泰森多边形法、等雨量线图法 3.径流有哪些表示方法. 流量（Q）：单位时间通过河流某断面的水量 径流量（W）：时段?t内通过河流某一断面的总水量 径流深（R）:径流量平铺在整个流域面积上的水层深度 R=QT/1000F 径流模数(M):流域出口断面流量与流域面积的比值 M=1000Q/F 径流系数（α）:某一时段的径流深与相应的降雨深度的比值 α =R/P 4.生么是概率、频率？二者的关系。 概率：表示随机事件出现的可能性或几率，是用来度量可 能性大小的数值，常用百分数表示。 频率：一定程度上反映了事件出现的可能性大小。 二者关系:概率是理论值，是固定不变的，可以按照公式预先计
算出来。具有先验性；而频率是计算值，是可变的（具有明显的随机性）、试验的（不符合古典概率公式的事件，他们的概率只能通过多次观测试验来推求）。概率是指随机变量某值在总体中的出现机会；频率是指随机变量某值在样本中的出现机会。当样本足够大时，频率具有一定的稳定性；当样本无限增大时，频率趋于概率。因此，频率可以作为概率的近似值。 5.重现期（T ）与频率（P ）有什么关系，P=80%的枯水年，其重现期(T)为多少年？含有是什么。 频率与重现期的关系有两种： （1）当研究暴雨洪水问题时，研究的目的是防洪，一般设计频率P ＜50%，则 T=1/P (X ≥Xp) T---重现期 P---频率(%) (2)当考虑水库兴利调节研究枯水问题时，研究的目的是灌溉、发电、供水等兴利目的，更关心小于等于某一数值出现的可能性大小，设计频率P ＞50%，则 )(1)x x (11p p x x P P T ＜=≥-= P=80%的枯水年，（年）5%8011=-=T 它表示小于等于P ＝80%的枯水流量在长时期内平均5年出现一次。 6．在频率计算中，为什么要给经验频率曲线选配一条“理论”频率曲线？
概率论与数理统计第五章习题解答.dot资料
第五章 假设检验与一元线性回归分析 习题详解 5.01 解：这是检验正态总体数学期望μ是否为32.0 提出假设：0.32:, 0.32:10≠=μμH H 由题设，样本容量6n =， 21.12=σ，1.121.10==σ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~61 .10 .320 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}|{|=≥λU P ,查表得96.1=λ 得到拒绝域: 96.1||≥u 计算得： 6.31)6.318.310.326.310.306.32(6 1=+++++?=x 89.061 .10 .326.310 0-=-= -= n x u σμ 因 0.89 1.96u =< 它没有落入拒绝域，于是不能拒绝H 0，而接受H 0，即可以认为 0.32=μ，所以可以认为这批机制砖的平均抗断强度μ显著为 32.0kg/cm 2。 5.02 解：这是检验正态总体数学期望μ是否大于10 提出假设：10:, 10:10>≤μμH H 即：10:, 10:10>=μμH H 由题设，样本容量5n =，221.0=σ，1.01.020==σ，
km x 万1.10=，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~51 .010 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='≥λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1≥u 计算得： 24.251 .010 1.100 =-= -= n x u σμ 因 2.24 1.64u => 它落入拒绝域，于是拒绝零假设 H 0，而接受备择假设H 1，即可认为10>μ 所以可以认为这批新摩托车的平均寿命μ有显者提高。 5.03 解：这是检验正态总体数学期望μ是否小于240 提出假设：240:,240:10<≥μμH H 即：240:, 240:10<=μμH H 由题设，样本容量6n =，6252=σ，256250==σ，220=x ，所以用U 检验 当零假设H 0成立时，变量：)1,0(~625 240 N X n X U -= -= σμ 因检验水平05.0=α，由05.0}{='-≤λU P ,查表得64.1'=λ 得到拒绝域: 64.1-≤u 计算得：959.1625 240 2200 -=-= -= n x u σμ 因 1.959 1.64u =-<-
中南大学《桥涵水文》考点汇总
■1．平原河流按平面形态及演变过程可分为哪些类型？顺直微弯型－中水河槽顺直，边滩交错分布；弯曲型－中水河槽弯曲，凹岸冲刷，凸岸淤积；分汊型－中水河槽分汊，汊道交替消长；散乱型－中水河槽宽浅，沙滩密布，河床变化急剧，主流摆动频繁。 ■2．河川水文现象的分析研究方法有哪些基本类型？成因分析法－通过水文现象的物理成因以及同其它自然现象有关的因素之间的关系，分析水文现象的规律；地区归纳法－结合地区特点，利用实测水文资料进行综合归纳；数理统计法（水文统计法）－对实测水文资料进行数理统计分析，寻求其统计规律。 ■3．什么是河床演变？在天然状况或人类活动干扰下，河床形态的不断变化，称为河床演变。它是水流与河床长期相互作用的结果，并通过泥沙运动来实现。、 ■4．桥面标高的确定应考虑哪些因素？桥面标高的确定应考虑泄流、通航的要求及桥前雍水、波浪高度、水拱、河湾凹岸水面超高及河床淤积等因素的影响。 ■1．影响河川径流的主要因素有哪些？河川径流主要影响因素有：气候因素－降水、蒸发，下垫面因素－流域的自然地理因素，人类活动等。 ■2．如何选择河流的形态断面？形态断面应选在近似于均匀流的河段上，一般要求河道顺直、水流通畅、河床稳定、河滩较小、河滩与河槽的洪水流向一致，无河湾、河汊、沙洲等情况。 ■4．影响河床演变的主要自然因素有哪些？影响河床演变的主要自然因素有三方面：（1）上游来水条件，即流量的大小和变化；（2）上游来沙条件，即上游来沙量及其粒径组成；（3）河床地质、土质条件、河床比降为河床演变提供了边界条件。 ■1、桥位设计的基本原则有哪些？答：1、以地区发展为第一要素；2、处理好道路与桥梁的关系；3、跨河构造物的布设应保障天然河水的顺利宣泄并顺应预计河道的自然演变；4、保证跨河构造物对车辆安全稳定的服务态势；5、最佳的综合技术经济指标；6、尽量选用与自然环境协调美观的桥型 ■2、河床演变的主要影响因素有哪些？答：1、流量大小及变化；2、河段来沙量及来沙组成；3、河段比降；4、河床地质情况；5、河床形态 ■3、平原区桥涵布设要点是什么？答：1、在弯曲河段上，高水位可能会产生截弯取直的地方，路堤最易被冲成缺口，宜在主槽上集中设置桥梁，采取一河一桥布置；2、在游荡性河段上布设桥梁，应采取必要的导流措施，使主槽的摆动有所约束，从而归于趋槽；3、在分汊河段上修建桥梁，河道上具有两个以上的主槽，一般均宜在各主槽上分别建桥，尽量少改变水流的天然状态。 ■4、如何确定桥面最低高程？影响桥面最低高程的因素有哪些？答：桥面最低标高的确定受到设计洪水水位、设计最高通航水位、因桥梁建筑而引起的水位升高、水面漂浮物、通航船只净高以及桥梁结构物高度、道路线型布设的需要等因素的综合影响，因此应从地区政治、经济、军事、交通运输业的发展及工程的技术经济合理为基点，综合分析，确定此标高值。 ■5、试述桥梁墩台局部冲刷的基本概念及对其影响的主要因素。答：由于桥墩对水流的干扰作用，墩前及墩侧产生了不利于床面稳定的局部水流，剧烈冲刷桥墩迎水端及其周围的泥沙，形成局部的冲刷坑成为桥梁墩台局部冲刷，对其影响的主要因素是涌向桥墩的流速、桥墩宽度、桥墩形式、墩前水深及床沙粒径等。 ■6、什么叫做适线法？为什么要用它来确定Cs？答：适线法的基本原理就是让理论曲线与经验曲线相吻合，当两曲线吻合较好时皮尔逊三型曲线几个参数的可信度就比较高，在三个参数中，平均流量可以直接根据数据计算得出，比较准确，稳定的变差系数需要20-30年的资料，而稳定的偏差系数需要100年以上的资料，因此从理论公式的准确性来讲只有Cs相对误差较大，所以要用它来确定Cs。■4、洪水调查工作包括哪些？答：1、河段踏勘；2、现场访问；3、形态断面及计算河段选择；4、野外测量。 ■5、桥位选择的一般要求有哪些？答：1、服从路线总方向及建桥的特殊要求；2、桥轴线为直线或为曲率小的平滑曲线；3、少占农田，少拆迁，少淹没；4、有利于施工；5、适应市政规划，协调水运、铁路运输，满足国防、经济开发等需要。 ■6、与小桥相比，涵洞孔径计算有哪些特点？答：1、涵洞洞身随路基填土高度增加而增长，洞身断面的尺寸对工程数量影响较大，因此计算涵洞孔径时，还要求跨径与台高应有一定比例关系，其经济比例通常为1:1~1:1.5；2、计算涵洞孔径时，要考虑洞身过水阻力的影响；3、涵洞孔径较小，通常都采取人工加固河床的措施来提高流速，以缩小孔径；4、为提高泄水能力，最大限度地缩小孔径，降低工程造价，在涵洞孔径计算中，要考虑水流充满洞身触及洞顶的情况。 ■1、简述水静力学基本方程的几何意义？1、答：z+p/r=C，z指计算点的位置高度，即计算点M距计算基准面的高度，p/r指测压管中水面至计算点M的高度，z+p/r指计算点处测压管中水面距计算基准面的高度，z+p/r=C指静止液体中各点位置高度与压强高度之和不变。 ■2、什么是“阻力平方区”？阻力平方区为什么可为自动模型区2、答：“阻力平方区”就是紊流水力粗糙区，在此流区内，水流阻力与流速平方成正比。在此阻力流区内，对于模型试验研究的阻力相似条件，因λ与雷诺数无关，只与管壁粗糙度有关，只要保证模型与原型的几何相似即可达到阻力相似的目的，故水力粗糙区又称为自动模型区。 ■3、复式断面明渠有哪些水力特性？答：1过水断面形状多呈上部宽而浅，下部窄而深，断面几何形状有突变；2过水断面面积及湿周都不是水深的连续函数，水位流量关系曲线不能连续；3过水断面上的糙率可能不一致。 ■1、按照河床演变特点划分，河段可以分为哪几类？答：河段可以分为峡谷性河段、稳定性河段、次稳定性河段、变迁性河段、游荡性河段、宽浅性河段、冲积漫流性河段。 ■2、分汊型河道的演变特征有哪些？答：1、洲滩的移动；2、河岸的崩塌和弯曲；3、汊道的交替兴衰。 ■3、桥梁位置的选择一般要求有哪些？答：1、桥梁位置尽可能设在河道顺直、主流稳定、河槽能通过较集中流量的河段上。2、桥梁位置应选在河滩较窄、河槽最宽处。3、桥梁位置应尽可能与中、高水位时的洪水流向正交。4、与河岸斜交的桥位，应避免在引道上游形成水袋与回流区，以免引起道路路基遭受水害。5、当城市和重要工业区有特殊防洪要求时，桥梁宜设在上游河段，5、桥梁宜设在地质构造单一、岩层完整、埋藏较浅、土层坚实、地质条件良好的地段，7、地震区桥梁，应按现行的中华人民共和国交通部部颁标准《公路工程技术标准》的有关规定设置。 ■4、简述皮尔逊Ⅲ型曲线方程的参数变化对曲线形状的影响。答：平均流量越小，曲线越平缓，Cv值越大，曲线倾斜度越大，Cs值越大，曲线下凹曲率越小，左半部分斜率越大，右半部分斜率越小。 ■5、桥孔布置与孔径大小应符合哪些一般原则？答：1、应保证设计洪水和它所携带的泥沙顺利宣泄；2、应与天然河流断面的流量分配相适应；3、应考虑河床变形和水流变化对桥梁的影响；4、应充分考虑不同建桥方案对河道产生的不利变形影响；5、应充分考虑桥孔布设对航运或港口发展的长远影响；6、应尽可能照顾当地的发展规划，与农电水利设施相配合；7、对跨径在60m以下的桥孔，尽可能采用标准跨径；8、应注意地质情况，桥梁的墩台基础避免设在断层、溶洞等不良地质处；9、应考虑施工条件和经济效益，做全面的技术经济比较，选择合理的桥孔设计方案。 ■6、与小桥相比，涵洞孔径计算有哪些特点？答：1、涵洞孔径计算除解决跨径尺寸外，同时还应从经济角度出发确定涵洞的台高；2、计算涵洞孔径时，要考虑洞身过水阻力的影响；3、控制涵前水深和满足孔径断面一定的高度比例是涵洞孔径计算的重要控制条件；4、在涵洞孔径计算中，要考虑水流充满洞身触及洞顶的情况。 ■按照河床演变特点划分，河段可以分为哪几类？答：河段可以分为峡谷性河段、稳定性河段、次稳定性河段、变迁性河段、游荡性河段、宽浅性河段、冲积漫流性河段。 ■2、分汊型河道的演变特征有哪些？答：1、洲滩的移动；2、河岸的崩塌和弯曲；3、汊道的交替兴衰。
水文频率计算
《水文频率计算》 根据某水文现象的统计特性,利用现有水文资料,分析水文变量设计值与出现频率（或重现期）之间的定量关系的工作过程称为水文频率计算。 自然界的现象按发生情况可分成：必然事件，即在一定条件下必然会发生的事情，如降雨以后就要涨水是必然发生的；不可能事件，即在各条件实现之下永远不会发生的事情，如只在重力作用下的水由低处向高处流是不可能的；随机事件（也称偶然事件），即在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，如每条河流每年出现一个流量的年最大值是必然的，但这个最大值可能是这个值也可能是那个值，它在数量上的出现是一种随机事件。频率计算中是以1来表示必然事件出现的可能性（即百分之百出现）,以0表示不可能事件出现的可能性，随机事件出现的可能性介于0与1之间。 水文要素。如降雨、流量等在量的出现方面都有随机性的特点，水文变量如年雨量、年最大洪峰流量、枯季最小流量等都属于随机事件，均可用频率分析方法来分析计算。水文频率分析主要包括：利用现有水文资料组成样本系列，选择合适的频率曲线线型和估计它的统计参数，根据所绘制的频率曲线推求相应于各种频率（或重现期）的水文设计值。 样本系列。无限个成因相同、相互独立的同类水文变量的集合称为该水文变量的总体。这个总体是未知的，现有水文资料只是过去发生过的和今后可能发生的整个总体中的一个样本。把现有水文资料
的水文变量按大小次序排列组成一个系列，称为样本系列，其中所含水文变量的项数（系列长度）叫做样本容量。系列愈长，样本容量愈大。水文频率分析就是通过样本系列的统计特征来估计其总体的统计特征，如各种统计参数、某水文变量的频率等。因此，样本系列是水文频率分析的基础。用样本系列去推估容量很大或无限的总体的情况，会产生因抽样而引起的误差，这就是抽样误差。水文统计分析中所估计出的各种数值（如频率、分析中的各个参数、相关系数等）都有抽样误差。样本的容量越大误差越小，否则误差越大。抽样误差分析方法有两种：①解析法。用统计原理推求出抽样误差的公式，按公式求得抽样误差值。例如,均值的均方（抽样）误差值为，其中Cv为所研究变量系列的离差系数,n为系列的长度或样本容量。②统计试验法。即生成很长的资料系列，来研究样本容量一定时统计分析中各种数值的抽样误差。 经验频率。样本系列中某水文变量x大于或等于一定数值xm(即x≥xm)的可能性大小即为频率,一般用符号pm｛x≥xm｝来表示，其值在0与1之间。例如,某河段年最大洪峰流量系列中,出现流量Q≥1000米3/秒的可能性为百分之一，则称Q≥1000米3/秒的频率等于1％。设系列共有n项，其中第m项xm的频率Pm常用下列公式来计算：
水文频率分析中，称上式为经验频率公式，而Pm亦称为系列中第m 项的经验频率。经验频率在绘制频率曲线的适线法中应用。 重现期。指某水文变量的取值(x≥xm)在很长时期内平均多少
水文计算步骤
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 推理公式法计算设计洪峰流量 推理公式法是基于暴雨形成洪水的基本原理推求设计洪水的一种方法。 1.推理公式法的基本原理 推理公式法计算设计洪峰流量是联解如下一组方程 ) 6.7.8(278.0)5.7.8(,278.0) 4.7.8(,278.04 /13/11m c c n c p m c n p Q mJ L t F t t S Q t F S =
图8.7.1 推理公式法计算设计洪峰流量流程图 ②计算设计暴雨的S p、x TP，进而由损失参数μ计算设计净雨的T B、R B。 ③将F、L、J、R B、T B、m代入式（8.7.4）（8.7.5）和（8.7.6），其中仅剩下Q m、τ、R s,τ未知，但R s,τ与τ有关，故可求解。 ④用试算法求解。先设一个Q m，代入式（8.7.6）得到一个相应的τ，将它与t c 比较，判断属于何种汇流情况，再将该τ值代入式（8.7.4）或式（8.7.5），又求得一个Q m，若与假设的一致（误差不超过1%），则该Q m及τ即为所求；否则，另设Q m仿以上步骤试算，直到两式都能共同满足为止。 试算法计算框图如图8.7.1。 2. 图解交点法 该法是对（8.7.4）（8.7.5）和（8.7.6）分别作曲线Q m~τ及τ~ Q m，点绘在一张图上，如图8.7.2所示。两线交点的读数显然同时满足式（8.7.4）（8.7.5）和（8.7.6），因此交点读数Q m、τ即为该方程组的解。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者：凤呜大王*
桥涵水文分析计算
桥涵水文分析与计算 一、概述 桥涵水文分析与计算，包括河流水文资料的调查搜集整理与计算，推求出我们桥涵所需要的设计水位和流量，拟定出桥长孔径、桥高和基础埋设深度。由于桥位所处的地理位置不同以及其它复杂因素，包括天然的和人为因素如潮汐、泥石流、修水库、开挖渠道等。我们调查搜集洪水流量的计算方法各有不同。 水文计算从大的方面来分：有水文（雨量）观测资料和无水文观测资料的水文计算。 从各河段特殊情况的不同又可分为，有水库的水文计算，倒灌河流的水文计算，平原或者山丘区的水文计算，还有潮汐河段、岩溶河段、泥石流河段等。不同情况的河流我们要有针对性的调查，搜集有关资料调查搜集资料很辛苦，跑路多收效有时还很小，但工作必需要做，要有耐心。 需要调查搜集的资料综合起来有：水系图，县志和水利志、地形图、形态断面、水文站（气象站）资料水库资料，倒灌资料、河道演度、河床淤积、雨力资料、洪水调查及比降的测量，原有桥涵的调查等，通过调查为下步洪水设计流量提供有关参数。 另外还要进行地质地貌调查，有些设计流量的计算参数也和土的颗粒组成、土壤的分类、密实度吸水率熔洞泥石流等有关，有的与设计流量无关，但与桥的安全性有关如土体稳定性、山体滑坡、湿陷性黄土软土地基等，一般野外采用看挖钻的方法，下面介绍一下土壤分类的一般常识，分为三类： 1.粘性土：塑性指数p I >1 亚砂土或轻亚粘土1
3.5； 0≤l I <0.5为硬塑 标贯>－3.5； 0.5≤l I <1为软塑 标贯<－7； l I ≥1 为极软 标贯<2； 淤泥是极软状态的粘性土，其含水量接近或大于液限，对于孔隙比大于1的轻亚粘土或
用Excel绘制水文计算海森机率格纸(上)
Excel 绘制水文计算海森机率格纸的方法 摘要：在水文频率计算适线法中常用到海森机率格纸一种特殊的坐标系统，用Excel 软件常规的图表绘制方法无法制作，本文介绍了利用Excel 软件丰富的内置函数和强大的图表功能绘制海森机率格纸的方法。该方法操作简单、计算快捷、出图美观，在水文频率计算中有较高的实用价值。 关键词：机率格纸；Excel 软件；图表；水文频率 水文频率计算中采用的海森机率格纸是一种特殊的坐标系统，其纵坐标为均匀分格的常规数学坐标，横坐标与频率值（下侧概率）的标准正态分布分位数有关。由于标准正态分布分位数在P =50%处为零，而海森机率格纸在P =0.01%时的横坐标值为零，因此海森机率格纸横坐标值计算公式可表示为： P P U U L +-=%01.0 （1） 式（1）中，L P 为海森机率格纸中频率P 对应的横坐标值；U P 为频率P 对应的标准正态分布分位数；U 0.01%为频率P =0.01%对应的标准正态分布分位数。 标准正态分布分位数可以用Excel 软件中的内置函数NORMSINV （P ）直接计算，结果的 精度可达到±3×10-7。函数NORMSINV 为返回累积标准正态分布对应的自变量，该函数的详 细说明和用法可参考Excel 软件的帮助。 一、海森机率格纸纵向网格线的绘制 海森机率格纸的横向网格线为均匀分布，可直接由Excel 软件的图表功能自动生成，而纵向网格线不能直接由Excel 软件的图表功能自动生成，因为海森机率格纸要求的纵向网格线是不均匀的。纵向网格线的绘制可以通过向图表中添加一个系列的XY 散点图来完成，下面以某站流量频率计算用海森机率格纸的绘制为例进行介绍，具体方法如下： 1、设置纵坐标的最大值与最小值（如图1所示） 新建Excel 工作簿，将工作表“Sheet3”重命名为“流量机率格纸数据点”。在本工作表D2单元格中输入“1800”，设置纵坐标最大值为1800，在D3单元格中输入“0”，设置纵坐标最小值为0。 注意：针对不同的研究对象，应选择合适的纵坐标最大值。 图 1 2、计算海森机率格纸中频率P 对应的横坐标值L P （如图1所示） （1）在“流量机率格纸数据点”工作表A6、A7单元格中分别输入“0.01”，在A8、A9
工程水文学第四章习题含答案
第四章习题 【思考题】 1、选择题 水文现象是一种自然现象，它具有[D_]。 a、不可能性； b、偶然性； c、必然性； d、既具有必然性，也具有偶然性。 水文统计的任务是研究和分析水文随机现象的[C]。 a、必然变化特性； b、自然变化特性； c、统计变化特性； d、可能变化特性。 2、是非题 由随机现象的一部分试验资料去研究总体现象的数字特征和规律的学科称为概率论？（×） 偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现也可能不出现的现象？（√） 3、简答题 什么是偶然现象？有何特点？ 何谓水文统计？它在工程水文中一般解决什么问题？
1、选择题 一棵骰子投掷一次，出现4点或5点的概率为[A]。 a、； b、； c、； d、 一棵骰子投掷8次，2点出现3次，其概率为[C]。 a、； b、； c、； d、 2、是非题 在每次试验中一定会出现的事件叫做随机事件？（×）随机事件的概率介于0与1之间？（√） 3、简答题 概率和频率有什么区别和联系？ 两个事件之间存在什么关系？相应出现的概率为多少？
1、选择题 一阶原点矩就是[A]。 a、算术平均数； b、均方差 c、变差系数； d、偏态系数 偏态系数Cs﹥0，说明随机变量x[B]。 a、出现大于均值的机会比出现小于均值的机会多； b、出现大于均值的机会比出现小于均值的机会少； c、出现大于均值的机会和出现小于均值的机会相等； d、出现小于均值的机会为0。 水文现象中，大洪水出现机会比中、小洪水出现机会小，其频率密度曲线为[C]。 a、负偏； b、对称； c、正偏； d、双曲函数曲线。 2、是非题 x、y两个系列的均值相同，它们的均方差分别为σx、σy，已知σx＞σy，说明x系列较y系列的离散程度大。 【答案】Y 统计参数Cs是表示系列离散程度的一个物理量。 【答案】N 3、简答题 分布函数与密度函数有什么区别和联系？ 不及制累积概率与超过制累积概率有什么区别和联系？ 什么叫总体？什么叫样本？为什么能用样本的频率分布推估总体的概率分布？ 统计参数、σ、Cv、Cs的含义如何？
浅谈桥涵水文计算
浅谈桥涵水文计算 摘要：本人就桥涵水文的计算进行了简单阐述，望能给同行们以借鉴。 主题词：桥梁设计；桥涵水文；计算 1 千年古桥的启示 赵州桥又名安济桥，位于河北赵县城南，桥全长64.4m，净跨37.02m，拱顶 宽9m，拱脚宽9.6m，为世界首创空腹式拱桥。赵州桥桥位地处黄河冲积平原， 虽为细粒砂质河床，因桥孔自重较轻，桥台基础直接砌筑在天然轻亚黏土地层上，基础埋深仅2~2.5m，却较稳固。可见，1400年前古人建桥时，已全面考虑当地 水文、地质、地形、景观等自然地理环境要素，才能创造桥梁与自然环境和谐相处、千年安然无恙的奇迹。 长安灞河桥是我国另一座著名的古代桥梁，是古代长安到中原及沿海南北各 地的必经之地。该桥始建于秦朝，经过八个朝代，历时1800多年，前后遭十几 次洪水毁坏，进行十几次大修或重建，直到1833年，重建的桥梁才较完整地保 存下来。近年来，由于下游人为采砂，河床床面严重下切，虽经西安市多年精心 保护，但古桥已难以维持，2004年，经反复讨论，终于决定拆除老桥。老灞河桥 桥型结构受古代技术条件所限，无法实现桥梁与桥位河流环境协调和谐相处，屡 次受到大自然惩罚，最终无法避免被拆除的命运。 可见，在设计好桥梁工程实体的同时，必须处理好桥梁与河、海、高原、山 岭等自然环境的关系。桥梁修建不应阻挡洪水，不应引起河床不利变形。桥梁洪 水水毁、地震破坏等自然灾害，都是桥梁结构无力承受自然环境因素的作用，导 致桥梁结构市区平衡而遭到破坏。 2 工程概况 某桥，起点桩号为K0+007.98，中心桩号为K0+094，终点桩号为K0+180.02， 全桥长172.04m。该桥为跨越玛瑙河而设，桥位区玛瑙河走向大致呈南北向，河 道宽阔，河床比降较缓，河床横断面呈浅“U”字形，上游200m设有混凝土滚水坝，勘察期间桥位区河道水深一般为0.3~0.8m，雨季河流水位有较大上升。河道两侧 坡面凹凸不平，植被发育较少。 气象地质情况：新建桥址处地质情况通过钻探钻探查明，持力层主要为泥岩。所处区域属亚热带季风区，气候温和湿润，雨量充沛，多年平均气温16.5℃，平 均降雨量1030mm，平均蒸发量1338.5mm。地震基本烈度为Ⅵ度，地震动峰值 加速度0.05g。新建桥梁的荷载等级为公路Ⅱ级。 流域面积勾绘示意图 3 设计技术标准 （1）公路等级：二级公路 （2）桥面宽度：1.0m人行道+净8.0m行车道+1.0m人行道，总宽10m （3）荷载等级：公路-Ⅱ级，人群荷载3.0kN/m2 （4）桥面横坡：±2.0% （5）桥面纵坡：双向1.5%；竖曲线半径R=5200m，T=78m，E=0.585m （6）地震烈度：桥位区地震动峰值加速度0.05g，按地震烈度Ⅵ度设防 （7）设计洪水频率：1/100 4 水文计算 4.1 水文资料搜集和调查
桥涵水文复习总结
第二章河川径流 一、概念： 桥涵水文学：水文学的分支之一，主要研究与道路桥梁有关的水文现象的科学。 地面径流：降落到到地面上的水，除掉损失一部分外，在重力作用下沿一定方向和路径流动，这种水流称为地面径流 河谷：河水流经的谷地。河床：河谷底部有水流的部分。 河川径流：受重力作用沿河床流动的水流 河流：地面径流长期侵蚀地面，冲成沟壑，形成溪流，最后汇集而成河流。 河(水)系：脉络相通的大小河流所构成的系统，称为河系。 干流：水系中直接流入海洋、湖泊的河流 支流：流入干流的河流 标准基面：我国统一采用青岛附近黄海海平面作为标准基面。 一般的天然河流，从河源到河口可以按照河段的不同特性，划分为上游、中游和下游三个部分。 上游是河流的最上端紧接河源，多处于深山峡谷中，坡度流急，河谷下切强烈,流量小而水位变化大，常有急滩或瀑布，河底纵断面多呈阶梯形。 中游是河流的中间段，两岸多为丘陵，河床比降较平缓，两岸常有滩地，冲淤变化不明显，河床较稳定。 下游是河流的最下端，一般多处于平原区，下游河槽宽阔，流量较大，流速和底坡都较小，淤积作用明显，浅滩和河湾较多。 河流的基本特征一般用河流断面、河流长度及河流比降来表示. 一）河流断面有横断面和纵断面。垂直于水流方向的断面称为河流横断面。横断面内，自由水面高出某一水准基面的高程，称为水位。河流的纵断面是指河流最大水深点的连线（深泓线）的断面。河流纵断面能表示河床的沿程变化。 二）河流比降：任意河段两端的高程差与其长度之比称为该河段的纵比降。 三）河流长度从河源到河口的距离。 流域：降落到地面上的水，被高地、山岭分隔而汇集到不同的河流中，这些汇集水流的区域，称为某河流的流域。 1)分水岭：划分相邻水系的山岭或河间高地。 2)分水线：分水岭最高点的连线（山脊线）。 流域的特征 ① 几何特征：主要是流域面积和流域形状。 ② 自然地理特征：主要指流域的地理位置和地形 根据流域的地形特征分为山区河流和平原河流。 山区河流：流域内坡面陡峻，岩石裸露，汇流时间段，降雨强度大，以致洪水暴涨暴落，河流比降大，流速大，水流流态紊乱，存在回流、漩涡、跌水、水跃。 平原河流：形成时主要表现为水流的堆积作用，形成深厚的冲积层。有广阔的河滩，洪水时河滩被淹没，中枯水时则裸露处水面。平原河流按平面形状和演变过程，分为四种类型的河段：顺直微弯型、弯曲型、分叉型、散乱型。 流域内自降水开始到雨水流过出口断面的整个物理过程称为径流形成过程。 一般将这一过程分为四个阶段：降雨过程—流域蓄渗过程—坡面漫流过程—河槽集流过程。影响径流的主要因素：气候因素和下垫面因素。 气候因素：降雨蒸发。下垫面因素：流域的地形、土壤、地质、植被、湖泊等。水量补给的基本来源：雨源类、雨雪源类（华北东北西北）、冰雪源类（西北新疆青海）。
第五章数理统计的基础知识
第五章数理统计的基础知识 在前四章的概率论部分中，我们讨论了概率论的基本概念、思想和方法。知道随机变量的统计规律性是通过随机变量的概率分布来全面描述的。在概率论的许多问题中，概率分布通常是已知的或假设为已知的，在这一前提下我们去研究它的性质、特点和规律性，即讨论我们关心的某些概率、数字特征的计算以及对某些问题的判断、推理等。 但在许多实际问题中，所涉及到的某个随机变量服从什么分布我们可能完全不知道，或有时我们能够根据某些事实推断出分布的类型，但却不知道其分布函数中的某些参数。 例如：1、某种电子元件的寿命服从什么分布是完全不知道的。 2、检测一批灯泡是否合格，则每个灯泡可能合格，也可能不合格，则服从（0-1） 分布，但其中的参数p未知。 对这类问题要深入研究，就必须知道与之相应的分布或分布中的参数。数理统计要解决的首要问题就是：确定一个随机变量的分布或分布中的参数。 数理统计学是研究随机现象规律性的一门学科，它以概率论为理论基础，研究如何以有效的方式收集、整理和分析受到随机因素影响的数据，并对所考察的问题作出推理和预测，直至为采取某种决策提供依据和建议。 数理统计研究的内容非常广泛，可分为两大类： 一是：怎样有效地收集、整理有限的数据资料。 二是：怎样对所得的数据资料进行分析和研究，从而对所考察对象的某些性质作出尽可能精确可靠的判断—本书中参数估计和假设检验。 第一节数理统计的基本概念 一、总体与总体的分布 在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个元素称为个体。总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.容量为有限的总体称为有限总体；容量为无限的总体称为无限总体. 总体和个体之间的关系就是集合与元素之间的关系. 在实际问题中，研究对象往往是很具体的事物或现象，而我们所关心的不是每一个个体的种种具体的特征，而是其中某项或某几项数量指标，记为X。 例如：研究一批灯泡的平均寿命时，该批灯泡的全体构成了研究的总体，其中每个灯泡就是个体。 但在实际问题中，我们仅仅关心灯泡的使用寿命（记X表示该批灯泡的寿命）。则X就是我们研究的总体（所有灯泡寿命的集合），每一个灯泡的寿命就是一个个体。 再如：考查某一群体的身高和体重，则全体人员的（身高、体重）是总体，每个人的身高和体重是个体。 由此给出定义： 总体：对所研究对象的某些指标进行试验，将试验的全部可能的观测值称为总体记为X。 个体：每一个可能的观测值称为个体。 对不同的个体，X的取值一般是不同的。例如在试验中观察若干个个体就会得到X的一种数值，但在试验或观察之前，无法确定会得到一组什么样的数值，所以X是一个随机变量或随机向量，而X的分布也就完全描述了我们所关心的指标，即总体的分布。 为方便起见，以后我们将X的可能取值的全体组成的集合称为总体，或直接称随机变量X为总体，X的分布也就是总体的分布。 例如：正态总体：是指表示总体某个数量指标的随机变量服从正态分布。 【注1】总体的分布一般情况下是未知的，这就需要利用总体中部分个体的数据资料来