有理数的概念知识点归纳及练习题

（1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读 作正）号，

有理数的概念及其分类， 相反数的概念及求法， 绝 对

值的概念及求法， 数轴的概念及应用； 有理数比较大 小 难点： 绝对值的概念及求法， 尤其是用字母表示的时候 的意义。 运用数轴理解绝对值的几何意义。

大小的方法的掌握。

例如： 3 、 1.5 、 也可以写作＋ 3 、＋ 1.5 、＋ 。

2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带

＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。

例如：－ a 一定是负数吗？答案是不一定。因为字 母 a 可以表示任意的数，

知识点二：正数和负数的概念

有理数的概念知识梳理

（1） 像 3、1.5 、 在小学学过的数，除

、584等大于 0 的数，叫做正数， 0 以外都是正数，正数比 0 大。

有理数的概念 一、目标认知 学习目标： 了解正数、负数、有理数的概念，会用正数和负数 表示相反意义的量。掌握一个数的相反数的求法和性 质，学习使用数轴，借助数轴理解相反数的几何意义， 会借助数轴比较有理数的大小。 掌握一个数的绝对值的 求法和性质， 进一步学习使用数轴， 借助数轴理解绝对 值的几何意义。 、－ 584 等在正数前面加“－” （ 读 作

负） 号的数，叫做负数。负数比 0小。

2）像－ 3、－ 1.5 、 3） 零既不是正数也不是负数， 零是正数和负数的分

界。

注意：

二、知识要点梳理 知识点一：负数的引入 若 a 表示的是正数，则－ a 是负数；若 a 表 示的是

0，则－ a 仍是 0；

要点诠释： 当 a 表示负数时，－ a 就不是负数了（此时 －a 是

正数）。

正数和负数是根据实际需要而产生的， 发展， 小学学过的自然数、 分数和小数已不能满足实际 的需要，比如一些有相反意义的量： 收入 200 元和支出 100元、零上6C 和零下6C 等等，它们不但意义相反， 而且表示一定的数量， 怎样表示它们呢？我们把一种意 义的量规定为正的， 把另一种和它意义相反的的量规定 为负的，这样就产生了正数和负数。 随着社会的 知识点三： 有理数的有关概念

要点诠释：

1、 有理数：整数和分数统称为有理数。

注：（ 1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分 母为 1 的数，这时的分数包括整数。

用正数和负数表示具有相反意义的量时， 为

正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、 入、零上温度”等规定为正， 而把“后退、 零下温度”等

规定为负。

哪种意义 上升、收 下降、支出、 但是本节中的分数不包括分母是 1 的分数。

（2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化， 上述小数都可以用分数来表示，

要点诠释：

所以我们把有限小数和无限循环小数都看 作分

数。

重点：

有理数比较

（3）“0”即不是正数，也不是负数，但“ 0”是整数。3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。

类：

知识点七：数轴上的点与有理数的关系

注：通常把正数和0 统称为非负数,负数和0 统称为非正数,正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数）, 负整数和0 统称为非正整数。如果用字母表示数,则a

> 0表明a是正数；a < 0表明a是负数；a 0表明a是非负数；a 0 表明a 是非正数。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数

轴上所有的点都表示有理数。

要点诠释：

正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。

知识点八：利用数轴比较有理数的大小

数轴的定义包含三层含义：（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；（2）数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。

知识点九：相反数的概念

2、整数包括正整数、零、负整数。例如：1、2、

3、0、－1、－2、－3 等等。

4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔

一个单位长度取一点，依次表示为1, 2, 3 ..................... ;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为—1,

3、分数包括正分数和负分数，例如：－、

－0.6 等等。

、0.6 、－2，－3

知识点四：有理数的分类注：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；

要点诠释：（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以

每隔两个（或更多的）单位长度取一点，

1、按整数、分数的关系分

类：2、按正数、负数与0 的关系分

从原点向右，依次表示为2, 4, 6,……；从原点向左，依次表示为—2, —4, —6, ................ ;

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴要点诠释：

知识点六：数轴的画法1、相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。

要点诠释：

1、画一条直线（一般画成水平的直线）。

2、相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是0。

2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“ 0”）。要点诠释：

知识点五：数轴的概念要点诠释：

( 1)“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相 同；( 2 ) 现的。 一、先分别

求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个 绝对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而 小”做出正确的判断。

知识点十一：多重符号的化简

把多重符号化成单一符号， 如果是正号， 则可以省 略不写，实际上，多重符号的化简是由“ - ”的个数来 定，若“ - ”个数为偶数个时，化简结果为正，如 -{-[-(-4)]}=4 ；若“ - ”个数为奇数个

时，化简结果

为负，如 -{+[-(-4)]}=-4

。

要点诠释：

有理数与小学所学的数， 主要区别在于负数。 有理 数可以用数轴上的点来表示， 任何一个有理数都能在数 轴上找到表示它的位置， 而是唯一确定的点。 数轴上的 点可以表示三类数。 在数轴上表示零

的点称做原点， 这个点为界，正有理数(正整数、正分数)用原点右边

的点来表示；负有理数(负整数、负分数)用原点左边 的点来表示，这就说明，数轴是有方向的。

1、在一个数的前面添上一个“＋”号，仍然与原数相

同，如+ 5 = 5, + (— 5 )=-5。

由于数轴规定了方向， 因而在数轴上排列着的数就 是有顺序

的。 从左到右一个数比一个数大。 即数轴上表 示的数，右边的总比左边的大。

2、在一个数的前面添上一个“—”号，就成为原数的 相反数。如— ( — 3)就是— 3的相反数，因此， — (—3)

=3。

在数轴上， 原点左、 右两边距离原点等远的点所表 示的有理数， 它们只有符号不同， 这样的一对数称为互 为相反数。

知识点十三：两个负数大小的比较

因为两个负数在数轴上的位置关系是： 绝对值较大 的负数一定在绝对值较小的负数的左边， 所以， 两个负 数，绝对值大的反而小。比较两个负数大小的方法是：

知识点十： 相反数的表示方法 知识点十四：有理数大小的比较法则

一般地，数 a 的相反数是— 任意的一个数，可以是正数、负数、或者

要点诠释： a 。这里a 表示 0

。

要点诠释： 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一 切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 知识点十二：绝对值的概念 要点诠释： 如果数轴上的点只考虑它到原点的距离， 而不考虑 它的正、负方向的数，则表示这个有理数的绝对值。

1、绝对值的几何定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上 表示数a 的点与原点的距离，数 a 的绝对值记作“ ” 经典例题透析

类型一：有理数分类的问题

2、绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0。即 例1

整数集合 :{ 合:{

…}正分数集

…}

要点诠释：

负分数集合 :{ 合:{ …}分数集

…}

相反数是数，不是量；( 3)

相反数是成对出

三、规律方法指导 思路点拨 :

这种关于有理数的分类问题， 关键是要掌握各种数 的概念。 小学时所学的自然数就是正整数和零，

进入中

学，出现了负整数，而整数的范围就扩大到了正整数、 零和负整数。 有限小数和无限循环小数都可以写成分数 的形式，因此，它们都是分数。

答案：D

总结升华 ：在一对具有相反意义的量中，若先 规定一个为

正， 则另一个就用负表示； 若先规定一个为 负，则另一个就用正表示。

举一反三：

【变式】 (1) 如果收入 300 元记作 +300 元，那么支出 500 元用 表示， 0 元表示 _____________ .

(2) 若购进 50 本书，用 -50 本表示，则盈利 30 元如何

表示？

有理数包括整数和分数， 分数包含有限小数和无限 循环小数，但须注意的是，不是所有的小数都是分数， 比如n 等。所以，我们也不能说小学学过的所有数都 是有理数， 还有一部分数不是有理数， 那么这部分数我 们将在今后学习研究。

类型三：与数轴相关的问题

例 3: 数轴上有一点到原点的距离是 5.5 ，那么这个点 表示的数是 ________________________ .

思路点拨 :

举一反三：【变式 1】

在数-100, 70.8, -

7, n , -3.8, 0,,, 中，不是分数

的是 _________________________ ; 不是小数的是

____________ ; 不是有理数的是 ____________________ 。

到原点的距离等于 5.5 的点既可以在原点左边，也可 以在原点右边，因此这样的点有两个。

解析：

例2：若把向北走7km 记为—7km,则+ 10km 表示的含 义是() 思路点拨 : 数轴上的点表示的数右边的比左边的 大。因此，被污染的部分的数大于 -1.3 ，小于 2.6，再 考虑这一范围内的整数即可。

【变式2】下列四种说法，正确的是

( ).

5.5 或-5.5

(A) 所有的正数都是整数 数的数一定是负数 (B) 不是正

总结升华 ：与数轴相关的问题还有数轴的画法

以及借助数轴来比较有理数的大小。

(C) 正有理数包括整数和分数 最小的有理数 (D)0 不是

例 4：如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污 染的部分内含有的整数为 _________________________ .

类型二：正负数的概念

A. 向北走 10km

B. 向西走 10km 东走10km

D.向南走10km

C.向

解析：

思路点拨：“正”和“负”相对，-7km 表示向 北走7km,则

+ 10km 表示向南走 10 km.

-1,0,1,2

解析：

总结升华：

总结升华： 利用数轴解决问题是数形结合数学 思想的的

一个重要应用，要能由 “形”看出“量”的 一些关系。

几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原

并且到原点的距离相等. 这两点是关于原点对

变式 3】

数轴上点A 对应的数为-3,那么与A 相距1个长度的点 B 所对应的数是 __________________________ .

(4)互为相反数的两个数的和为零，即若 a 与b 互为 相反数，则a+b=0,反之，若a+b=O 贝U a 与b 互为相 反数.

思路点拨 :

(1) 代数意义： 只有符号不同的两个数互为相反数， 特别地，0

的相反数是0.相反数必须成对出现，不能 单独存在．例如 +5 和— 5 互为相反数，或者说 +5 是— 5 的相反数， —5 是+5的相反数， 而单独的一个数不能说

总结升华：

不同”这一条件，即“符号不同而数字相同”的两个 数。

举一反三： 【变式 1】

是相反数．另外，定义中的“只有”指除符号以外，两 个数完全相同， 注意应与“只要符号不同”区分开． 如+3与—3互为相反数， 而+3与— 2虽然符号不同， 它们不是相反数．

举一反三：【变式 1】 实数 在数轴上表示如图所示， 则下列结论错误的是 ( 求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面 添上“一”

号即可.一般地，数 a 的相反数是—a ；这 里以 a 表示任意一个数，可以为正数、 0、负数，也可 以是任意一个代数式.注意— a 不一定是负数.

(3) D. A. B. C. 注意：当a >O 时，—a < 0(正数的相反数是负数)；

变式 2】 当a=O 时，—a=O(0的相反数是0);

一个点从数轴的原点开始 ,先向右移动 3个单位长度 , 再向左移动 5个单位长度 , 则终点表示的数是 ___________________________ .

当a < 0时，a > O (负数的相反数是正

数)

．

类型四：与相反数相关的问题 例 5：( 1) 的相反数是 ，—3与 互为相反数 (5) 多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个 “＋”号，都

可以全部去掉；一个正数前面有偶数个 “—”号， 也可以把“—”号全部去掉； 一个正数前面 有奇数个“—”号， 则化简后只保留一个“—”号， 既 “奇负偶正” (其中“奇偶”是指正数前面的“—”号 负正”是指化简的最后结果的符 (2) 的相反数是 _______________ 的相反数是 的相反数是 ____________ . (3)0 的相反数是 _ 的个数的奇偶数， 号).

解析：

(4)已知 那么 的相反数是 相反数是 ____________________ .

. 已知 ，则 a 的

1) ， 3；

2)m,-(-m+1),-(m+1); (3) 0 (4)

(2) 如果 与-3 互为相反数 , 那么

等于( )

A. 3

B. -3

C.

D.

(2)

点两侧， 称的.

-9, 9

求相反数时，要紧紧抓住“只有符号

(1) 一个数的相反数的倒数是 -4, 这个数是

类型五：与绝对值相关的问题(C) a的相反数是-a

中除了正数就是负数

(D)有理数

例6:的绝对值是

4 .下列说法正确的是()

思路点拨：

(1)取绝对值也是一种运算，这个运算符号是”，求一个数的绝对值，

(A)带有“-”的数是负数

对值都是正

(B)任何数的绝

就是根据性质去掉绝对值符号(C)任何负数都小于它的相反数

数一定是负数

(D) —个数的相反

(2) 数或0. 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正

5 .一个数的绝对值一定是(

(A)正数(B)负数

非负数

)

(C)非正数(D)

任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：

一5,符号是负号，绝对值是5.6 .有理数a, b, c在数轴上的位置如图，下列结论错误的是()

(3)

(A )x b< a (B) a-b> 0( C) b < 0, c< 0 ( D)

解析:

总结升华：绝对值符号具有括号的功能，根据绝对值的意义去掉绝对值符号即可

举一反三：【变式11

已知I x I =4,1 y I =6,求代数

式I x+y I的值.

有理数的概念课后练习

一、选择题:

1.若一个数的绝对值大于零，这个数一定是(

c> b

7、下列说法中，正确的是(

A、一个数不是正数就是负数；负有

理数组成全体有理数；

C、零是最小的有理数；D

也不是负数，但零是整数

8、下列说法中，正确的是(

A、非负有理数就是正有理数；示没

有，不是有理数；

C、正整数和负整数统称为整数;

数和分数统称为有理数

9、下面两个数互为相反数的是(

负数(A)正数(B)任意有理数(C) 非零数 (D)

1

A、2 和0.2

2 .在有理数中，下面说法正确的是(

(A)有最小的数(B)有最大的数

(C没有最小的数，也没有最大的数都不对(D)以上答案3.下面四句话中错误的是()

(A)负分数一定是负有理数(B) 数就是负分数分数中除正分

B 、正有理数和

、零既不是正数,

B、3 和—0.333

D、9 和一(一9)

、零表

、整

、一

2.75

10、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是() A、正有理数

B、负有理数

D不可能

11、a是一个有理数，那么-a (

A、负数；B 、正数；C、零;

以上都可能。

C丿

_|二,

、零

12、已知数轴上表示一2和一101的两个点分别为

A，B，那么A，B两点间的距离等于(

(A) 99(B) 100 (C) 102

(D) 103

13、数轴上原点及左边的点表示的数是

时针旋转180°应记作

-3 , 1/2 , 0. , 3, . -2.5

10 .若 |-m|=- (-0.3),那么

m= ________________________________ 。

11?在数轴上点B 表示数-3,那么与B 点相距4个

单位长 度的点表示的数是 _________ 。

3、( 1)写出绝对值大于3而小于8的所有有理数。

4、计算：

(1 ) |-15|-|-6|

12、仪表的指针顺时针方向旋转

90°记作-90 °那么逆

属于正分数集的是

，属于整 10, -0.082 , -30 1/2 , 3.14 , -2 , 0, 数集的是

三1/8 , 1, 3/5

4° |-7|=

, | |= on

整 数

集

合

5.化简-[-(-2002)]=

,-(-3.14)

{

}

= , 。

分

数

集

合

6° a 的相反数是-11 ,那么

O 若

{

}

3是X 的相反数，那么x=

正

分

数

集

3 X (-x ) =

o

{

}

7.相反数大于-4的正整数是

，绝对

负

分

数

集

值不大于2的整数是

{

}

&一个数的绝对值与它的相反数相等，

这个数

非

负

数

集

为

，一个数的相反数大于它的本

{

}

身，这个数为

。

非

正

数

集

9 ?若两个数的绝对值相等，这两个数可能是

{

}

1?把下列各数填在相应的大括号内: 合

合

合

合

2 ?把下列各数表示在数轴上，并比较他们

-98 , -3 1/2

A 负数； B

、正数；

D 非正数；

14、互为相反数”是指( A 一个正数，一个负数；

加上-”号所得的数；

C 数轴上原点两旁的两个点所表示的两个数；

D 、只有符号不同的两个数，且 0的相反数是0; C 、非负数; )

、一个数前面添

13、说明下面一段话的意义：汽车先前进

+50米，再前

进-30米，即

。

14、 数轴上表示互为相反数的两个点之间的距离是

6,

则这两个数为 ________________

15、 简化下列各数的符号：

(1) - (-5 ) = ________ (3) -[- (-4 )]=

16、L 市在冬季的某一天最高温度为 4C,最低温度为

15、 如果a+b=0,那么一定有(

A 、a=0 且 b=0 ;

B 、a=0；或 b=0 ;

D a 、b 互为相反数； 16、 以下四个推理中，正确的是( A 、如果 |a|=|b| ，那么 a=b ； 那么

a=b ；

C 如果 a=-b ，那么 |a|=|b| 那么a=-b ；

二.填空题：

1. -

2.5的相反数是 ________ )

C 、a 、b 异号;

)

、如果 |a|=b , 、如果 |a|=b ,

，绝对值是 2.最小的正整数是

数是

____________ ，最大的负整 ,绝对值最小的数是

°C .

-1 C ，这天温差

17、 如果 |x|=3.5 1|，那么x= 18、 数轴上离开原点

2个单位长度的点表示的数是

,那么x= ;如果 |-x|=|-2

19、 绝对值最小的有理数是 ______________ ;绝对值等于3的

数是 ________ ;绝对值等于本身的数是 _______________ ;绝对值 等于相反数的数是 _________________ 数；

20、 绝对值不大于3的非负整数有

21、 观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，

第2006个数是

三.解答题：

3?在有理数-3, 0, , , 3.1416 , - (-7),

中，属于负数集的是 _______________ , ____________ 。

10 ?若一个数的相反数不小 于

零，那么这个数为 。

5的大小。

(2)

|0.24|+|-5.06|