第十章-曲线曲面积分(习题及解答)

<

第十章 曲线曲面积分

§10．1对弧长的曲线积分

一、选择题

1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).

(A)

(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =-??； (B)

(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =?

?

；

(C)(,)d (,)d 0AB

BA

f x y s f x y s +=??

；

(D)(,)d (,)d AB

BA

f x y s f x y s =--?

?

． 答(B).

2. 设有物质曲线23

:,,(01),23

t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ=它

的质量M =( ).

(A)10t ?; (B)10

t t ?

;

(C)

t ?

; (D)

t ?

. 答(A).

…

3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OM

I s

=?不相等的积分是( ).

(A)10

x ?; (B)

10

y ?;

(C)

d r r ?

; (D)10

e r ?

答(D).

4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d L

x y s -=?( ).

(A)

4

03d 4x x x ??- ????; (B)303d 4y y y ??

- ????;

(C)3034y y y ?- ??; (D)4034x x x ?- ?

?. 答

(D).

5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分

s =?

( ).

(A)

x ?

; (B)

y ?

;

}

(C)

10

x ?

; (D)

y ?

. 答(C).

6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分

()d L

x y s +=?

( ).

(A)

; (B)2; (C)(D)答

(D).

二、填空题

1. 设L 是圆周2

2

1x y +=,则31d L

I x s =

?

与52d L

I x s =

?

的大小关系是

.

答:12.I I =

2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d L

x y s +=

?.

&

.

3. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n L

x y s +=

?. 答：212a a π+.

4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d L

x y s -=?

.

答：0.

5. 设L 是圆周2

2

1x y +=,则2d L

I x s =

=

?

.

答：π.

6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d L

x y s -=

?.

答2)e --.

7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段, ？

则L

s =

?.

答：3. 三、解答题

1.计算下列对弧长的曲线积分：

(1) d L

x s ?其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.

答： 11)12

.

(2) 22

d x y L

e

s +?其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限

内所围成的扇形的整个边界.

答： 2 2.4a a e π?

?+- ??

?

》

(3) 2d x yz s Γ

?，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、

(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).

答：9.

(4) 2d L

y s ?其中L 为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.

答： 34232.53

a ??

(5) 22()d L x y s +?其中L 为曲线(cos sin )

(sin cos )x a t t t y a t t t =+??=-?

(02)t π≤≤.

答： 2322(12).a ππ+

§10．2对坐标的曲线积分

一、选择题

，

1. 设

AB 为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则

sin d sin d AB

y x x y +=?

( ).

(A)2; (B)1-; (C)0; (D)1. 答(C). 2. 设C 表示椭圆22

221x y a b

+=,其方向为逆时针,则2()d C x y x +=?

( ).

(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B). 3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则

(3)d (2)d C

x y x y x y +++=?

( ).

(A)21

[(2)(23)]d x x x x x +++?

； (B)

21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+? (C)

2

1

[(73)2(51)]d x x x -+-?

; (D)

21

[(73)(51)]d x x x -+-?

. 答(C).

》

4. 设曲线C 的方程为x y =(0)2

t π

≤≤,

则22d d C

x y y y x x -=?( )

(A)20

[cos sin t π?

； (B)

2220

(cos sin )d t t t π

-?

(C)

22

0cos sin π

π

-?

?(D)201d 2t π

?.答(D).

5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).

(A)22()(d d )0L

f x y x x y y ++=?

；(B)22()(d d )0L

f x y x y y x ++=? (C)

22()(d d )0L f x y x y y ++=?

; (D)

22()(d d )0L

f x y x x y ++=?

.答(A).

6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则

d d C

x y y x -=?

( )

】

(A)0; (B)1-; (C)2-; (D)2. 答(C).

二、填空题

1. L 为xoy 平面内直线x a =上的一段,则(,)d L

P x y x =

?.

答：0.

2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则

22()d L

x y x -=

?

.

答：5615

-

. 3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则

22()d L

x y y -=

?

.

答：403

-

. *

4．L 为圆弧y 上从原点到(2,2)A 的一段弧,则

d L

xy y =?

.

答：

43

. 5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d L

xy y =?

.

答：3

2

a π-

.

6．设(2)d (23)d 9L

x y x x y y -++=-?,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于

.

答：

32

. 三、解答题

1．计算()d ()d L

x y x y x y ++-?,其中L 为:

,

(1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;

(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线; (4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧. 答案：3432(1)

;(2)11;(3)14;(4)

.3

3

2．计算d d L

y x x y +?其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到

2

π

的

一段弧.

答：0. 3．计算22()d ()d L

x y x x y y x y

+--+?,其中L 为圆周222

x y a +=(方向按逆时针).

—

答：2π-.

4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ

+++-?其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直

线段.

答：13.

5. 计算22(2)d (2)d L

x xy x y xy y -+-?,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点

(1,1)的一段弧.

答：1415

-

. §10．3 格林公式

一、选择题

1. 设C 是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d C

x y x xy y -+?

用

格林公式计算可化为( ).

|

(A)230

0d d R

r r πθ?

?； (B)

220

d d R

r r πθ?

?;

(C)

230

d 4sin cos d R r r πθθθ-?

?; (D)220

d d R

R r r πθ?

?. 答(A).

2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向, 则

3223()d ()d L

x x y x xy y y -+-?

= ( ).

(A)

323a π; (B)4a π-; (C); (D)42

a π

-. 答(D). 3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则

d d C

x y y x -=?

( )

(A)8; (B)8-; (C)4-; (D)4. 答(B). 4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则

d d L

P x Q y +?

在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).

<

(A)0Q P x y ??+=??; (B)0Q P

x y

??-=??; (C)

0P Q x y ??-=??; (D)0P Q x y

??+=??. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则

22d d 4L x y y x

x y -=+?( ).

(A)4π; (B)π; (C)2π; (D)0. 答(D).

6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y x

I x y -=

=+?( ).

(A)因为

Q P x y ??=??,所以0I =; (B)因为,

Q P

x y

????不连续,所以I 不存在;

(C)2π; (D)因为

Q P

x y ??≠

??,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C).

【

7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条

件是( ).

(A)

P Q x y ??=??; (B)P Q y x

??=??; (C)

P Q x y ??=-??; (D)P Q y x

??=-??. 答(D). 8. 已知

2

()d d ()x ay x y y

x y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).

(A)0; (B)2; (C)1-; (D)1. 答(B). 9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段,

则(3)d (3)d L

x y x y x y +++=?( ).

(A)

23

1

1(3)d (6)d x x y y +++??; (B)

21

[(6)(23)]d x x x x x +++?

;

，

(C)

23

1

1

1

(31)d (3)d 2

y x x y y ++++?

?

?; (D)21

[(31)(51)]d x x x -++?

.

答(A).

10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分

(,)43(0,0)

()tan d ()d I yf x x x f x y ππ

=-?

与路径无关,则()f x =( ).

(A)1cos x +; (B)1cos x -; (C)cos x ; (D)sin x . 答(C).

二、填空题

1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则

d d L

x y y x -=

?

.

：

答: 2σ.

2. 设(,)f x y 在2

2:14

x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正

向,则(,)d [3(,)]d y x L

f x y y y f x y x -+=

?.

答: 6π.

3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针, 则

2(2)d (4)d L

xy y x x x y -+-=

?

.

答: 27π-.

4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数,

则

d d L ax y by x x y -+?=

.

【

答: 4()a b +.

5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d L

x y

x y

++?=

.

答: 0.

6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则

2

d y L

e y =

?

.

答: 0. 7. (2,2)2(0,0)

2d (3)d xy x x y +-=

?

.

答: 2.

8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段,

）

则2

2

d 2d y y L

e x xye y +=

?.

答: 42e .

9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d L

P x y x Q x y y +?化为对弧长

的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.

答: 2

2d 14L P xQ

s x ++?

.

10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分

[()]sin d ()cos d x L

f x e y x f x y y --?

与路径无关,则()f x =

.

答: 2

x x

e e --.

三、解答题

~

1. 计算22d d 2()L y x x y x y -+?，其中L 为圆周22

(1)2x y -+=的正向.

答:π-. 2. 计算

(24)d (536)d L

x y x y x y -+++-?

，其中L 是顶点分别为(0,0)、

(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.

答:12. 3. 计算

3222(2cos )d (12sin 3)d L

xy y x x y x x y y -+-+?

,其中L 为抛物线

22x y π=上由点(0,0)到,12π??

???

的一段弧.

答:

2

4

π.

4. 计算

22()d (sin )d L

x y x x y y --+?

，其中L 是圆周y =上由

(0,0)到(1,1)的一段弧.

答:7sin 2

64

-+

. ）

5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)

()d ()d x y x x y y ++-?.

答:

52

. (2) (2,1)423(1,0)

(23)d (4)d xy y x x xy y -++-?

.

答: 5.

6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .

(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.

#

(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.

答: (1) 22

222

x y xy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +.

7. 用格林公式计算223()d (2)d L

x x y x xy y y -+-+?，其中L 是圆周

y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.

答:324

π-.

8. 用格林公式计算423(23)d (4)d L

xy y x x x xy y -+++-?，其中L 是圆周

y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.

答:

62

π

-.

·

§10．4 对面积的曲面积分

一、选择题

1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑

??与

二重积分(,)d d xy

D f x y x y ??的关系是 ( ).

(A)(,,0)d f x y S ∑

??=(,)d d xy

D f x y x y ??;(B)(,,0)d f x y S ∑

??=(,)d d xy

D f x y x y -??;

(C)

(,,0)d f x y S ∑

D f x y x y ??;(D)(,,0)d f x y S ∑

>??(,)d d xy

D f x y x y ??.

答(A).

2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).

…

(A)

(,,)d f x y z S ∑

??=22224

(,,)d d x y f x y x y x y +≤+??

;

(B)

(,,)d f x y z S ∑

??=22224

(,,d x y f x y x y x y +≤+??

;

(C)

(,,)d f x y z S ∑

=

??

22224

(,,d x y f x y x y x y +≤+??

;

(D)

(,,)d f x y z S ∑

=??22224

(,,d x y f x y x y x y +≤+??

. 答(D).

3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).

(A)1

d 4d x S x S ∑

∑=????; (B)1

d 4d y S x S ∑

∑=????;

(C)

1

d 4d z S z S ∑

∑=????; (D)1

d 4d xyz S xyz S ∑

∑=????. 答(C).

4. 设∑

是锥面1)z z =≤≤,则22()d x y S ∑

+=??( ).

~

(A)

22()d x y S ∑

+=??21

20

d d r r r πθ??

?;

(B)22()d x y S ∑

+=??1

20

0d d r r r πθ??

?;

(C)2

2

()d x

y S ∑+=

??21

200d d r r π

θ?;

(D)

22

()d x y S ∑

+=

??

21

200d d r r r π

θ??;. 答(D). 5. 设∑为平面

1234

x y z

++=在第一卦限内的部分, 则42d 3z x y S ∑?

?++= ??

???( ).

(A)4d d xy

D x y ??;

(B)4d d xy

D x y ??;

(C)23004d d x y ?;

(D)3

2004d d x y ?;. 答(B). [

6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则

d z S ∑

=??( ).

(A)22220

d (2)d r r r r πθ--??

?

;

(B)

22

20

d (2d r r r πθ-?

?;

(C)220

d )d r r r π

θ-??

;

(D)

220

d d r r r πθ-?

?

. 答

(D).

7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).

(A)22

()d 0x y z S ∑

+=??; (B)22()d 0y y z S ∑+=??

;

(C)

22()d 0z x y S ∑

+=??; (D)2

()d 0x y z S ∑

+=??

. 答(C).

二、填空题

1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑

++=

??.

…

答: 44a π.

2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则2

22d x

y z S ∑

=

??.

答: 0.

3. 设∑

为上半球面z ,则d z S ∑

=

??.

答: 3a π.

4. 设∑

为下半球面z =,则d z S ∑

=

??.

答: 3a π.

5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑

=

??.

^

答: 23a π.

6. 设∑

为上半球面z ,则d x S ∑

=

??.

答: 0.

7. 设∑为平面

1232

x y z

++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑

??++= ?????.

答

:

8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑

=

??.

答

. 9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, #

则(522)d x y z S ∑

---=

??.

答: 272

-

. 三、解答题

1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑

??,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy

面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:

(1) (,,)1f x y z =; (2) 22(,,)f x y z x y =+; (3) (,,)2f x y z z =. 答: (1) 13

6

π; (2) 14930π; (3) 11110π. 2. 计算

22()d x y S ∑

+??,其中∑

是锥面z 1z =所围成的区域的整个边界曲面.

答

:

12

. ；

3. 计算22()d x y S ∑

+??,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所

截得的部分.

答: 9π.

4. 计算42d 3z x y S ∑?

?++ ??

???,其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的

部分.

答

:

5. 计算()d x y z S ∑

++??,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)

z h h a ≥<<的部分.

答: 22()a a h π-.

§10．5 对坐标的曲面积分

一、选择题

`

1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确

的是( ).

(A) 2d d z x y ∑

=??2

22()d d xy

D a

x y x y --??;

(B)2d d z x y ∑

=??2222

()d d xy

D a x y x y --??; (C)

2

d d z x y ∑

=??0; (D) (A)(B)(C)都不对. 答(C). 2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则

d d d d d d z x y x y z y x z ∑

++=??( ).

(A) 3d d z x y ∑

??; (B)3d d x y z ∑

??;

(C)3d d y x z ∑

??0; (D) d d d d x y z y x z ∑

+??. 答(D).

3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑

++=??( ).

·

(A)

30

3d y x ??

;

(B)30

02d z y ??

;

(C)

30

d z x ?

?

; (D)

3

d z x ??

. 答(B).

4. 设2222:x y z a ∑++=

,1:z ∑=∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).

(A) 1

2222()d d d d x y z x y a x y ∑

∑++=????; (B)1

2

222()d d 2d d x

y z x y a x y ∑

∑++=????;

(C)

2

2

2

2

222

()d d 2d d x y a

x

y z x y a x y ∑

+≤++=????

; (D) 0. 答(D).

5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑

=??( ).

(A) 110

d (1)d x x x y y ----??

; (B) 110

d (1)d x x x y y ---??

;

\

(C) 110

d (1)d x y x y x ---??

; (D) 110

d (1)d x y x y x ----??

. 答(A).

6. 曲面积分2d d z x y ∑

??在数值上等于( ).

(A)向量2z i 穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;

(C)向量2z k 穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C).

二、填空题

1. 设∑是xoy 平面上的闭区域01

01x y ≤≤??≤≤?

的上侧,

则()d d x y z y z ∑

++=

??.

答: 0.

》

2. 设∑是xoy 平面上的闭区域01

01

x y ≤≤??≤≤?的上侧,

则()d d x y z x y ∑

++=

??.

答: 1. 3.

设

∑为球面

2222

x y z a ++=取外侧, 则

2

22()d d x

y z x y ∑

++=??..

答: 0.

4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑

=??.

.

答: 343

a π.

5. 设∑为球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=取外侧, 则曲面积分

d d z x y ∑

=??.

.

-

答: 343

R π.

6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑

++=

??.

答: 0. 三、解答题

1. 计算22d d x y z x y ∑

??,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.

答:

77426422453753105

R R π

π???-??= ???. 2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑

++??,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及

3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.

答: 32

π.

】

3. 计算

d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑

++??,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,

及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.

答: 18

.

4*. 把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y

∑

++??化成对面积的曲面积分,其中:

(1) ∑

是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧. (2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.

答

: (1) 32d 55P Q S ∑??

+ ? ???

??

; (2) S ∑. §10．6 高斯公式

一、选择题

(

1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω

的体积V =( ).

(A)

1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++??; (B)1

d d d d d d 3x y z y z x z x y ∑++??; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++??; (D) 1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑

++??.答(B).

2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则

222

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++=??( ).

(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++. 答(D).

3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).

(A) d d d P Q R x y z x y z Ω??

???++=

?????????(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑

++??;

(B)

d d d d d d P y z Q z x R x y ∑

++=

??d d d P Q R x y z x y z Ω??

???++ ?????

????; 》

(C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=

??d d d R Q P x y z x y z Ω?????++ ?????

????; (D)

d d d d d d P y z Q z x R x y ∑

++=??(cos cos cos )d P Q R S

αβγ∑

++??.答

(C).

4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).

(A) 2

d d (2)d d x y z z y x y ∑

++=??(22)d d d x x y z Ω

+???;

(B)

3()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑

--+=??2

(321)d d d x x x y z Ω

-+???; (C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑

++=??(21)d d d x x y z Ω

+???;

(D)

2

d d (2)d d x x y z y y z ∑

++=??(22)d d d x x y z Ω

+???. 答(B).

二、填空题

，

1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑

=

??.

答: 343

a π. 2.

设

∑是

球面

2222

x y z a ++=外侧, 则

3

3

3

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++=

??.

答: 525

a π.

3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++=

??.

答: 3abc .

4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则

222

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++=

??.

答: ()a b c abc ++.

、

5. 向量A yzi zxj xyk =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向

外侧的通量Φ=

.

答: 0.

6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++穿过球面

222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=

.

答: 108π. 三、解答题

1. 计算

222

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++??,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及

x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.

【

答: 43a . 2. 计算

333d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++??,其中∑为球面2

222x

y z a ++=外侧.

答: 525

a π.

3. 计算

2232d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑

+-++??,其中∑为上半球体

222x y a +≤,0z ≤.

答: 525

a π.

4. 计算

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++??,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱

体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.

5. 计算

2

4d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑

-+??,其中∑是平面0x =,0y =,0

z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧.

(

答:

32

. 6. 计算

22d d (2)d d d d 2

z

x y z z xy z x x y ∑

+-+??

,其中∑为曲面22z x y =+与

平面1z =所围成的立体的表面外侧. 答:

4

π. 7. 计算曲面积分

33

33d d (2)d d ()d d x y z y

z x z x x y ∑

+++-??,其中∑为曲面

z =z .

答: 32

6(1cos2)5

π?

?-. 8. 计算曲面积分

222

d d d d (1)d d xy y z z z x z x

x y ∑

++-??,其中∑为由曲面