二次函数平移问题
二次函数平移问题 Revised by Petrel at 2021
二次函数的平移问题
我们从两个方面进行了一些探讨，概括出二次函数平移后其解析式的变化规律.
一.当解析式为一般式y=ax2+bx+c(a≠0)时
1.向上或向下平移时,二次函数解析式的变化规律.
将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n 两式比较:可得抛物线向上平移n个单位,常数项上加n，即解析式由
y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx+c+n;同理可推出抛物线向下平移n个单位,常数项上减去n，即解析式由y=ax2+bx+c变为y=ax2+bx+c-n
2.向左或向右平移时,解析式的变化规律.
将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为
y=a(x+m)2+b(x+m)+c
将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-
m)2+b(x-m)+c
两式比较,可得出抛物线向左平移m个单位,自变量上减去m，即解析式由
y=ax2+bx+c变为y=a(x+m)2+b(x+m)+c;同理可推出抛物线向右平移m个单位,自变量
上加上m,即解析式由y=ax2+bx+c变为y=a(x-m)2+b(x-m)+c
3.
将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到
的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c+n
将抛物线向左平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到
的新抛物线的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c-n
将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到
的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c+n
将抛物线向右平移m个单位长度后,再将抛物线向下平移n个单位长度后,得到
的新抛物线的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c-n
二.当解析式为顶点式y=a(x-h)2+k（a≠0）时
1.向上或向下平移时，解析式的变化规律.
将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k+n 将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h)2+k-n 将抛物线向上平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k+n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k+n
将抛物线向下平移n个单位，有点的平移规律可知，顶点坐标由（h，k）变为（h，k-n）所以抛物线的解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a(x-h)2+k-n
比较两个解析式可得出向上平移n个单位，括号外加n，同理可推出向下平移
n个单位括号外减去n.即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k变为y=a（x+m-h)2+k-n
2.向右或向左平移时，解析式的变化规律.
将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h+m)2+k 将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a(x-h-m)2+k
将抛物线向左平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h-m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a[x-(h-m)]2+k=a （x-h+m)2+k
将抛物线向右平移m 个单位，由点的平移规律可知，顶点坐标由（h,k)变为(h+m,k)，所以抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a[x-(h+m)]2+k=a （x-h-m)2+k
两解析式比较可得出图像向左平移m 个单位，括号内加上m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h+m)2+k ；同理可推出向右平移m 个单位括号内减去m ，即抛物线解析式由y=a(x-h)2+k 变为y=a （x-h-m)2+k
综上所述，当解析式为顶点式时，解析式的变化规律为上加下减括号外，左加右减括号内；解析式为一般式时，解析式的变化规律为左加右减自变量，上加下减常数项
3.
将抛物线向左平移m 个单位长度后,再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k+n
将抛物线向左平移m 个单位长度后,再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h+m)2+k-n
将抛物线向右平移m 个单位长度后,再将抛物线向上平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k+n
将抛物线向右平移m 个单位长度后,再将抛物线向下平移n 个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=a （x-h-m)2+k-n
二次函数的平移练习题
1.把抛物线y=-x 2向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）
A.y=-（x-1）2+3
B.y=-（x+1）2+3
C.y=-（x-1）2-3
D.y=-（x+1）2-3
2.抛物线y=x 2+bx+c 图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为y=x 2-2x-
3，则b 、c 的值为（）A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2
3.将函数y=x 2+x 的图像向右平移a （a ＞0）个单位，得到函数y=x 2-3x+2的图像，则a 的值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
4.已知二次函数y=x 2-bx+1（-1≤b ≤1），当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）
A.先往左上方移动，再往右下方移动
B.先往左下方移动，再往左上方移动
B.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动
5.已知抛物线C ：y=x 2+3x-10，将抛物线C 平移得到抛物线C ′.若两条抛物线C 、C ′关于直线x=1对称，则下列平移方法正确的是（）A.将抛物线C 向右平移2.5个单位B.将抛物线C 向右平移3个单位C.将抛物线C 向右平移5个单位D.将抛物线C 向右平移6个单位
6.把二次函数y=-4
1x 2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k 的形式 A.y=-41(x-2)2+2B.y=41(x-2)2+4C.y=-41(x+2)2+4D.y=(21x-2
1)2+3 7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A ．y=2x 2-2
B ．y=2x 2+2
C ．y=2(x-2)2
D ．y=2(x+2)2
8.将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ）
A ．y=2(x+1)2
B ．y=2(x-1)2
C ．y=2x 2+1
D ．y=2x 2-1
9.将函数y=x 2+x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位，得到函数y=x 2-x+2的图象，则a 的值为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10.把抛物线y=-2x 2向右平移2个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为
（）
A.y=-2（x-2）2+5
B.y=-2（x+2）2+5
C.y=-2（x-2）2-5
D.y=-2（x+2）2-5
11.在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x 2+x-2关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A ．y=-x 2-x+2
B ．y=-x 2+x-2 C.y=-x 2+x+2 D ．y=x 2+x+2
12.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2+2x+3绕着它与y 轴的交点旋转1800，所得抛物线的解析式是（）
A ．y=-（x+1）2+2
B ．y=-（x-1）2+4
C ．y=-（x-1）2+2
D ．y=-（x+1）2+4
13.要得到二次函数y=-x 2+2x-2的图象，需将y=-x 2的图象（）．
A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位
B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位
C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位
14.若二次函数y=(x-m)2-1，当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）
A ．m ＝1
B ．m ＞1
C ．m ≥1
D ．m ≤1
15.如图，点A ，B 的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a （x-m ）2+n 的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为-3，则点D 的横坐标最大值为（ ）
A ．13
B ．7
C ．5
D ．8
16.抛物线y=ax 2向左平移5个单位,再向下移动2个单位得到抛物线
17.二次函数y=-2（x+3）2-1由y=-2（x-1）2+1向_____平移______个单位，再向_____平移______个单位得到
18.抛物线y=3（x+2）2-3可由抛物线y=3（x+2）2+2向平移个单位得到
19.将抛物线y=5
3（x-3）2
+5向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 20.把抛物线y=-（x-1）2-2是由抛物线y=-（x+2）2-3向平移个单位，再向_____平移_____个单位得到
21.把抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2-3x+5，则a+b+c=__________
22.抛物线y ＝x 2-5x+4的图像向右平移三个单位，在向下平移三个单位的解析式
23.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 24.已知a+b+c=0，a ≠0，把抛物线y=ax 2
+bx+c 向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式 25.已知二次函数y ＝-x 2-4x-5.①指出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；②把这个二次函数的图象上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式；③把这个二次函数的图象左、右平移，使其顶点恰好落在正比例函数y ＝-x 的图象上，求此时二次函数的解析式。
26.把抛物线y ＝2x 2向左平移p 个单位，向上平移q 个单位，则得到的抛物线经过点(1，3)，(4，9)，求p 、q 的值
27.抛物线y 1＝ax 2＋6x —8与直线y 2＝—3x 相交于A （1，m ），（1）求y 1的解析式；（2）抛物
线y 1经过怎样的平移可以就可以得到抛物线y ＝ax 2
28.已知函数y=2x 2，y=2（x-1）2，y=2（x-1）2+1(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2（x-1）2和抛物线y=2（x-1）2+1；(4)试讨论函数y=2（x-1）2+1的性质
29.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像C 1经过A(-1，0)，B(2，0)，顶点为P 。⑴若二次
函数的图像C 1向右平移2个单位恰好经过点(3，-2)，求平移后的图像解析式。⑵直线y ＝2x 先
向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到直线与图像C 1恰好有一个交点，求a 的值；⑶若将
二次函数图像C 1向上平移b 个单位得到图像C 2，C 1和C 2的组合图像与x 轴恰有3个交点；若将二
次函数图像C 1向右平移b 个单位得到图像C 3，C 1和C 3的组合图像与x 轴也恰有3个交点，求a 的
值
30.已知二次函数y=-41x 2+2
3x 的图象如图.（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB=900，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D ，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由