向量不等式知识点

向量和不等式

1.零向量：长度为0的向量．

2.单位向量：长度等于1个单位的向量．00||1||

a a a a →

→

→

→==单位向量，

3.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量．

5.向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()

a b c a b c ++=++；

③00a a a +=+=．

6、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． 7、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①

a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()

a b a b λλλ+=+． 8、向量共线定理：向量()

0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，

其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()

0b b ≠共线．

9、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

10、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，

b

a

C B

A

a b C C -=A -AB =B

当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ

λ++??

?++??． 11、平面向量的数量积：

⑴()

cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，

a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

2

a a a a ?==或a a a =?．③a

b a b ?≤． ⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()

a b a b a b λλλ?=?=?；③()

a b c a c b c +?=?+?． 12.平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a +b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a -b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB x x y y =--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5) 设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+． (6)若(),a x y =，则2

2

2

a x y =+，或2a x y =

+

(7)设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

12

1

cos a b a b

x θ?=

=

+(8)向量的平行与垂直

设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=． 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 1.不等式的基本性质

①a b b a >?<；②,a b b c a c >>?>；③a b a c b c >?+>+；

④,0a b c ac bc >>?>，,0a b c ac bc >>?+>+； ⑥0,0a b c d ac bd >>>>?>；⑦()0,1n

n

a b a b n n >>?>∈N >；

⑧)0,1a b n n >>?>∈N >．

2、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=，坐标平面内的点()00,x y P ． ①若0B >，000x y C A +B +>，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的上方． ②若0B >，000x y C A +B +<，则点()00,x y P 在直线0x y C A +B +=的下方．

3、在平面直角坐标系中，已知直线0x y C A +B +=． ①若0B >，则0x y C A +B +>

表示直线0x y C A +B +=上方的区域；0x y C A +B +<表

示直线0x y C A +B +=下方的区域． ②若0B <，则0x y C A +B +>

表示直线0x y C A +B +=下方的区域；0x y C A +B +<表

示直线0x y C A +B +=上方的区域．

4、线性约束条件：由x ，y 的不等式（或方程）组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．

目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式． 线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．

线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题． 可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．

可行域：所有可行解组成的集合．

最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．

()()5.0()f x a a g x >≠解分式不等式的一般步骤是什么？ 先移项通分标准化，则()()0()()

0()()0;

0()0

()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?

6.设a 、b 是两个正数，则2

a b

+称为正数a 、b 称为正数a 、b 的几何平均数．

7.均值不等式定理：

若0a >，0b >，则a b +≥2

a b

+≥．

（一正、二定、三相等） 8.常用的基本不等式：①()2

2

2,a b ab a b R +≥∈；②()22

,2

a b ab a b R +≤∈；

③()20,02a b ab a b +??

≤>> ???；④()2

22,22a b a b a b R ++??≥∈ ???

9、极值定理：设x 、y 都为正数，则有

⑴若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2

4

s ．

⑵若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．

10. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题） 如：恒成立的最小值a f x a f x ?>()()恒成立的最大值 a f x a f x >?>()()能成立的最小值 附：

重心：三角形三条中线交点. △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、

22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.

内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心2

2

2

OA OB OC ?==. （2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=.

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. （4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=.