东南大学运筹学试卷

一、已知线性规划问题（25分）

1234

1234123412341234

m ax 53423280054341200.34531000,,,0z x x x x x x x x x x x x st x x x x x x x x =++++++≤??

+++≤??

+++≤??≥? （1）求线性规划问题的最优解；5 （2）求对偶问题的最优解；5

（3）当3150b ?=-时最优基是否发生变化？为什么？5 （4）求C 2 的灵敏度范围；5

（5）如果X 3的系数由[1，3，5]变为[1，3，2]最优解是否改变，若改变求新的最优解；5 二、考虑线性规划问题，（15）

123123123123

m ax 512425

.2432,,0z x x x x x x st x x x x x x =++++≤??

-+=??≥?

用单纯型法求解，得其终表如下：

X 4为松弛变量，X 5为人工变量。

（1）上述模型的对偶模型为？ （2）对偶模型的最优解为？

（3）当两种资源分别单独增加一单位时，目标函数值分别增加？ （4）最优基的逆矩阵B -1=?

（5）如果原问题增加一个变量，则对偶问题的可行域将可能变大还是变小？

三、线性规划问题m ax (),,0,T f x C x Ax b x ==≥

设X 0 为该问题的最优解，若目标函数中用C* 带替C 后，问题的最优解变为X* ，求证：

*

*

()()0T

C C X X --≥(10分)

四、求V1到各点的最短路。（10分）

五、证明任何有n 个节点n 条边的简单图中必存在圈。（10分） 六、求下图所示的网络中，每条弧旁边的数字是(,)ij ij c f ，（15分）

（1）确定所有的截集； （2）求最小截集的容量； （3）证明指出的流是最大流 七、试解二次规划（15分）

22

112212121212

m in ()244633.49,0f x x x x x x x x x st x x x x =-+--+≤??

+≤??≥?

问题答案： 1. 解：

（1）首先把问题转化成标准型：

1234

1234512346123471234567

m ax 53423280054341200.34531000,,,,,,0z x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x x x x x x x x =+++++++=??

++++=??

++++=??≥? 用单纯型法求解最优解：

最优解为（0，100，0，200）；

（2）由互补松弛性可得，其对偶问题最优解为：（0，1/4，1）； （3）当3150b ?=-时 1

1

1/4101500

11015003/4

1150150B b --?????? ? ? ??=-?= ? ? ?

? ? ?--?

?????

所以1

100150250()20015035010015050B b b -+????

? ?+?=+= ? ? ? ?--????

因此可得出最优基发生变化，因为3500b =-<，需要用对偶单纯型法继续求解； （4）若保证最优基不变，需要满足以下条件：

2222

73/4(5)0

1111/4(5)0

43/4(5)04(5)0c c c c -++?≤??

-+?≤??

-++?≤??-+?≤? 从而得出-1<2c ?<1/3 （5）X3的系数发生变化：

1

3311/4111/4'0

113103/4

121/4p B p ---?????? ? ? ?==-?= ? ? ? ? ? ?-?

?????

同时计算P 3的检验数为：313'1/40B c C B P --=>，因此可以得出尚未得到最优解，用单纯型法继续求解：

最优解为（0，150，200，0）；

2. 解：

（1）上述模型的对偶模型为：

1212121212

m in 5225212

.34

0,w y y y y y y st y y y y =++≥??

-≥??

+≥??≥?无约束 （2）由单纯型表可以看出，*

1(29/5)29/5y =--=，由于

11220;0,s s y x y x ?=?=而120;0,x x ≠≠

所以，120;0,s s y y ==

则对偶问题的第一、二个约束是紧的，可解出22/5y =-

将12,y y 代入第三个约束，满足约束条件，则**

12(,)(29/5,2/5),141/5T y y y w ==-=

（3）5和2 （4）1

2/51/51/52/5B

--??

= ???

（5）如果原问题增加一个变量，则对偶问题增加一个约束，因此其可行域要么减小，要不

不变，但绝不会增大。 3. 证明：

*

*

***0*0

*

**

*0

()()()()

T

T

T

T T T

T

T

T

C C X X C X C

X C X C X

C X C X C

X C X --=--+=-+-

因为X 0 和X*都满足,0,Ax b x =≥

所以X 0 和X*都是两个问题的可行解。

又因为X 0 是m ax (),,0,T f x C x Ax b x ==≥最优解，而且原问题求最大， 因此可得出：0*0*()()()0

T T f x f x C X C X -=-≥

同理可得出：

*

***0

()()()0

T

T

f x f x C

X C

X -=-≥

所以可以得出：

****0

()()0

T

T T

T

C X

C X C

X C

X -+-≥

因此得证：**0()()0T C C X X --≥ 4. 解：用Dijkstra 算法求解可得

V1到V2的最短路为V1-V2，最短距离11， V1到V3的最短路为V1-V3，最短距离9， V1到V4的最短路为V1-V4，最短距离10，

V1到V5的最短路为V1-V4-V5，最短距离21， V1到V6的最短路为V1-V3-V6，最短距离20， V1到V7的最短路为V1-V4-V5-V7，最短距离25， 具体步骤省略。

5. 证明：设有V1，V2，V3，…Vn 个点，构成简单图G(V,E)，假设图中不存在圈，

若简单图为连通图，由树的定义无圈的连通图为树，并且简单图G 无环五多重边，因此可知G 为树，由树的定义可得：q(G)=P(G)-1=n-1，与已知图有n 条边矛盾，因此可得假设不成立，图中一定存在圈；

若简单图为非连通图，则至少有两个连通分图，由于每个连通分图无圈，则可得每个连通分图都为一颗树，设有k 个连通子图，k ≥2；T1,T2,T3，…Tk ，

由树定义可得：q(G1)=P(G1)-1； q(G2)=P(G2)-1；

q(G3)=P(G3)-1； …

q(Gk)=P(Gk)-1；

等式左右两边相加得：q(G1)+ q(G2)+ q(G3)+…+ q(Gk)=P(G1)+P(G2)+P(G3)+…+P(Gk)-k ； q(G)=n-k ，k ≥2；与已知条件图有n 条边不符，因此，假设不成立 所以问题得证 6. 解：

（1）首先确定所有的截集与对应的容量：

①若1{}

s v v =，则其截集为

{}1112(,)(,),(,)

s

s v v v v v v =

其容量为

1112(,)426s s c v v c c =+=+=

②若{}11,s v v v =，则其截集为

{}11122

13

(,)(,),(,),(,)

s v v v v v v v v = 其容量为

1121213(,)2327s c v v c c c =++=++=

③若{}112,,s v v v v =，则其截集为

{}11213

(,)(,),(,)

t v v v v v v =

其容量为

11213(,)235t c v v c c =+=+=

④若{}

1123,,,s v v v v v =，则其截集为

{}1123(,)(,

),(,)

t t

v v v v v v =

其容量为

11213(,)538t c v v c c =+=+=

⑤若{}

12,s v v v =，则其截集为

{}1112(,)(,),(,)

s

t

v v v v v v =

其容量为

1121(,)437t s c v v c c =+=+=

⑥若{}

123,,s v v v v =，则其截集为

{}11231(,)(,),(,),(,

)

t t

s

v v v v v v v v =

其容量为11213(,)45312t s t c v v c c c =++=++=

⑦若{}13,s v v v =，则其截集为

{}1132312(,)(,),(,),(,),(,)

t

s

s v v v v v v v v v v

=

其容量为

1132312(,)425112t s s c v v c c c c =+++=+++=

⑧若{}113,,s v v v v =，则其截集为

{}1121

2

323

(,)(,),(,),(,),(,)

s t v v v v v v v v v v = 其容量为

11323122(,)325111t s c v v c c c c =+++=+++=

（2）由（1）所求，最小截集的容量为 {}

*

*

1111(,)m in (,)5c v v c v v ==

其中

{}{}

*

*

11213,,,,s t v v v v v v v ==。

（3）根据最大流量最小截量定理，最大流量为

*

*

*

11()(,)5

v f c v v ==

7. 解：首先将二次规划转化为线性规划求解，因此将上述二次规划改写为

2

2

112212

121212

1m in ()(488)632

30

.490,0f x x x x x x x x x st x x x x =

-+----+≥??

--+≥??≥?

可知目标函数为严格凸函数，此外 121122122111112221226,3,4,24,3,1,19,4,1

c c c c c c b a a b a a =-=-====-==-=-==-=-

由于C 1，C 2小于零，故引入的人工变量Z 1，Z 2前面取负号，得到的线性问题如下：

12

341121342122123124

1234123412m in ()4446443.30490

,,,,,,,,,0

g z z z y y y x x z y y y x x z st x x x x x x x x x x y y y y z z =+--+-+-=-??

--++--=-??

---+=??---+=?

?≥? 解线性规划问题得： *

*

**

1234**

*

*

1234*

39213,,0,,

20

20

20

210,0,,0,

5

441()40

x x x x z z y y f x =

=

=======-