第二节_相似三角形的综合应用

第二节相似三角形的综合应用

一、课标导航

=、核心纲要

常见的相似模型如下：

(1)母子型 (2)双垂型 (3)三垂直型

(4)-线三等角型

(5)旋转型 (6)经典型

本节重点讲解：模型的应用，相似三角形与其他知识的综合，

三、全能突破

基础演练

1．如图27 -2—1所示，正方形ABCD 的边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，且始终保持

.MN AM ⊥当=BM 时，四边形ABCN 的面积最大．

2．如图27-2-2所示，在等边△ABC 中，P 为BC 上一点，D 为AC 上一点，且===∠CD BP APD o

,1,60,3

则△ABC 的周长为

3．如图27-2-3所示，在△ABC 中，E D BC AC AB ,,8,5===分别为BC 、AB 边上一点，.C ADE ∠=∠ (1)求证：.~CAD BDE ?? (2)若,2=CD 求BE 的长．

(3)设,,y AE x CD ==求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．

4．如图27-2-4所示，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，过点0作OE ⊥AC 于点E ，过点A 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点F ，连接CF 并延长交BA 的延长线于点P. (1)求证：PC 是⊙O 的切线． (2)若,2:1:,4==PC AP AB 求CF 的长．

5．如图27-2-5所示，AB 为⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点B ，AC 交⊙O 于点D ，E 为BC 中点，

求证：(1)DE 为⊙O 的切线．

(2)延长ED 交BA 的延长线于F ，若,2,4==AF DF 求BC 的长．

能力提升

6．如图27-2-6所示，已知,50,30,////==CD AB CD EF AB 则EF 的长为

7．如图27-2-7所示，在Rt△ABC 中，∠ABC 是直角，P BC AB ,4,3==是BC 边上的动点，设,x BP = 若能在AC 边上找到一点Q ，使,90ο

=∠BQP 则x 的取值范围是

8．如图27-2-8所示，正方形ABCD 的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E 、F 、G 、H 分别落在边AD 、AB 、BC 、CD 上，则DE 的长为

9．操作：如图27-2-9所示，在正方形ABCD 中，P 是CD 上一动点（与C 、D 不重合），使三角板的直角顶

点与点P 重合，并且一条直角边始终经过点B ，另一直角边与正方形的某一边所在直线交于点E ．探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC 相似，写出你的结论（找出两对即可）；并选择其中一组说明理由．

②当点P 位于CD 的中点时，直接写出①中找到的两对相似三角形的相似比和面积比．

10.操作：如图27-2-10(a)所示，点0为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点0，请利用图27-2-10(a)画出一对以点0为对称中心的全等三角形. 根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：探究一：如图27-2-10(b)所示，在四边形ABCD 中，E DC AB ,//为BC 边的中点，,EAF BAE ∠=∠AF 与DC 的延长线相交于点F ．试探究线段AB 与AF 、CF 之间的等量关系，并证明你的结论．探究二：如图27-2-10(c)所示，DE 、BC 相交于点E ，BA 交DE 于点A ，且=∠=BAE EC BE ,2:1:

.//,AB CF EDF ∠若,1,5==CF AB 求DF 的长度．

11.如图27-2-ll(a)所示，在Rt△ABC 中，CP ACB ,90ο

=∠平分∠ACB ，CP 与AB 交于点D ，且PA .PB = (1)请你过点P 分别向AC 、BC 作垂线，垂足分别为点E 、F,并判断四边形PECF 的形状， (2)求证：△PAB 为等腰直角三角形．

(3)设,,n PC m PA ==试用m 、n 的代数式表示△ABC 的周长． (4)试探索当边AC 、BC 的长度变化时，

AC CD +

的值是否发生变化，若不变，请直接写出这个不变的值，若变化，试说明理由(图27-2-ll(b)为备用图）．

12.数学课上，张老师给出图27-2-12(a)和下面框中条件：

如图27-2-12(a)所示，两块等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线L 上， 090DEF ABC

=∠=∠，

AB=1，DE=2.将直线EB 绕点E 逆时针旋转0

45，交直线AD 于点M.将图27-2-12(a)中的三角板ABC 沿直线Z 向右平移，设C 、E 两点间的距离为x ．

请你和艾思轲同学一起尝试探究下列问题：

(1)①当点C 与点F 重合时，如图27-2-12(b)所示，可得

的值为 ; ②在平移过程中，

的值为（用含x 的代数式表示）． (2)艾思轲同学将图27-2-12(b)中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变，当点

A 落在线段DF 上时，如图27-2-12(c)所示，请你帮他补全图形，并计算

的值．

(3)艾思轲同学又将图27-2-12(a)中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转)900(≤≤m m 度，原题中的其

他条件保持不变．请你计算

的值（用含x 的代数式表示）．中考链接

13．(2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田)如图27-2-13所示，在△ABC 中，D AC AB ,=为BC 的中

点，以D 为顶点作.B MDN ∠=∠

(1)如图27-2-13(a)所示，当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与

△ADE 相似的三角形． (2)如图27-2-13(b)所示，将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM 、DN 分别交线段AC 、AB 于E 、F 点（点

E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论． (3)在图27-2-13(b)所示中，若,12,10===BC AC AB 当△DE

F 的面积等于△ABC 的面积的

时，求线段EF 的长．

14.（2013．山东临沂）在矩形ABCD 中，,30o

ACB =∠将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC 、

BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB 、BC 所在的直线相交，交点分别为E 、F ．

(1)当BC PF AB PE ⊥⊥,时，如图27-2-14(a)所示，则

的值为

(2)现将三角板绕点P 逆时针旋转)600(ο

<<ααo 角，如图27-2-14(b)所示，求

的值． (3)在(2)的基础上继续旋转，当,9060ο

<<α且使2:1:=PC AP 时，如图27-2-14(c)所示，

的值是否变化？证明你的结论，

巅峰突破

15.在平面内，先将一个多边形以点0为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P'在线段OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过缩放和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O(k ，θ)，其中点0叫做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角． (1)填空

①如图27-2-15(a)所示，将△ABC 以点A 为旋转相似中心放大为原来的2倍，再逆时针旋转,60ο

得到

△ADE ，这个旋转相似变换记为A( )；

②如图27-2-15(b)所示，△ABC 是边长为lcm 的等边三角形，将它作旋转相似变换,3（A ),90ο

得到

△ADE ，则线段BD 的长为 cm ．

(2)如图27-2-15(c)所示，分别以锐角三角形ABC 的三边AB 、BC 、CA 为边向外作正方形ADEB 、BFGC 、

CHIA ，点321O O O 、、分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用31O AO ?与CIB ABI ?,与

2CAO ?之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段31O O 与2AO 之间的关系．

16．(1)如图27-2-16 (a)所示，在四边形ABDC 中，,90,ο

=∠=BAC AC AB 猜想DC DB AD +与2的

大小关系（直接写出结论）?

(2)如图27-2-16 (b)所示，在四边形ABDC 中，,30,90ο

=∠=?∠ABC C BA 猜想AD 2与+BD

DC 3的大小关系并证明．