第六章 实数单元达标综合模拟测评检测

第六章 实数单元达标综合模拟测评检测

一、选择题

1．下列说法中正确的是（ ）

A ．若a a =，则0a >

B ．若22a b =，则a b =

C ．若a b >，则11a b

> D ．若01a <<，则32a a a << 2．下列说法错误的是（ ）

A ．﹣4是16的平方根

B ．16的算术平方根是2

C ．116的平方根是14

D ．25＝5 3．下列说法正确的是（ ）

A ．有理数是整数和分数的统称

B ．立方等于本身的数是0，1

C ．a -一定是负数

D ．若a b =，则a b =

4．在有理数中，一个数的立方等于这个数本身，这种数的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）

A ．ac ＞0

B ．|b |＜|c |

C ．a ＞﹣d

D ．b +d ＞0

6．观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……，根据这个规律，则21+22+23+24+…+22019的末位数字是（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．6 7．若23(2)0m n -++=，则m+n 的值为（ )

A ．-1

B ．1

C ．4

D ．7

8．在如图所示的数轴上，点B 与点C 关于点A 对称，A 、B 两点对应的实数分别是3和﹣1，则点C 所对应的实数是( )

A ．1+3

B ．2+3

C ．23﹣1

D ．23+1

9．如图．已知//AB CD ．直线EF 分别交,AB CD 于点,,E F EG 平分BEF ∠．若1 50∠=?．则2∠的度数为（ ）

A ．50?

B ．65?

C ．60?

D ．70?

10．在如图所示的数轴上，,AB AC A B =，

两点对应的实数分别是3和1,－则点C 所对应的实数是（ ）

A ．13

B ．23

C ．231-

D ．231

二、填空题

11．若已知()21230a b c -++-=，则a b c -+=_____．

12．[x )表示小于x 的最大整数，如[2.3)=2，[-4)=-5，则下列判断：①[385

-)= 8-；②[x )

–x 有最大值是0；③[x ) –x 有最小值是-1；④x 1-≤[x )

13．已知M 是满足不等式36a <

-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________．

14．a 10的整数部分，b 的立方根为-2，则a+b 的值为________．

15．写出一个3到4之间的无理数____．

16．任何实数a ，可用[a]表示不大于a 的最大整数，如[4]=4，31?=?，现对72进行如下

操作：72→72????=8→82?=?→2=1，类似地：

（1）对64只需进行________次操作后变为1；

（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．

17．23(2)0y x --=，则y x -的平方根_________．

18．写出一个大于3且小于4的无理数：___________． 19．对任意两个实数a ，b 定义新运算：a ⊕b=()()a a b b a b ≥??

?若若＜，并且定义新运算程序仍然是52）⊕3=___．

20．3是______的立方根；81的平方根是________32=__________．

三、解答题

21．如图，用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）则大正方形的边长是___________；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为2360cm ？

22．观察下列计算过程，猜想立方根．

13=1 23=8 33=27 43=64 53=125 63=216 73=343 83=512 93=729

（1）小明是这样试求出19683的立方根的．先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根十位数为，验证得19683的立方根是

（2）请你根据（1）中小明的方法，猜想 ; .

请选择其中一个立方根写出猜想、验证过程。

23．观察下来等式：

12×231＝132×21，

13×341＝143×31，

23×352＝253×32，

34×473＝374×43，

62×286＝682×26，

……

在上面的等式中，等式两边的数字分别是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．

(1)根据以上各等式反映的规律，使下面等式成为“数字对称等式”：

52×_____＝______×25；

(2)设这类等式左边的两位数中，个位数字为a，十位数字为b，且2≤a＋b≤9，则用含a，b 的式子表示这类“数字对称等式”的规律是_______．

24．观察以下一系列等式：

①21﹣20=2﹣1=20；②22﹣21=4﹣2=21；③23﹣22=8﹣4=22；④_____：…

（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式：_____；

（2）根据你上面所发现的规律，用含字母n的式子表示第n个等式：_____；

（3）请利用上述规律计算：20+21+22+23+ (2100)

25．阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用21

来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.又例如：∵22＜（7）2＜32，即2＜＜3，7的整数部分为27－2）.

请解答：

（110的整数部分是__________，小数部分是__________

（2）

a 的整数部分为

b ，求a ＋b 的值；

26．请回答下列问题：

（1介于连续的两个整数a 和b 之间，且a b <，那么a = ，b = ；

（2）x 2的小数部分，y 1的整数部分，求x = ，y = ；

（3）求)y

x -的平方根．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

根据绝对值的性质、平方根的性质、倒数的性质、平方和立方的性质对各项进行判断即可．

【详解】 若a a =则0a ≥，故A 错误；

若22a b =则a b =或=-a b ，故B 错误；

当0a b >>时11b a

<，故C 错误； 若01a <<，则32a a a <<，正确，

故答案为：D ．

【点睛】

本题考查了有理数的运算，掌握有理数性质的运算是解题的关键．

2．C

解析：C

【分析】

分别根据平方根的定义，算术平方根的定义判断即可得出正确选项．

【详解】

A ．﹣4是16的平方根，说法正确；

B .2，说法正确；

C . 116的平方根是±14

，故原说法错误；

D .，说法正确．

故选：C ．

此题考查了平方根以及算术平方根的定义，熟记相关定义是解题的关键．

3．A

解析：A

【分析】

根据有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质对各项进行分析即可．

【详解】

A. 有理数是整数和分数的统称，正确；

B. 立方等于本身的数是-1，0，1，错误；

C. a -不一定是负数，错误；

D. 若a b =，则a b =或=-a b ，错误；

故答案为：A ．

【点睛】

本题考查了判断说法是否正确的问题，掌握有理数的定义、立方的性质、负数的性质、绝对值的性质是解题的关键．

4．C

解析：C

【分析】

设这个数为x, 根据题意列出关于x 的方程,求出方程的解即可．

【详解】

解：设这个数为x ，根据题意得：3x x =，

解得：x=0或-1或1，共3个；

故选：C ．

【点睛】

此题考查了有理数的立方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

5．D

解析：D

【分析】

根据实数在数轴上的位置判断大小，结合实数运算法则可得.

【详解】

根据数轴，﹣4＜a ＜﹣3，﹣2＜b ＜﹣1，0＜c ＜1，2＜d ＜3，

∵﹣4＜a ＜﹣3，0＜c ＜1，∴ac ＜0，故A 错误；

∵﹣2＜b ＜﹣1，0＜c ＜1，∴1＜|b |＜2，0＜|c |＜1，故|c |＜|b |，故B 错误； ∵﹣4＜a ＜﹣3，2＜d ＜3，∴﹣3＜﹣d ＜﹣2，故a ＜﹣d ，故C 错误；

∵﹣2＜b ＜﹣1，2＜d ＜3，∴b +d ＞0，故D 正确．

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查实数与数轴以及实数的大小比较，熟练实数相关知识点是解答此题的关键．

解析：C

【分析】

观察已知等式，发现末位数字以2，4，8，6进行循环，每4个数一个循环的和位数为0，只要把原式的数的个数除以4得出余数即可求解.

【详解】

∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，……

∴末位数字以2，4，8，6循环

∵2019÷4=504…3，

∴21+22+23+24+…+22019的末位数字与（2+4+8+6）×504+2+4+8的末位数字相同为4 故选：C.

【点睛】

本题考查了尾数特征，弄清题中的数字循环规律是解本题的关键.

7．B

解析：B

【分析】

根据非负数的性质列式求出m 、n 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．

【详解】 ∵2

3(2)0m n -++=

∴m-3=0,n+2=0,

解得：m=3,n=-2,

∴m+n=1

故选B.

【点睛】

此题考查非负数的性质：偶次方，非负数的性质：绝对值，解题关键在于掌握其性质. 8．D

解析：D

【详解】

设点C 所对应的实数是x ．根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有 ()

x 1-，解得.

故选D.

9．B

解析：B

【分析】

根据平行线的性质和角平分线性质可求．

【详解】

解：∵AB ∥CD ，

∴∠1+∠BEF=180°，∠2=∠BEG ，

∴∠BEF=180°-50°=130°，又∵EG平分∠BEF，

∴∠BEG=1

2

∠BEF=65°，

∴∠2=65°．

故选：B．

【点睛】

此题考查平行线的性质，角平分线的性质，解题关键在于掌握两直线平行，内错角相等和同旁内角互补这两个性质．

10．D

解析：D

【分析】

根据线段中点的性质，可得答案．

【详解】

∵，A，

∴C，

故选：D．

【点睛】

此题考查实数与数轴，利用线段中点的性质得出AC的长是解题关键．

二、填空题

11．6

【分析】

分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．【详解】

解：因为，

所以，

解得，

故，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方

解析：6

【分析】

分别根据绝对值、平方和算术平方根的非负性求得a、b、c的值，代入即可．

【详解】

解：因为()2

120a b -+++=，

所以10,20,30a b c -=+=-=，

解得1,2,3a b c ==-=，

故1(2)36a b c -+=--+=，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查非负数的性质，主要考查绝对值、平方和算术平方根的非负性．理解几个非负数（式）的和为0，那么这几个数或（式）都为0是解题关键． 12．③，④

【分析】

①[x) 示小于x 的最大整数，由定义得[x)x≤[x )+1，[)<<-8，[)=-9即可， ②由定义得[x)x 变形可以直接判断，

③由定义得x≤[x)+1，变式即可判断，

④由定义

解析：③，④

【分析】

①[x) 示小于x 的最大整数，由定义得[x )

5-)<385-<-8，[385-)=-9即可， ②由定义得[x )

③由定义得x≤[x )+1，变式即可判断，

④由定义知[x )

【详解】

由定义知[x )

①[385

-)=-9①不正确，

②[x )表示小于x 的最大整数，[x )

③x≤[x )+1，[x )-x≥-1，[x )–x 有最小值是-1，③正确，

④由定义知[x )

由x≤[x )+1变形的x-1≤[x )，

∵[x )

∴x 1-≤[x )

④正确．

故答案为：③④．

【点睛】

本题考查实数数的新规定的运算 ，阅读题给的定义，理解其含义，掌握性质[x )

【分析】

首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．

【详解】

解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和，

∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，

∵N是满足不等式x≤的

解析：±2

【分析】

首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】

<

解：∵M a

∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，

∵N是满足不等式x

∴N＝2，

∴M＋N＝±2．

故答案为：±2．

【点睛】

此题主要考查了估计无理数的大小，得出M，N的值是解题关键．

14．-5

【解析】

∵32<10<42,

∴的整数部分a=3,

∵b的立方根为-2,

∴b=-8,

∴a+b=-8+3=-5.

故答案是：-5.

解析：-5

【解析】

∵32<10<42,

a=3,

∵b的立方根为-2,

∴b=-8,

∴a+b=-8+3=-5.

故答案是：-5.

15．π（答案不唯一）．

【解析】

考点：估算无理数的大小．

分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解． 解：3到4之间的无理数π．

答案不唯一．

解析：π（答案不唯一）．

【解析】

考点：估算无理数的大小．

分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解． 解：3到4之间的无理数π．

答案不唯一．

16．255

【分析】

（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；

（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．

【详解】

解：（1）

解析：255

【分析】

（1）根据题意的操作过程可直接进行求解；

（2）根据题意可得最后取整为1，得出前面的一个数最大是3，再向前推一步取整的最大整数为15，依此可得出答案．

【详解】

解：（1）由题意得：

64→=8→2=→=1，

∴对64只需进行3次操作后变为1，

故答案为3；

（2）与上面过程类似，有256→=16→4=→=2→1=，对256

只需进行4次操作即变为1，类似的有255→=15→3=→=1，即只需

进行3次操作即变为1，故最大的正整数为255；

故答案为255．

【点睛】

本题主要考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根是解题的关键．

17．【分析】

根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.

【详解】

解：，且，

∴y -3=0，x-2=0，

．

．

的平方根是．

故答案为：.

【点睛】

此题考查算术平

解析：±1

【分析】

根据算术平方根的性质及乘方的性质解答，得到y=3，x=2，再进行计算即可.

【详解】

解：23(2)0y x -+-=20,(2)0x -≥，

∴y-3=0，x-2=0，

3,2y x ∴==．

1y x ∴-=．

y x ∴-的平方根是±1．

故答案为：±1.

【点睛】

此题考查算术平方根的性质及乘方的性质，求一个数的平方根，根据算术平方根的性质及乘方的性质求出x 与y 的值是解题的关键.

18．如等，答案不唯一．

【详解】

本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于和之间的无理数有无穷多个，因为，故而9和16都是完全平方数，都是无理数.

解析：π等，答案不唯一．

【详解】

本题考查无理数的概念.无限不循环小数叫做无理数.介于3和4之间的无理数有无穷多个，

因为2239,416==，故而9和16,15都是无理数.

19．【分析】

根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．

【详解】

(⊕2)⊕3=⊕3=3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关 解析：【分析】

根据“⊕”的含义，以及实数的运算方法，求出算式的值是多少即可．

【详解】

2)⊕3=3，

故答案为3．

【点睛】

本题考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

20．±9 2-

【分析】

根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；

【详解】

解：∵ ，

∴3是27的立方根；

∵ ，

∴81的平方根是 ；

∵ ，

∴；

故答案为：2

解析：

【分析】

根据立方根、平方根的定义以及去绝对值法则求解，即可得到答案；

【详解】

解：∵3327= ，

∴3是27的立方根；

∵2(9)81±= ，

∴81的平方根是9± ；

2< ，

22=

故答案为：27，9±，；

【点睛】

本题主要立方根、平方根的定义以及去绝对值法则，掌握一个数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．

三、解答题

21．（1）20cm ；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形，理由详见解析

【分析】

（1）根据已知得到大正方形的面积为4002cm ，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，根据面积列得54360x x ?=，求出

x =520x =>，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.

【详解】

（1）∵用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形，

∴大正方形的面积为4002cm ，

20cm =

故答案为：20cm ；

（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，

54360x x ?=，

解得：x =

520x =>，

答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形.

【点睛】

此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.

22．（1）7；2；27；（2）见解析.

【解析】

【分析】

(1)观察所给数的立方，7的立方的个位数是3，由此估计19683的立方根的个位数为7，继而由203＜19000＜303猜想19683的立方根的十位数这2，由此进行验证即可；

(2)根据(1)中的方法先进行猜想，然后进行验证即可.

【详解】

(1)先估计19683的立方根的个位数，猜想它的个位数为7，又由203＜19000＜303，猜想19683的立方根的十位数为2，验证得19683的立方根是27，

故答案为：7，2，27；

(2)猜想：117649的立方根为49；373248的立方根为72；(本题答案不唯一)；

验证：先估计117649的立方根的个位数，猜想它的个位数是9，又由403＜117000＜503，猜想117649的立方根的十位数为4，验证得117649的立方根是49；

先估计373248的立方根的个位数，猜想它的个位数是2，又由703＜373000＜803，猜想

373248的立方根的十位数为7，验证得373248的立方根是72.

【点睛】

本题考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键，本题有一定的难度.

23．（1）275，572；（2）（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a].【分析】

（1）观察等式，发现规律，等式的左边：两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；等式的右边：三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；

（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行写出即可．

【详解】

解：（1）∵5+2=7，

∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，

∴52×275=572×25，

（2）左边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b；

右边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a；

“数字对称等式”为：（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．

故答案为275，572；（10b+a）[100a+10（a+b）+b]=（10a+b[100b+10（a+b）+a]．

【点睛】

本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．

24．24-23=16-8=23 24﹣23=16﹣8=23 2n﹣2（n﹣1）═2（n﹣1）

【解析】

试题分析：（1）根据已知规律写出④即可．

（2）根据已知规律写出n个等式，利用提公因式法即可证明规律的正确性．

（3）写出前101个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案．

试题解析：（1）根据已知等式：

①21-20=2-1=20；

②22-21=4-2=21；

③23-22=8-4=22；

得出以下：

④24-23=16-8=23，

（2）①21-20=2-1=20；

②22-21=4-2=21；

③23-22=8-4=22；

④24-23=16-8=23；

得出第n个等式：

2n-2（n-1）=2（n-1）；

证明：

2n-2（n-1），

=2（n-1）×（2-1），

=2（n-1）；

（3）根据规律：

21-20=2-1=20；

22-21=4-2=21；

23-22=8-4=22；

24-23=16-8=23；

…

2101-2100=2100；

将这些等式相加得：

20+21+22+23+ (2100)

=2101-20，

=2101-1．

∴20+21+22+23+…+2100=2101-1．

25．（1）33；（2）4

【解析】

分析：求根据题目中所提供的方法求无理数的整数部分和小数部分.

详解：

（1的整数部分是3，

3；

（2）∵

∴a

2，

∵

∴

b=，

6

∴a b+

+=．

264

点睛：求无理数的整数部分和小数部分，需要先给这个无理数平方，观察这个数在哪两个整数平方数之间.需要记忆1-20平方数,12 = 1， 22 = 4 ，32 = 9， 42 = 16， 52 = 25， 62 = 36 ，72 = 49 ，82 = 64 ，92 = 81 ，102 = 100，112 = 121， 122 = 144 ，132 = 169 ，142= 196 ，152 = 225， 162 = 256， 172 = 289 ，182 = 324， 192 = 361 ，202 = 400.

26．（1）4；b＝（2?4；3（3）±8

【分析】

（（1）由16＜17＜25a，b的值；

（2）根据（1）的结论即可确定x与y的值；

（3）把（2）的结论代入计算即可．

【详解】

解：（1）∵16＜17＜25，

∴4＜5，

∴a ＝4，b ＝5，

故答案为：4；5；

（2）∵4＜5，

∴6＋2＜7，

由此整数部分为6，

∴x ?4，

∵4＜5，

∴3－1＜4，

∴y ＝3；

；3

（3）当x ，y ＝3时，

)

y x ＝)3

＝64， ∴64的平方根为±8．

【点睛】

此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“逐步逼近”是估算的一般方法，也是常用方法．