幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量

幂法是求方阵的最大特征值及对应特征向量

幂法

设A n 有n 个线性相关的特征向量v 1，v 2，…，v n ，对应的特征值λ1，λ2，…，λn ，满足 |λ1| > |λ2| ≥ …≥ |λn | (3.2.1)

1. 基本思想

因为{v 1，v 2，…，v n }为C n 的一组基，所以任给x (0)

≠ 0，∑==

n

i i

i

v

a x 1

)

0( —— 线性表示

所以有

]

)(

[)(2

1

1111

11)

0(∑

∑

∑∑====+

==

=

=n

i i i k

i k

n

i k k

i i n

i i k

i

n

i i i k

k v a v a v a v A a

v a A x

A λλλλ

若a 1 ≠ 0，则因

11

<λλi 知，当k 充分大时 A (k )x (0) ≈ λ1k

a 1v 1 = cv 1 属λ1的特征向量

另一方面，记max(x ) = x i ，其中|x i | = ||x ||∞，则当k 充分大时，

1111

1

111111

1

111)

0(1)

0()

max()max()

max()max()

max()max(λλλλλ==

≈

---v a v a v a v a x

A

x A k k

k k

k k

若a 1 = 0，则因舍入误差的影响，会有某次迭代向量在v 1方向上的分量不为0，迭代下去可求得λ1及对应特征向量的近似值。 2. 规范化

在实际计算中，若|λ1| > 1则|λ1k a 1| →∞，若|λ1| < 1则| λ1k a 1| → 0都将停机。 须采用“规范化”的方法

??

??

?==+)()1()

()

()()max(k k k k k Ay x x x

y ， k = 0，1，2，… 定理3.2-1 任给初始向量0)

0(≠x

有，???

??==∞

→∞

→特征值

特征向量

1)(11)

()max(lim )max(lim λk k k k x v v y

证明：

?

???

??+

+

=

=

==

=

=

∑

∑

==-------n

i i k

i

i k

n

i i k

i i k

k

k

k k k k k k k k k v a v a v a v a x A x

A x

x

A

x

x

A

Ay

Ay

x

x

y

2

1

1112

1

111)

22.3()

0()0()

1()

1()1()

1()

1()

1()

()

()

(])(

[max ])(

[)

max()

)max(max()max()

max()

max(λλλλλλ

)

max()

max(])(

[max ])(

[1111112

1

112

1

11v v v a v a v a v a v a v a k n

i i k

i

i n

i i k

i i =

→

?

???

??

+

+=

∞

→==∑

∑

λλλλ

而 1

111111)

1()

()

max()max()

max()

max())max(max()max()max(λλ==

=

→=∞

→-v v v Av v v A Ay

x

k k k

注：若A 的特征值不满足条件(3.2.1)，幂法收敛性的分析较复杂，但若λ1 = λ2 = … = λ r 且|λ1| > |λ r +1| ≥ …≥ |λn |则定理结论仍成立。

此时不同初始向量的迭代向量序列一般趋向于λ1的不同特征向量。 3. 算法

求maxa(x )的流程，设数组x (n )数向量x 的n 个分量

幂法流程：

例1，用幂法求???

?

?

?

?=3616

41593

642A 的最大模特征值及对应特征向量 见P312

function y = maxa(x) k=1;n=length(x);

for i=2:n

if (abs(x(i))>abs(x(k)),k=i; end; end; y=x(k);

A=[2,4,6;3,9,15;4,16,36]; x0=[1;1;1]; y=x0/maxa(x0)

x1=A*y

while(abs(maxa(x1)-maxa(x0)))>0.001 x0=x1; y=x0/maxa(x0) x1=A*y end; y

maxa(x1)