逻辑学复习资料
1、逻辑学属于思维科学。逻辑学把思维的形式结构作为特殊研究对象。
思维的形式结构,是思维内容的存在、联系方式,由逻辑常项和逻辑变项构成。
(思维形式结构不表达具体的思维内容,没有真假,但用具体词项或命题,代入思维形式结构中的逻辑变项,这种思维形式结构就被赋予了具体内容,就有了真假。) 2、概念
内涵——概念所反映的对象的本质属性 外延——概念所反映的对象类 集合概念——反映集合体的概念 非集合概念——反映类的概念 3、概念的关系(欧拉图)
⑴、全同关系
如果S 和P 的外延完全重合,即所有的S 都是P 并且所有的P 都是S ,那么,S 与P 之间的关系就是全同关系。
⑵、种属关系
如果S 的合部外延同P 的部分外延相相重合,即所有的S 都是P 并且有P 不是S ,那么S 与P 之间的关系就是真包含于关系。
⑶、属种关系
如果S 的部分外延同P 的全部外延重合,即所有的P 都是S 并且有S 不是P ,那么S 与P 之间的关系就是真包含关系。
⑷、交叉关系
如果S 和P 的外延仅有一部分重合,即有的S 是P ,有的S 不是P ,并且有的P 不是S ,那么,S 与P 之间的关系就是交叉关系。
⑸、不相容关系
如果S 和P 的外延没有任何部分重合,即所有的S 都不是P ,那么,S 与P 之间的关系就是不相容关系。
﹡根据某种语境,不相容有一个确定的属概念,称为论域。根据论域,概念的不相容,分为矛盾和对立两种关系。 ①、矛盾关系:S 和P 不相容,且二者外延之和等于其论域M ,如图1。
②、对立关系:S 和P 不相容,且二者外延之和小于其邻近属概念M 的外延,如图2。 M M P
S
S P
P S S
P
S P
4、定义揭示概念的内涵,即本质属性。
定义的规则:
第一,定义项的概念认知度高于被定义项。违反的称为:晦涩定义
第二,被定义项要恰当归类。
第三,定义项和被定义项的外延必须是全同关系。违反的称为:定义过宽或定义过窄
第四,定义项中不能直接或间接地包含被定义项。违反的成为:循环定义
第五,定义一般是肯定性陈述,但并非不能使用否定性陈述。如,亚健康就是非病非健康状态。
5、划分三要素:母项、子项、划分标准
划分规则:
第一,各子项外延之和必须等于母项。
第二,一次划分必须依据同一标准。
第三,子项的外延必须为不相容关系。
第四,各子项必须是同一层次的概念。
6、限制是通过增加内涵,缩小外延,从属概念得到其种概念的逻辑方法。(限制必须在有属种关系的概念之间进行,单独概念不能限制。)
概括是通过减少内涵,扩大外延,从种概念得到其属概念的逻辑方法。(概括必须在有种属关系的概念之间进行)
7、复合命题(表达判断的语句,称为命题。命题的基本特征是有真假。)
(1)联言命题:p∧q(合取),并且;虽然……但是;既……又;不仅……而且;不仅……也(2)相容选言命题:p∨q(析取),或者……或者……
(3)不相容选言命题:p∨q(不相容析取),要么……要么……
(4)充分条件假言命题:p→q(蕴涵),如果……就;只要……就;一旦……就;若……则(5)必要条件假言命题:p←q(逆蕴涵),只有……才;除非……才;不……就不
(6)充要条件假言命题:p?q(等值于),当且仅当……才;如果……那么;并且只有……才
8、负复合命题的等值命题
﹁(p∧q)? (﹁p∨﹁q)
﹁(p∨q)? (﹁p∧﹁q)
﹁(p∨q)? ((p∧q)∨(﹁p∧﹁q))
﹁(p→q)? (p∧﹁q)
﹁(p←q)? (﹁p∧ q)
﹁(p ? q)?((p∧﹁q)∨(﹁p∧q))
﹁ ﹁ p? p
9、命题推理的方法 (一)真值表法P55
重言式:命题变项的任意一组赋值都是真(推理有效) 矛盾式:在任意赋值下都假 可真式:至少一组赋值是真的 (二) 范式方法P57
第一,先将真值形式中的“?”和“→”完全消去。
用(p ∧q )∨(﹁ p ∧﹁ q)置换p ?q ,用﹁ p ∨q 置换p →q 第二,将“﹁”逐步内移至命题变项之前,消去双重否定号。 用﹁p ∧﹁q 置换﹁(p ∨q) ,用﹁p ∨﹁q 置换﹁(p ∧q ),用p 置换﹁﹁p
第三,在上述步骤的基础上,运用合区分配律并加以化简就得原真值形式的析取范式;运用析取分配律并加以化简就得原真值形式的合取范式。
分配律:① (p ∧(q ∨r))? ((p ∧q)∨(p ∧r)) ② (p ∨(p ∧r))? ((p ∨q)∧(p ∨r)) 10、直言命题
如:所有 哺乳动物 是 脊椎动物。 (量项) 主项 (联项) 谓项 主项——断定的对象(逻辑变项) 谓项——断定的性质(逻辑变项)
联项——表示所做的断定,即肯定或否定(逻辑常项) 量项——全称或者特称(逻辑常项)
A
E
I 下反对关系 O 主项S 个谓项P 外延间的关系:
从属关系
11、命题变形直接推理(P86)
(一)换质法——肯定改为否定,否定改为肯定
要求:(1)结论和前提不同质;(2)结论不改变前提的量;(3)结论谓项和前提谓项是矛盾关系。结构形式为:①SAP→SEP一②SEP→SAP一③SIP→SOP一④SOP→SIP一
(二)换位法——主项变谓项,谓项变主项
要求:(1)改变前提主、谓项的位置;(2)保持前提的质不变;(3)前提中不周延的项,到结论中也不得周延。结构形式为:①SAP→PIS ②SEP→PES ③SIP→PIS (注意:“SOP”不能换位)
(三)换质换位法
对前提既换质又换位,从而得出结论的直接推理;它是换质法和换位法的综合运用,可以交替连续进行。①、先换质再换位②、先换位再换质
直言命题连续变形推理的有效:
SAP→SE P一→P一ES→P一AS一→S一I P一→S一OP SAP→PIS→POS一
SEP→SA P一→P一IS→P一OS一
SEP→PES→PAS一→S一IP→S一O P一SIP→SO P一
SIP→PIS→POS一
SOP→SI P一→P一IS→P一OS一SOP不能进行换位
12、直言三段论的规则
在前提仲出现两次的是中项M
结项主项——小项S——小前提
结论谓项——大项P——大前提
》》基本规则:
第一,中项在前提中至少周延一次
第二,前提中不周延的项,在结论中不得周延
第三,两个否定前提不能得结论
第四,两个前提中有一个否定的,结论必然是否定的第五,如果结论是否定的,前提之一必是否定的》》导出规则:
第六,两个特称前提不能得出结论
第七,两个前提中有一个是特称的,结论也是特称的
13、谓词逻辑——自然语言的谓词表达式(P115)大写字母F、G、H……表示谓词常项或者谓词变项
小写字母a、b、c、d……表示个体常项
小写字母w、y、z、u……表示个体变项
●?表示全称量词,?表示存在量词
●?xFx表示“任一x都具有性质F”
●?xFx表示“存在x具有性质F”
●?x?yGxy表示“任一x和任一y具有关系G”
●?x?yGxy表示“对任一x和任一y具有关系G”
●?x?yGxy表示“存在一x,对任一y,x和y有关系G”
●?x?yGxy表示“存在x并且存在y,x和y有关系G”
14、逻辑的基本规律(P140)
(一)同一律
要求和逻辑错误:
1、保持概念自身的同一。违反称为:混淆或偷换概念
2、保持论题自身的同一。违反称为:转移或偷换论题
3、保持语境自身的同一。违反称为:混淆或偷换语境
(二)矛盾律
要求和逻辑错误:不能同时肯定两个矛盾或者反对命题,必须否定其中一个。违反称为:自相矛盾
(三)排中律:
要求和逻辑错误:不能同时否定两个矛盾命题,必须肯定其中一个。违反称为:矛盾两不可
15、模态命题的符号化
□:表示“必然”模态词;◇:表示“可能”模态词
(1)必然肯定命题:它是反映事物情况必然存在的命题。必然p,记为□P。
(2)必然否定命题:它是反映事物情况必然不存在的命题。必然非P,记为□?P。
(3)可能肯定命题:它是反映事物可能存在的命题。可能P,记为◇P。
(4)可能否定命题:它是反映事物情况可能不存在的命题。可能非P,记为◇?P。
反对
□□?p
◇P 下反对◇?P
16、道义命题推理(P177)
(1)必须肯定命题。其命题形式是:必须p。记为:Op。
(2)必须否定命题。其命题形式是:必须非p。记为:O?p。
(3)允许肯定命题。其命题形式是:允许p。记为:Pp。
(4)允许否定命题。其命题形式是:允许非p。记为:P?p。
(5)禁止肯定命题。其命题形式是:禁止p。记为:Fp。
(6)禁止否定命题。其命题形式是:禁止非p。记为:F?p。
?在上述六种道义命题形式中,禁止命题与必须命题、禁止命题与允许命题之间存在着如下的等价关系:Fp?O?P F?p?Op Fp??Pp F?p??P?p
因此,六种基本道义命题可以归结为四种基本道义命题,即Op、O?p、Pp、P?p。
具有相同素材的四种基本道义命题Op、O?p、Pp、P?p之间在真假方面存在着必然的制约关系,即真假对当关系。这种关系可用一个正方图形来表示,该图形叫道义方阵。
?
反对
O?p
Pp 下反对P?p
?依据上述对当关系中的矛盾关系,我们可以得到下列直观上成立的基本道义命题推理:
?(1)Op??P?p
?(2)O?p??Pp
?(3)Pp??O?p
?(4)P?p??Op
?根据道义方阵中的反对关系,可以进行下列推理:
?(5)Op→?O?p
?(6)O?p→Op
?根据道义方阵中的下反对关系,可以进行下列推理:
?(7)?Pp→P?p
?(8)?P?p→Pp
?根据道义方阵中的从属关系,可以进行下列推理:
?(9)Op→Pp
?(10)O?p→P?p
?(11)?Pp→?Op
. .. . ..
?(12)?P?p→?O?p
17、归纳与演绎的关系:
区别:(1)思维进程的方向不同。(2)对前提真实性的要求不同。
(3)结论断定的知识范围不同。(4)前提和结论间的联系程度不同。
联系:(1)演绎离不开归纳。(2)归纳离不开演绎。
18、因果五因法:
(一)求同法也叫契合法,它是指在被研究现象出现的若干场合中,如果只有一个情况是这些场合共同具有的,那么这个惟一的共同情况就是被研究现象的原因(或结果)。【异中求同】
图式表示:
场合先行(或后行)情况被研究对象
(1) A,B,C a
(2) A,D,E a
(3) A,F,G a
………………
A是a的原因(或结果)
(二)求异法又叫差异法,它是指在被研究现象出现和不出现的两个场合中,如果只有一个情况不同,其他情况完全相同,而且这个惟一不同的情况在被研究现象出现的场合中存在,在被研究现象不出现的场合中布存在,那么这个唯一不同的情况就是被研究现象的原因(或结果)。【同中求异】图式表示:
场合先行(或后行)情况被研究对象
(1) A,B,C a
(2) -,B,C —
A是a的原因(或结果)
(三)求同求异并用法,也叫契合差异并用法。在被研究现象出现的若干场合(正事例组)中,如果只有一个共同的情况,而在被研究现象不出现的若干场合(负事例组)中,却没有这个情况,其他情况不尽相同,那么这个惟一共同的情况,就是被研究现象的原因(或结果)。【两次求同,一次求异】
图式表示:
场合先行(或后行)情况被研究对象
(1) A,B,C,D a
(2) A,C,F,G a
(3) A,F,D,E a
………
(1) -,B,C,D -
(2) -,D,E,F -
(3) -,F,G,D -
………
A是a的原因(或结果)
(四)共变法是在被研究现象发生变化的各个场合中,发现只有一个情况是变化着的,其他情况保持不变,那么这个惟一变化着的情况,就是被研究现象的原因(或结果)。
图式表示:
场合先行(或后行)情况被研究对象
(1) A1,B,C,D a1
. .. . ..
(2) A2,B,C,D a2
(3) A3,B,C,D a3
………
A是a的原因(或结果)
(五)剩余法是已知一复合情况是一复合现象的原因(或结果),并且还知道复合情况的某一部分是复合现象中的某一部分的原因(或结果),那么复合情况的剩余部分,就是复合现象的剩余部分的原因(或结果)。
图式表示:
复合情况(A B C D)是复合现象(abcd)的原因(或结果)
A是a的原因(或结果)
B是b的原因(或结果)
C是c的原因(或结果)
D是d的原因(或结果)
19、求概率的方法
(一)求初始概率的方法
●先验概率:P(A)=m/n
●频率概率:P(A)=m/n
●主观概率:P(A)=a/a+b
(二)概率演算
(1)基本规则:
①任何命题p的概率大于或等于0,小于或等于1。
②如果一个命题是重言式,则它的概率等于1。
③如果一个命题是矛盾式,则它的概率等于0。
④如果两个命题的逻辑等值的,那么它们有相同的概率。
⑤不相容析取命题的概率等于析取支的概率之和。P(pVq)=P(p)+P(q)
(2)条件概率(P213)
(3)导出规则(P214)
20、证明
(一)直接证明和间接证明
直接证明,是从正面寻找事实论据或理论论据,直接导出论题真的论证方式。
间接证明,是由确定与原论题相关的其他论题假,从而间接导出原论题真的证明方式。
反正法,是由确定与原论题相矛盾的论题假,根据排中律,导出原论题真的间接证明方式。
选言法,是用选言推理否定肯定式,否定与原论题并列的其他可能,从而肯定原论题的间接证明方式。
(二)证明的规则
(1)关于论题的规则
①论题应明确
②论题应同一:证明过多、证明过少、顾左右而言他、答非所问和问非所答
(2)关于论据的规则
①论据应真实
②论据的真实性应是己知的
③论据的真实性应独立于论题