1.3逻辑代数及其表示方法

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术

章节第1章教师陈燕熙审批

课题 1.3逻辑代数及其表示方法课时授课日期授课班级

教学目的与要求1．掌握逻辑代数的基本概念2．掌握逻辑代数的表示方法

教学重点掌握逻辑代数的表示方法

教学难点掌握逻辑代数的表示方法

授课类型专业理论课

教学方法班级授课

教具多媒体

解决重难

点的措施1、重点掌握基本门电路的相关知识

2、熟练掌握复合门电路的知识

导入过程

设计

逻辑代数，亦称布尔代数，是英国数学家乔治布尔（George Boole）于1849年创立的。在当时，这种代数纯粹是一种数学游戏，自然没有物理意义，也没有现实意义。在其诞生100多年后才发现其应用和价

值。

教学过程

一、教学内容：

1.3逻辑代数及其表示方法

1.逻辑常量与变量：逻辑常量只有两个，即0和1，用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样，也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区别，因为逻辑变量的取值只有两个，即0和1，而没有中间值。

2.逻辑运算：在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

3.逻辑函数：逻辑函数是由逻辑变量、常量通过运算符连接起来的代数式。同样，逻辑函数也可以用表格和图形的形式表示。

4.逻辑代数：逻辑代数是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统。逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础，也是数字电路分析和设计的关键。

参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B……表示。每个变量的取值非0 即1。

0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。

正、负逻辑规定：

正逻辑体制规定：高电平为逻辑1，低电平为逻辑0。

负逻辑体制规定：低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。

逻辑函数：如果有若干个逻辑变量（如A、B、C、D）按与、或、非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式L。对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）L有唯一的值与之对应，则称L为逻辑函数。逻辑变量A、B、C、D的逻辑函数记为：L=f(A、B、C、D)

1.3.2 三种基本逻辑运算

1.与运算

图1.7 (a)表示一个简单与逻辑的电路，电压V通过开关A和B向灯泡L供电，只有A 和B同时接通时，灯泡L才亮。A和B中只要有一个不接通或二者均不接通时，则灯泡L 不亮，其真值表如图1.7 (b)。因此，从这个电路可总结与运算逻辑关系。

语句描述：只有当一件事情（灯L亮）的几个条件（开关A与B都接通）全部具备之后，这件事情才会发生。这种关系称与运算。

逻辑表达式：

L=A·B

式中小圆点“·”表示A、B的与运算,又称逻辑乘。在不致引起混淆的前提下,乘号“·”

被省略。某些文献中,也有用符号∧、∩表示与运算的。

真值表：如果开关不通和灯不亮均用0表示，而开关接通和灯亮均用1表示，得到如图1.7 (c)所示的真值表描述。真值表的左边列出为所有变量的全部取值组合，右边列出的是对应于A,B变量的每种取值组合的输出。因为输入变量有两个，所以取值组合有22＝4种，对于n个变量，应该有2n种取值组合。

逻辑符号：与运算的逻辑符号如图1.7 (d)所示，其中A,B为输入，L为输出。

(a)电路图(c)用0、1表示的真值表

(b)真值表(d)与逻辑门电路的符号

图1.7 与逻辑运算

2.或运算

图3.1.2(a)表示一简单的或逻辑电路，电压V通过开关A或B向灯泡供电。只要开关A或B接通或二者均接通，则灯L亮；而当A和B均不通时，则灯L不亮，其真值表如图3.1.2(b)所示。由此可总结出或运算逻辑关系。

语句描述：当一件事情（灯L亮）的几个条件（开关A、B接通）中只要有一个条件得到满足，这件事就会发生，这种关系称为或运算。

逻辑表达式：

L=A+B

式中符号“＋”表示A、B或运算，又称逻辑加，在某些文献中，也用符号∨、∪来表示或运算。

真值表：同与运算一样，用0、1表示的或逻辑真值表如图3.1.2(c)所示。

逻辑符号：或运算的逻辑符如图3.1.2(d)所示，其中A,B表示输入，L表示输出。

(a)电路图(c)用0、1表示的真值表

(b)真值表(d)或逻辑门电路的符号

图3.1.2 或逻辑运算

3.非运算

如图3.1.3(a)所示，电压V通过一继电器触点向灯泡供电，NC为继电器A的常闭触点，当A不通电时，灯L亮；而当A通电时，灯L不亮。其真值表如图3.1.3(b)所示。由此可总结出非运算逻辑关系。

语句描述：一件事情（灯亮）的发生是以其相反的条件为依据。这种逻辑关系为非运算。

逻辑表达式描述：

L=A

真值表：若用0和1来表示继电器和灯泡状态，则可得图3.1.3(c)所示的真值表，在此图中，很容易理解，A不通电和灯不亮定义为0态，而A通电和灯亮是定义为1态。显然L与A总是处于对立的逻辑状态。

(a)电路图(b)真值表(c)用0、1表示的真值表

图3.1.3 非逻辑运算

式中，字母A上方的短划“－”表示非运算。在某些文献中，也用“～”、“┐”或“,”表示非运算。

逻辑符号：非运算逻辑符号如图3.1.4(a)、(b)所示，其中图(a)为在输入端用小圆圈表示的非运算，图(b)为在输出端用小圆圈表示的非运算。

(a)在输入端用小圆圈表示非运算(b)在输出端用小圆圈表示非运算

图3.1.4 非逻辑门电路的符号

4.三种基本逻辑运算小结

与、或逻辑运算都可以推广到多变量的情况：

L=A·B·C…

L=A+B+C+…

其它逻辑运算都可用上述三种基本逻辑运算组合而成。表3.1.1列出了几种基本的逻辑运算函数式及其相应的逻辑门电路的代表符号，以便于比较和应用。

1.3．3复合逻辑运算

复合逻辑运算由基本逻辑运算组合而成，如与非、或非、同或、异或等。

1.3.1 与非逻辑

与非逻辑是与逻辑运算和非逻辑运算的复合,将输入变量先进行与运算,然后再进行非运算。

逻辑表达式：

真值表：与非逻辑真值表如表3.2.1所示。

逻辑符号：与非运算的逻辑符号如图3.2.1所示。

表3.2.1 两输入变量与非逻辑真值表

图3.2.1 与非运算逻辑符号

语句描述：只要输入变量中有一个为0，输出就为1。只有输入变量全部为1时，输出才为0，这种运算关系称为与非运算。

1.3.2 或非逻辑

或非逻辑是或逻辑运算和非逻辑运算的复合，将输入变量先进行或运算，然后再进行非运算。

逻辑表达式：

真值表：或非运算的真值表如表3.2.2所示。

逻辑符号：或非运算逻辑符号如图3.2.2所示

表3.2.2 两输入变量或非逻辑真值表

图3.2.2 或非运算逻辑符号

语句描述：只要输入变量中有一个为1，输出就为0。或者说，只有输入变量全部为0时，输出才为1，这种运算关系称为或非运算。

1.3.3与或非逻辑

与或非逻辑是与逻辑运算和或非逻辑运算的复合。它是先将输入变量A、B及C、D分别进行与运算。然后再进行或非运算。

逻辑表达式：

真值表：与或非运算的真值表如表3.2.3所示。

1.3.4 同或逻辑和异或逻辑

同或逻辑和异或逻辑是只有两个输入变量的函数。

1.同或运算：

当两个输入变量A和B值取值相同时，输出P才为1，否则P为0，这种逻辑关系称为同或运算。

逻辑表达式：

“⊙”符号是同或运算符号。

真值表：同或运算真值表如表3.2.4所示。

逻辑符号：其逻辑符号如图3.2.3所示。

表3.2.4 同或逻辑真值表

图3.2.3 同或运算逻辑符号

2.异或运算：

只有当两个输入变量A和B的取值不同时，输出P才为1，否则P为0，这种逻辑关系称为异或运算。

逻辑表达式：

“⊕”是异或运算符号。

真值表：异或运算真值表如表3.2.5所示。

逻辑符号：其逻辑符号如图3.2.4所示。

表3.2.5 异或逻辑真值表

图3.2.4 异或运算逻辑符号

3.小结

由上分析可见，同或与异或逻辑正好相反，有时又将同或逻辑称为异或非逻辑。因此

对于两变量来说，两变量的原变量相同，则取非后两变量的反变量也相同；若两变量的原变量相异,则取非后两变量的反变量必相异。因此，由同或逻辑和异或逻辑的定义可以得到

另外，若变量A和变量B相同，则A必与B相异；若变量A和变量B相异，则A与B 相同。因此又有：

(a)与非逻辑(b)或非逻辑(c)与或非逻辑(d)异或逻辑(e)同或逻辑

图3.2.5 复合逻辑符号

二、课堂练习

1.三种基本门电路分别是：？

2.各种门电路的逻辑符号、逻辑表达式、逻辑功能分别是：？

三、教学小结：

1、三种基本门电路

2、各种门电路的逻辑符号、逻辑表达式、逻辑功能

四、练习题

1.5 1.6