最新浙江大学高等代数试题解答汇总

2007年浙江大学高等代数试题解答

浙江大学2007年高等代数试题解答

一：证明；充分性；若该方程组的系数矩阵行列式为1±，故可由克拉默法则可知

[]()11

T n n b b b b b ?=为整数，方程Ax b =的解均为整数解。

必要性；令Ax b =，由已知可知 对于

1,e 存在整数解1β

,n e 存在整数解n β

所以[][]11n n n A e e E ββ==，若取[]1n B ββ=，所以1A B =，

而,A B 为整数组成的矩阵，从而有1A =±，即该方程组的系数矩阵行列式为1± 二：解：由于

211

2111121123123222

2222212

34112

3

33

3

1

1112111

221

2

3

11111111

n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n

n

n n s s s x x x s s s s x x x x x x x A s s s s x x x x x x x s s s s x x x x x x x ----+------+-????????????????????==?????????

???????????????????

可知()2

1j i i j n

A x

x ≤<≤=

-∏

三：证明：由于

00000E A AB E C ABC E B BC E B ---????????

=???????????????

?从而 ()()()()0AB rank ABC rank B rank rank AB rank BC B BC ??

??+=≥+ ??????? 四：证明：由于k s <，则必能从12,,

,s ξξξ中必可取()0m >个向量，使它们和

12,,,k ηηη一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系，

若m s k <-，则()dim ker A k s k s <+-<这和已知()dim ker A s =矛盾 若m s k >-，则()dim ker A k s k s >+->这和已知()dim ker A s =矛盾 从而m s k =-，从而必能从12,,

,s ξξξ中必可取s k -个向量，使它们和

12,,,k ηηη一起构成齐次方程0Ax =的一组基础解系

五：证明：由已知可知，A 的最小多项式()()()23m λλλ--，从而()m λ无重根，即

A 可以对角化，由于A 的特征值仅为2和3，而23m n m A -=，从而特征值2的重数为m ，特征值3的重数为n m -，故与A 相似的一个对角矩阵为

2202033

3m n m E E -??????

????

=??????

???????

?

六；证明：()1 22

,,C D k ??∈

∈，由

()()()()()()()

C D A C D B ACB ADB C D kC A kC B kACB k C ?????+=+=+=+===从而?是V 上的线性变换

()2若1λ≠，则,A B 均为可逆矩阵，令()0x ?=，则

0AxB =，所以0x =，即?是可逆线性变换

()3若1λ=，ker ,a b x x c d ???

?∈=????，根据0x ?=可知,a c b d ==，从而 12121001ker :,1001k k k k ???????=+∈????????????

又对任何a b x c d ??=??

??，有 ()()()12111211x a c b d ?--????

=-+-????--????，从而 12121211Im :,1211k k k k ??--?????=+∈??????

--??????