平行四边形性质和判定综合(一)(教案)

教学过程

一、复习预习

平行四边形的识别方法（如图1）

1．从“边”的角度考虑

(1) ∵AB∥_______，_______∥BC，

∴四边形ABCD为平行四边形( )．

(2) ∵AD∥_______， __________＝_______，

∴四边形ABCD为平行四边形( )．

(3) ∵_______＝CD，AD＝_______，

∴四边形ABCD为平行四边形（）．

2．从“对角线”的角度考虑

∵AO＝_______，BO＝_______，即_______与_______互相_______，∴四边形ABCD为平行四边形( )．二、知识讲解

1．性质：按边、角、对角线三方面分类记忆．

平行四边形的性质

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对边平行；

边

对边相等

对角相等；

角

邻角互补

对角线：对角线互相平分

另外，由“平行四边形两组对边分别相等”的性质，可推出下面的推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．

2．判定方法：同样按边、角、对角线三方面分类记忆．

边?

?

?

?

?

两组对边分别平行一组对边平行且相等两组对边分别相等

角：两组对角分别相等

对角线：对角线互相平分

3．注意的问题：

平行四边形的判定定理，有的是相应性质定理的逆定理．学习时注意它们的联系和区别，对照记忆．

4．特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）

5. 研究平行四边形问题的基本思想方法是转化法，即把平行四边形的问题转化为三角

形及平移、旋转和对称图形的问题来研究．

考点/易错点1

平行四边形的判定的应用容易与性质的应用混淆。

考点/易错点2

平行四边形的判定中注意“两组对边分别相等或者平行”中“分别”两个字的重要性，注意区分。

三、例题精析

【例题1】

【题干】如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．

试说明：(1)△AFD≌△CEB．

(2)四边形ABCD是平行四边形．

【答案】解答：(1) ∵DF∥BE，∴∠1＝∠2．

在△AFD和△CEB中，AF＝CE，∠1＝∠2，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB．

(2)∵△AFD≌△CEB，∴AD＝BC，∠3＝∠4．∴AD//BC．

从而由AD＝BC，AD∥BC，得到四边形ABCD是平行四边形．

【解析】(1)说明三角形全等的方法有SAS、ASA、AAS、SSS，本题要说明△AF D≌△CEB，已知AF＝CE，DF＝BE，只要说明∠DFA＝∠CEB，而∠DFA＝∠CEB，由DF∥BE可得到；

(2)说明四边形是平行四边形的方法有四种，由于(1)中已经说明△AFD≌△CEB，所以可得到AD＝BC，因而可考虑“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”或“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由题意发现易得AD∥BC．

点评：说明四边形是平行四边形常用的方法有四种，在解题过程中要注意分析条件和图形，选择合适的方法，使说明过程简洁明了．

【例题2】

【题干】如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F．

（1）求证：BE=DF；

（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理

由）．

【答案】解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF（A．A．S．），

∴BE=DF；

（2）四边形MENF是平行四边形．

证明：有（1）可知：BE=DF，

∵四边形ABCD为平行四边行，

∴AD∥BC，

∴∠MDB=MBD，

∵DM=BN，

∴△ DNF≌ △ BNE，

∴ NE=MF，∠ MFD=∠ NEB，

∴ ∠ MFE=∠ NEF，

∴ MF∥ NE，

∴四边形MENF是平行四边形．

【解析】考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF；

（2）根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状．

点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质．

【例题3】

【题干】如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】证明：∵四边形AECF是平行四边形

∴OE=OF，OA=OC，AE∥CF，

∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO，

∴△FDO≌△EBO，

∴OD=OB，

∵OA=OC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

【解析】考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．

四、课堂运用

【基础】

1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

答案

证明：（1）∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，

即BE=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

分析

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF；

（2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD 是平行四边形，则可得AO=CO．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用。

2.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD．

答案

证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵∠BAC=90°，

∴平行四边形AEDF是矩形，

分析考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。

专题：证明题。

分析：由DE、DF是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC=90°，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF=AD．

点评：此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

3.如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，

且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证

明．

答案

解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平行且相等．

证明：∵CE∥AB，

∴∠DAO=∠ECO，

∵OA=OC，

∴△ADO≌△ECO，

∴AD=CE，

∴四边形ADCE是平行四边形，

分析考点：平行四边形的判定与性质。

专题：探究型。

分析：根据CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，求证△ADO≌△ECO，然后求证四边形ADCE 是平行四边形，即可得出结论．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证△ADO≌△ECO，然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论．

【巩固】

1.如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．

求证：四边形MFNE是平行四边形．

答案

证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，

又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，

∴DE=BF，∠AED=∠CFB

又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF

又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC

∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF

∴四边形MFNE为平行四边形．

分析

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为M、N分别是DE、BF的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决．

点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

2. 如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA．

求证：四边形AECF是平行四边形．

答案

证明：连接AC交BD于点O，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD．

∵BE=DF，∴OE=OF．

∴四边形AECF为平行四边形．

分析

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形．点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

3.在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．

求证：四边形BEDF是平行四边形．

答案

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．

又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，

∴DE=BF，AE=CF．

∠DAE=∠BCF=60°．

∵∠DCF=∠BCD﹣∠BCF，

∠BAE=∠DAB﹣∠DAE，

∴∠DCF=∠BAE．

∴△DCF≌△BAE（SAS）．

∴DF=BE．

∴四边形BEDF是平行四边形．

分析

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。

专题：证明题。

分析：由题意先证∠DAE=∠BCF=60°，再由SAS证△DCF≌△BAE，继而题目得证．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

4.如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．

答案

证明：∵E是AC的中点，

∴EC=AC，

又∵DB=AC，

∴DB=EC．

又∵DB∥EC，

∴四边形DBCE是平行四边形．

∴BC=DE．

分析

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE是平行四边形，即可证明BC=DE．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

【拔高】

1.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s

的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？

答案

解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24﹣t，CQ=2t，BQ=30﹣2t．

（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，∴24﹣t=2t∴t=8∴8秒后四边形PDCQ是平行四边形；

（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30﹣2t∴t=10∴10秒后四边形APQB是平行四边形

分析

考点：平行四边形的判定与性质；梯形。

专题：动点型。

分析：若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应．

课程小结

1．灵活运用平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键。

2. 三角形的相关性质定理起到辅助解答的作用。

3．辅助线的作法比较简单，构造全等或者构造出对角线相交等等。

课后作业

【基础】

1.如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，

求证：AE与DF互相平分．

考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。

专题：证明题。

分析：要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形ADEF为

平行四边形．

解答：证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：

DE∥AC，DE=AF，

EF∥AB，EF=AD，

∴四边形ADEF为平行四边形．

故AE与DF互相平分．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．

2.已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是

平行四边形．

求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：因为?ABCD，OB=OD，又AODE是平行四边形，AE=OD，所以AE=OB，又AE∥OD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE是平行四边形．同理，也可推出四边形DCOE是平行四边形．

解答：证明：∵?ABCD中，对角线AC交BD于点O，

∴OB=OD，

又∵四边形AODE是平行四边形，

∴AE∥OD且AE=OD，

∴AE∥OB且AE=OB，

∴四边形ABOE是平行四边形，

同理可证，四边形DCOE也是平行四边形．

点评：此题要求掌握平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

【巩固】

1.如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中

点，

并且点E、F、G、H有在同一条直线上．

求证：EF和GH互相平分．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明．

解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是

AB、CD、AC、BD的中点．

在△ABC中，EG=BC；在△DBC中，HF=BC，

∴EG=HF．

同理EH=GF．

∴四边形EGFH为平行四边形．

∴EF与GH互相平分．

点评：本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理．熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

2.如图：?ABCD中，MN∥AC，试说明MQ=NP．

考点：平行四边形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：先证AMQC为平行四边形，得AC=MQ，再证APNC为平行四边形，得AC=NP，进而求解．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AM∥QC，AP∥NC．

又∵MN∥AC，

∴四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形．

∴AC=MQ AC=NP．

∴MQ=NP．

点评：本题考查的知识点为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．

3.已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点．求证：四边形EHFG是平行四边形．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题。

分析：要证四边形EHFG是平行四边形，需证OG=OH，OE=OF，可分别由四边形ABCD是平行四边形和△OEB≌△OFD得出．

解答：证明：如答图所示，

∵点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD．

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=OA，OH=OC，

∴OG=OH．

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠2．

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF．

∴四边形EHFG为平行四边形．

点评：此题主要考查平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

4.如图，已知在?ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC 的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．

（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；

（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。

专题：证明题；探究型。

分析：（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得

∠GBE=∠HDF．再由SAS可证△GBE≌△HDF，利用全等的性质，证明∠GEF=∠HFE，从而得GE∥HF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证．

（2）仍成立．可仿照（1）的证明方法进行证明．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，∴∠GBE=∠HDF．

又∵AG=CH，∴BG=DH．

又∵BE=DF，∴△GBE≌△HDF．

∴GE=HF，∠GEB=∠HFD，∴∠GEF=∠HFE，

∴GE∥HF，∴四边形GEHF是平行四边形．

（2）解：仍成立．（证法同上）

点评：本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．