平面直角坐标系与函数的概念

平面直角坐标系与函数的概念

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1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（ ）．

A ．(m ＋2，n ＋1)

B ．(m －2，n －1)

C ．(m －2，n ＋1)

D ．(m ＋2，n －1) 2.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠=°，B 的坐标为（ ）

A ．2，

B ．2)，

C ．211)，

D ．21)，

3.点(35)p ，关于x 轴对称的点的坐标为（ ）

A ． (3,5)

B ． (5,3)

C ．(3,5)

D ． (3,5) 4.函数2y x =

+x 的取值范围是（ ）

A ．2x >-

B ．2x -≥

C ．2x ≠-

D ．2x -≤

5.在函数1

31y x =

-中，自变量x 的取值范围是（ ） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13

x >

【参考答案】 1. D

x y

O

C B A

（第2题）

2. C

3. D

4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，由于二次根式a 中a 的

范围是0a ≥；∴2y x =+中x 的范围由20x +≥得2x ≥-.

5. C

◆【考点聚焦】

〖知识点〗

平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗

1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；

2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数；

3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗

1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题；

2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题；

3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】

1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点.

2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系.

3.平面直角坐标系：

①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；

②点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，?到y 轴距离为│a │，到原点距离为22a b +； ③各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ），P?在第一象限?a>0且b>0，

P 在第二象限?a<0，b>0，P 在第三象限?a<0，b<0，P 在第四象限?a>0，b<0； ④点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上?a 为任意实数，b=0；

P 在y 轴上?a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上?a=0； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上?a=－b ；

⑤A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称?x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称? x 1=－x 2，y 1=y 2；

A ，

B 关于原点对称?x 1=－x 2，y 1=－y 2；AB ∥x 轴?y 1=y 2且x 1≠x 2； AB ∥y 轴?x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）．

4.变量与函数：

①在某一变化过程中，可以取不同数值的值叫做变量．数值保持不变的量叫常量．常量和变量是相对的，判断常量和变量的前提是“在某一变化的过程中”，同一量在不同的变化过程中可以为常量也可以为变量，这是根据问题的条件而定的．常量和变量并一定都是量，也可以是常数或变数．

②在某一变化的过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 在取值范围内取的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么说x 是自变量，y 是x 的函数，函数不是数，?它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．

③自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义．自变量的取值范围可以是无限的也可以是有限的．可以是几个数，也可以是单独的一个数，表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义．

④对于自变量在取值范围内取一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫做函数的一个函数值．函数由一个解析式表示时，求函数的值，就是求代数式的值，函数的值是唯一确定的，但对应的自变量的值可以是多个．函数值的取值范围是随自变量的取值范围的变化而变化的．

⑤函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．这三种表示法各具特色，在应用时，?通常将这三种方法结合在一起运用，其中画函数图象的一般步骤为：列表、描点、连线．

◆【考点链接】

1. 坐标平面内的点与______________一一对应．

2. 根据点所在位置填表（图）

3. x 轴上的点______坐标为0, y 轴上的点______坐标为0.

4. P(x,y)关于x 轴对称的点坐标为__________，关于y 轴对称的点坐标为________，

关于原点对称的点坐标为___________.

5. 描点法画函数图象的一般步骤是__________、__________、__________．

6. 函数的三种表示方法分别是__________、__________、__________．

7. x y =

有意义，则自变量x 的取值范围是 . x

y 1

=

有意义，则自变量x 的取值范围是 . ◆【典例精析】

例1. 已知点A （a ，－5），B （8，b ）根据下列要求，确定a ，b 的值． （1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于原点对称；

（3）AB ∥x 轴；（4）A ，B 两点在一，三象限两坐标轴夹角的平分线上．

【分析】（1）两点关于y 轴对称时，它们的横坐标互为相反数，而纵坐标相同； （2）两点关于原点对称时，两点的横纵坐标都互为相反数； （3）两点连线平行于x 轴时，这两点纵坐标相同（但横坐标不同）；

（4）当两点位于一，三象限两坐标轴夹角的平分线上时，每个点的横纵坐标相同． 【答案】解：（1）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于y 轴对称时有：85

A B

A B x x a y y b =-=-??∴?

?==-?? （2）当点A （a ，－5），B （8，b ）关于原点对称时有85A B

A B x x a y y b =-=-??∴?

?=-=?

?

（3）当AB ∥x 轴时，有85A B

A B x x a y y b ≠≠??∴?

?==-?

?

（4）当A ，B 两点位于一，三象限两坐标轴夹角平分线上时有：

点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限

x A=y B且x A=y B即a=－5，?b=8．

【点评】运用对称点的坐标之间的关系是解答本题的关键．

例2.如图所示，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（0，6），（－8，0），求Rt△ABO 的内心的坐标．

【分析】本题考查勾股定理，直角三角形内心的概念，运用内心到两坐标轴的距离，结合实际图形，确定内心的坐标．

【答案】解：∵A（0，6），B（－8，0），∴OA=6，OB=8，

在Rt△ABO中，AB2=OA2+OB2=62+82=100，∴AB=10（负值舍去）．

设Rt△ABO内切圆的半径为r，

则由S△ABO=1

2

×6×8=24，S△ABO =

1

2

r（AB+OA+OB）=?12r，知r=2，

而内心在第二象限，∴内心的坐标为（－2，2）．

【点评】运用数形结合并借助面积是解答本题的关键．

例3 如图所示表示玲玲骑自行车离家的距离与时间的关系，?她9?点离开家，15点回到家，请根据图象回答下列问题：

（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

（2）她何时开始第一次休息？休息多长时间？

（3）第一次休息时，离家多远？

（4）11：00到12：00她骑了多少千米？

（5）她在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度各是多少？

（6）她在何时至何时停止前进并休息用午餐？

（7）她在停止前进后返回，骑了多少千米？

（8）返回时的平均速度是多少？

【分析】小玲骑自行车离家的距离是时间的函数，从图象中线段CD和EF与横轴平行，表明这两段时间她在休息，通过读图可分别求解各问题．

【答案】解：（1）由图象知，玲玲到达离家最远的地方是12点，离家30km；

（2）由线段CD平行于横轴知，10：30开始休息，休息半个小时；

（3）第一次休息时离家17km；

（4）从纵坐标看出，11：00到12：00，她骑了13km（30－17=13）；

（5）由图象知，9：00～10：00共走了10km，速度为10km/h，10：00～10：30?共走了7km，速度为14km/h；

（6）她在12：00～13：00时停止前进并休息用午餐；

（7）她在停止前进后返回，骑了30km回到家（离家0km）；

（8）返回时的路程为30km，时间为2h，故返回时的平均速度为15km/h．

【点评】如图a所示，表示速度v与时间t的函数图象中，①表示物体从0开始加速运动，②代表物体匀速运动，③代表物体减速运动到停止．如图b所示，?表示路程s与时间t的函数图象中，①代表物体匀速运动，②代表物体停止，?③代表物体反向运动直至回到原地．

(a) (b)

◆【迎考精练】

一、选择题

1.（河南）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（2，0）.

月牙①绕点B顺时针旋转900得到月牙②，则点A的对应点A’的坐标为（）

A.（2，2）

B.（2，4）

C.（4，2）

D.（1，2）

2.（北京市）如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D.E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F,EG⊥AB于点G,当点C在AB上运动时，设AF=x，DE=y，下列中图象中，能

表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ）

3.（天津市）在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()()41A B --，，1，1，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ）

A ．()43，

B ．()34，

C ．()12--，

D ．()21--， 4.（重庆）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，

沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP △的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）

5.(黑龙江牡丹江)如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD 的边上有一动点P 沿A B C D A →→→→运动一周，则P 的纵坐标y 与点P 走过的路程s 之间的函数关系用图象表示大致是（ ）

D C P B

A

第4题

O 3 1 1 3 S x A ．

O

1

1 3 S

x O

3 S

x 3

O

1 1 3 S

x

B ．

C ．

D ．

2

6.（浙江杭州）两个不相等的正数满足2=+b a ，1-=t ab ，设2

)(b a S -=，则S 关于

t 的函数图象是（ ）

A ．射线（不含端点）

B ．线段（不含端点）

C ．直线

D ．抛物线的一部分

7.（山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：

()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，， ()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，

()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，

． 按照以上变换有：(())

()()233232f g f -=-=，，，，

那么()()53f h -，等于（ ）

A ．()53--，

B ．()53，

C ．()53-，

D ．()53-，

8.（山东青岛）一艘轮船从港口O 出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A 处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B ．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B 所在位置的坐标是（ ）．

A ．35030)，

B ．(30350)，

C ．(303，

D ．(303)，

9.（山东东营）如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( )

1 2 3 4

1

2 y s

O 1 2 3 4

1

2 y s O s 1 2

3 4

1

2 y s O 1 2

3 4

1

2 y O A .

B .

C .

D .

y

x

O B

A （第9题图）

A.（0，0）

B.（

22，22

-） C.（－21，－2

1） D.（－22，－22） 10.(陕西省)如果点P(m ，1-2m)在第四象限，那么m 的取值范围是 ( )

A ．2

1

0<

1

<<-

m C ．0

1>

m 11.(四川成都)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(2，3)，若将OA 绕原点O 逆时针旋转180°得到0A′，则点A ′在平面直角坐标系中的位置是在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

12.（山东威海）如图，A ，B 的坐标为（2，0），（0，1）若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

13.（湖北襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，则与点B '关于x 轴对称的点的坐标是（ ）

A ．()01-，

B ．()11，

C ．()21-，

D ．()11-，

14．（浙江绍兴）如图，在平面直角坐标系中，P ⊙与x 轴相切于原点O ，平行于y 轴的直线交P ⊙于M ，N 两点．若点M 的坐标是（21-，）

，则点N 的坐标是（ ） A ．(24)-， B. (2 4.5)-， C.(25)-， D.(2 5.5)-，

y

O (01)，

(20)A ，

1(3)A b ，

1(2)B a ，

x

15.（浙江杭州） 已知点P （x ，y ）在函数x x

y -+=21

的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ）

A ．第一象限

B ． 第二象限

C ． 第三象限

D ． 第四象限 16.(广东肇庆)函数2y x =

-x 的取值范围是（ ）

A ．2x >

B ．2x <

C ．2x ≥

D ．2x ≤

17.（浙江杭州）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第

k 棵树种植在点)(k k k y x P ，处，其中11=x ，11=y ，当2k ≥时，

???

???

?

---+=----+=--]52[]51[])5

2[]51([5111k k y y k k x x k k k k ，[a ]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0．按此方案，第棵树种植点的坐标为（ ）

A ．（5，）

B ．（6，2010）

C ．（3，401）

D （4，402） 二、填空题

1.（湖北荆门）将点P 向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P '（1-，3），则点P 的坐标是______．

2.（吉林省）如图，点A 关于y 轴的对称点的坐标是 ．

3.（山东泰安）如图所示，△A ’B ’C ’是由△ABC 向右平移5个单位，然后绕B 点逆时针旋转90°得到的（其中A ’、B ’、C ’的对应点分别是A 、B 、C ），点A ’的坐标是（4，4）

A x 3

y

O

-5

点B’的坐标是（1，1），则点A

的坐标是。

4.（湖南衡阳）点A的坐标为（2，0），把点A绕着坐标原点顺时针旋转135o到点B，那么点B的坐标是 _________ ．

5.（内蒙古包头）线段CD是由线段AB平移得到的，点(14)

A-，的对应点为(47)

C，，则点(41)

B--

，的对应点D的坐标是．

6.（广东肇庆）在平面直角坐标系中，点(23)

P-

，关于原点对称点P'的坐标是．7.（湖北十堰）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，4)，将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，则点A′的坐标是．

8.（浙江衢州）如图，DB为半圆的直径，A为BD延长线上一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC

于点C，交半圆于点F．已知BD=2，设AD=x，CF=y，则y关于x的函数解析式是．

9.（湖北仙桃）函数

2

x

x

4

y

-

-

=中，自变量x的取值范围是__________________．

10.（福建龙岩）函数x

y-

=2中自变量x的取值范围是．

B

C

E

第8题图

D O

F

11.(广东梅州)星期天，小明从家里出发到图书馆去看书，再回到家．他离家的距离y （千米）与时间t （分钟）的关系如图所示．

根据图象回答下列问题：

（1）小明家离图书馆的距离是____________千米； （2）小明在图书馆看书的时间为___________小时； （3）小明去图书馆时的速度是______________千米/小时． 三、解答题

1.（吉林长春）如图，点P 的坐标为322?

? ???

，，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点A ，交双曲线k y x =（0x >）于点N ，作PM AN ⊥交双曲线k y x

=（0x >）于点M ，连结AM ．已知4PN =．

（1）求k 的值．（3分）

（2）求APM △的面积．（3分）

2.（安徽）如图，在对Rt △OAB 依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O ′A ′B ′． （1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；

y

x O

P

A M N

y (千米) (分)

3 11题

O

（2）设P （x ，y ）为△OAB 边上任一点，依次写出这几次变换后点P 对应点的坐标．

3.（黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，ABC △的顶点坐标为(23)A -，、

(32)B -，、(1,1)C -．

（1）若将ABC △向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的

111A B C △；

（2）画出111A B C △绕原点旋转180°后得到的222A B C △；

（3）A B C '''△与ABC △是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：___________； （4）顺次连结12C C C C '、、、，所得到的图形是轴对称图形吗？

4-3- 1 2 3 4 1

2 4

3 2-1-1-2

-3

-4

-y

x

O

A B

C

C '

′

B '

′

A '

′

O

A

B

x

O ′ B ′

A ′

y

第2题图

4.（天津市）已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点

D ．

（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；

（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；

（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．

第5题图

单位：cm

5.(河北)某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm，B 型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（如图是裁法一的裁剪示意图）

设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A.B 两种型号的板材刚好够用．

（1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；

（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式，

并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？

【参考答案】 选择题 1. B 2. A 3. B 4. B

5. D

6. B

7. B

8. A

9. C 10. D

11. C 12. A 13. D

【解析】本题考查坐标与平移，由图3可知点B 的坐标是（-1，1），将ABC △向右平移两个单位长度得到A B C '''△，所以点B '的坐标是（1，1），所以点B '关于x 轴对称的点的坐标是（1，-1），故选D. 14. B 15. B 16. C 17. D 填空题

1. （1，2）【解析】本题考查坐标与平移，将点P 向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到P '（1-，3），所以点P '（1-，3）向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到P （1，2），故填（1，2）．

2. （5，3）

3. （-1，-2）

4. (1,-1)

5. (1,2) 【解析】 本题考查图形平移后图形上点的坐标变化情况，由于平移图形上的所有点均作相同的运动，由A(-1,4)至C(4,7)是先将点A(-1,4)向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到；所以点D 可由点B(-4，-1)向右平移5个单位，再向上平移3个单位得到点D(1,2).

6. (23)-，

7. (4，－1)

8.

1x y x =+

9. 4x ≤且2x ≠ 10. x ≤2

11. （1）3（2）1（3）15 解答题

1. 解：(1)∵P(2，

2

3

)，PN=4 ∴N(6，

2

3) 把N(6，2

3

)代入k y x =得：k=9

(2)∵PM AN ⊥, P(2，2

3

)

∴M(2，y)

∵k=9，点M 在双曲线k y x =

上，把M(2，y)代入k y x =，得：y=2

9 ∴M(2，29

) 又∵P(2，2

3

)

∴MP=3，AP=2 ∴S APM △=

3322

1

=?? 2. （1）如图所示；

（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则

P （x ，y ）2O 以为位似中心放大为原来的倍（2x ，2y ）；y 经轴翻折（-2x ，2y ）；4向右平移个单位（24x -+，2y ）；5向上平移个单位（24x -+，25y +）

说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确就相应赋分 3. 画出平移后的图形， 画出旋转后的图形 写出坐标（0，0） 答出“是轴对称图形”

4. 解：（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合，则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为

()()00m m >，.则4BC OB OC m =-=-.于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由

勾股定理，得2

2

2

AC OC OA =+，即()2

22

42m m -=+，解得3

2

m =

. ∴点C 的坐标为302??

???

，.

（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△.由题设

OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得

222B C OC OB ''=+.()2

224y y x ∴-=+，即2128

y x =-+.由点B '在边OA 上，有

02x ≤≤，

∴解析式21

28y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，

y ∴的取值范围为3

22

y ≤≤.

（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥.则OCB CB D ''''∠=∠. 又

CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥.Rt Rt COB BOA ''∴△∽△.

有OB OC OA OB

''=，得2OC OB ''=. 在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2

001228

x x =-+

，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴

点C

的坐标为()

016. 5. 解：（1）0 ，3．

（2）由题意，得

2240x y +=， ∴1

1202

y x =-．

23180x z +=，∴2

603

z x =-．

（3）由题意，得 12

1206023

Q x y z x x x =++=+-+-．

整理，得 1

1806Q x =-．

由题意，得11202

2603x x ?-????-??

解得 x ≤90．

【注：事实上，0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】

图①

图②

图③

由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．

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