有限元ANSYS MATLAB 应用

有限元在ANSYS和MATLAB中的应用

工程学院

摘要: 文章简述了有限元分析的基本理论及其求解问题的基本步骤, 介绍了ANSYS 软件的应用,介绍了Matlab 语言特点，给出了Matlab 环境下实现有限元的步骤。说明如何使用Matlab 进行有限元分析,使用该方法进行分析具有精度高、简便、快速及可视化等诸多优点，具有较强的使用价值。

关键词: 有限元分析; ANSYS 软件; 用Matlab 进行有限元分析的优点

1 有限元分析基本理论

有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成, 对每一单元假定一个合适的近似解,

然后推导求解这个域的满足条件, 从而得到问题的解。这个解不是准确解,而是近似解, 因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解,

而有限元不仅计算精度高, 而且能适应各种复杂形状, 因而成为行之有效的工程分析手段。有限元是那些集合在一起能够表示实际连续域的离散单元[1]。有限元的概念早在几个世纪前就已产生并得到了应用, 例如用多边形逼近圆来求得圆的周长, 但

作为一种方法而被提出, 则是最近的事。有限元法最初被称为矩阵近似方法, 应用于航空器的结构强度计算, 并由于其方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。经过短短数十年的努力, 随着计算机技术的快速发展和普及, 有限元方法迅速从结构工程强度分析计算扩展到几乎所有的科学技术领域, 成为一种丰富多彩、应用广泛并且实用高效的数值分析方法。有限元方法与其他求解边值问题近似方法的根本区别在于它的近似性仅限于相对小的子域中。

1.1有限元求解问题的分析过程

第一步, 问题及求解域定义: 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步, 求解域离散化: 将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域, 习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小( 网络越细)

则离散域的近似程度越好, 计算结果也越精确, 但计算量及误差都将增大, 因此求

解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步, 确定状态变量及控制方法: 一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示, 为适合有限元求解, 通常将微分方程化为等

价的泛函形式。

第四步, 单元推导: 对单元构造一个适合的近似解, 即推导有限单元的列式, 其中包括选择合理的单元坐标系, 建立单元试函数, 以某种方法给出单元各状态变量的离散关系, 从而形成单元矩阵。

第五步, 总装求解: 将单元总装形成离散域的总矩阵方程( 联合方程组) , 反映对近似求解域的离散域的要求, 即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行, 状态变量及其导数连续性建立在结点处[2]。

第六步, 联立方程组求解和结果解释: 有限元法最终导致联立方程组, 联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量, 将通过与设计准则提供的允许值比较来评价, 并确定是否需要重复计算[3]。

1.2 有限元求解问题的基本步骤

第一步，对结构物进行离散化，划分为有限个单元。根据分析对象和求解精度的不同，需要选择不同类型的单元。有限单元法分析的基本单元有以下几种情况：一维单元、二维单元、三维单元。其中一维单元主要用于杆系结构分析，主要有2结点和3结点两种类型的单元；二维单元主要用于平面连续体问题分析，其单元形状通常有三角形和四边形；三维单元主要用于空间连续体分析，主要有四面体和六面体两种形状。单元划分的多少，则需根据求解问题的精度和计算效益来决定。对于线性静力分析，单元划分得越多，则精度越高，但所需要的计算费用也随之越高。但对于非线性分析，单元的多少还涉及求解的收敛问题，并不是单元越多精度越高。因为单元太多有可能引起求解时不收敛。此外，单元划分时应注意各边长度尽量相等。

第二步，对各结点和单元进行编码。在对单元进行划分完后，为了便于编程计算，必须按照一定的规律对各结点和单元进行编码。通常对结点的编码以自然数1、2、3…表示，而对于单元采用①，②，③…表示，编码时每个单元的结点编号尽量连续。

第三步，建立坐标系。求解任何力学问题都必须建立坐标系，各种矢量如位移、力、力矩等的正负只有在特定的坐标系下才有意义。离开了特定的坐标系，各种矢量只有方向的区别，而不能谈正负的概念。因此进行有限元分析时，对于整个系统，我们必须建立整体坐标系，通常以xoy表示。结点的位置以坐标来表示。

第四步，对已知参数进行准备和处理。对于各种单元，如杆件单元需要准备的数据包括单元截面A，单元长度L,单元弹性模量E单元剪切模量G单元惯性矩I 等。二维

单元需要弹性模量E、泊松比u、单元厚度h 等。

第五步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。通常运用虚位移原理或最小势能原理来进行单元分析，建立单元刚度矩阵k e和荷载矩阵F e.。

第六步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵K和整体荷载矩阵F。我们进行单元分析的最终目的是要对结构进行整体分析，因此必须有单元特性矩阵构成整体特性矩阵。第七步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性，否则我们的问题就是不适定的[4]。

第八步，求解方程组，计算结构的整体结点位移矩阵，并进一步计算各单元的位移，应力，应变等物理量。

第九步，对计算结果进行整理、分析、用表格、图线示出所需的位移及应力。大型的ansys 一般都具有强大的后处理功能，由计算机自动绘制彩色云图，制作图线、表格、乃至动画显示[5]。

2 ANSYS有限元分析软件

ANSYS 软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。由世界上最大的有限元分析软件公司之一的美国ANSYS 开发, 它能与多数CAD 软件接口, 实现数据的共享和交换, 是现代产品设计中的高级CAD 工具之一。软件主要包括三个部分: 前处理模块、分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具, 用户可以方便地构造有限元模型; 分析计算模块包括结构分析( 可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析) 、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析, 可模拟多种物理介质的相互作用[6], 具有灵敏度分析及优化分析能力; 后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示等图形方式显示出来, 也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出, 软件提供了100 种以上的单元类型, 用来模拟工程中的各种结构和材料。

2. 1 前处理模块: 实体建模和网格划分

（1）ANSYS 程序提供了两种实体建模方法: 自顶向下与自底向上。自顶向下进行实体建模时, 用户定义一个模型的最高级图元, 如球、棱柱, 称为基元, 程序则自动定义相关的面、线及关键点。用户利用这些高级图元直接构造几何模型, 如二维的圆和矩形以及三维的块、球、锥和柱。无论使用自顶向下还是自底向上方法建模, 用户均能使用布尔运算来组合数据集, 从而/ 雕塑出0 一个实体模型。ANSYS 程序提供

了完整的布尔运算,诸如相加、相减、相交、分割、粘结和重叠。在创建复杂实体模型时, 对线、面、体、基元的布尔操作能减少相当可观的建模工作量。ANSYS 程序还提供了拖拉、延伸、旋转、移动、延伸和拷贝实体模型图元的功能。附加的功能还包括圆弧构造、切线构造、通过拖拉与旋转生成面和体、线与面的自动相交运算、自动倒角生成、用于网格划分的硬点的建立、移动、拷贝和删除。自底向上进行实体建模时, 用户从最低级的图元向上构造模型,即: 用户首先定义关键点, 然后依次是相关的线、面、体。

（2）ANSYS 程序提供了使用便捷、高质量的对CAD 模型进行网格划分的功能。包括四种网格划分方法: 延伸划分、映像划分、自由划分和自适应划分。延伸网格划分可将一个二维网格延伸成一个三维网格。映像网格划分允许用户将几何模型分解成简单的几部分, 然后选择合适的单元属性和网格控制,生成映像网格。ANSYS 程序的自由网格划分器功能是十分强大的, 可对复杂模型直接划分, 避免了用户对各个部分分别划分然后进行组装时各部分网格不匹配带来的麻烦。自适应网格划分是在生成了具有边界条件的实体模型以后, 用户指示程序自动地生成有限元网格, 分析、估计网格的离散误差, 然后重新定义网格大小, 再次分析计算、估计网格的离散误差, 直至误差低于用户定义的值或达到用户定义的求解次数。

2. 2 求解模块

前处理阶段完成建模以后, 用户可以在求解阶段获得分析结果。在该阶段, 用户可以定义分析类型、分析选项、载荷数据和载荷步选项, 然后开始有限元求解。ANSYS 软件提供的分析类型如下:

（1)结构静力分析。用来求解外载荷引起的位移、应力和力。静力分析很适合求解惯性和阻尼对结构的影响并不显著的问题。ANSYS 程序中的静力分析不仅可以进行线性分析, 而且也可以进行非线性分析, 如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。

（2) 结构动力学分析。结构动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。与静力分析不同, 动力分析要考虑随时间变化的力载荷以及它对阻尼和惯性的影响。ANSYS可进行的结构动力学分析类型包括: 瞬态动力学分析、模态分析、谐波响应分析及随机振动响应分析。

（3)结构非线性分析。结构非线性导致结构或部件的响应随外载荷不成比例变化。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题, 包括材料非线性、几何非线性和单元非线

性三种。

（4) 动力学分析。ANSYS 程序可以分析大型三维柔体运动。当运动的积累影响起主要作用时, 可使用这些功能分析复杂结构在空间中的运动特性, 并确定结构中由此产生的应力、应变和变形。

（5) 热分析。程序可处理热传递的三种基本类型: 传导、对流和辐射。热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模拟材料固化和熔解过程的相

变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热- 结构耦合分析能力。

（6)电磁场分析。主要用于电磁场问题的分析, 如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分布、力、运动效应、电路和能量损失等。还可用于螺线管、调节器、发电机、变换器、磁体、加速器、电解槽及无损检测装置等的设计和分析领域。（7) 流体动力学分析。ANSYS 流体单元能进行流体动力学分析, 分析类型可以为瞬态或稳态。分析结果可以是每个节点的压力和通过每个单元的流率。并且可以利用后处理功能生压力、流率和温度分布的图形显示。另外, 还可以使用三维表面效应单元和热- 流管单元模拟结构的流体绕流并包括对流换热效应。

（8)声场分析。程序的声学功能用来研究在含有流体的介质中声波的传播, 或分析浸在流体中的固体结构的动态特性。这些功能可用来确定音响话筒的频率响应, 研究音乐大厅的声场强度分布, 或预测水对振动船体的阻尼效应。

（9)压电分析。用于分析二维或三维结构对AC( 交流) 、DC( 直流) 或任意随时间变化的电流或机械载荷的响应。这种分析类型可用于换热器、振荡器、谐振器、麦克风等部件及其他电子设备的结构动态性能分析。可进行四种类型的分析: 静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析。

2. 3 后处理模块

ANSYS 软件的后处理过程包括两个部分: 通用后处理模块POST1 和时间历程后处理模块POST26。通过友好的用户界面,可以很容易获得求解过程的计算结果并对其进行显示。这些结果可能包括位移、温度、应力、应变、速度及热流等, 输出形式可以有图形显示和数据列表两种[7] 。

(1) 通用后处理模块POST1。这个模块对前面的分析结果能以图形形式显示和输出。例如, 计算结果( 如应力) 在模型上的变化情况可用等值线图表示, 不同的等值线颜色, 代表了不同的值( 如应力值) 。浓淡图则用不同的颜色代表不同的数值区( 如

应力范围) , 清晰地反映了计算结果的区域分布情况。

(2) 时间历程响应后处理模块POST26。这个模块用于检查在一个时间段或历程中的结果, 如节点位移、应力或支反力。这些结果能通过绘制曲线或列表查看。绘制一个或多个变量随频率或其它量变化的曲线, 有助于形象化地表示分析结果[9]。

3 Matlab应用于有限元程序设计的优点

有限元方法是利用计算机求解数学物理或工程实际中的微分方程问题或偏微分方程问题的一种系统化的数值计算方法，有限元方法的一个显著特点是在迭代求解过程中涉及大量的矩阵计算。对于一个完善的有限元软件，它包括的基本模块有前置处理、求解器、后置处理，若用其高级语言开发，如C、C++、Fortran 等，编程的工作量十分浩大，开发的周期很长，而利用Maddb 进行有限元设计有以下优点[10]。

3.1 语言简洁紧凑、使用方便灵活、库函数极其丰富，几乎包括有限元编程中的所有基础程序Matlab是一个强大的数值计算软件,在数值计算方面，除了包括基本的数学函数、基本矩阵和数组运算函数以及多种插值函数之外，而且具有矩阵的求逆、L U 分解、Q R分解、矩阵指数运算等几乎所有的矩阵函数及矩阵分析函数;另外它还包括强大的稀疏矩阵的存储、初等变换、分解、特征值和奇异值的求解等功能，以及提供了系数阵为稀疏矩阵的线性方程组的各种解法。Madab 提

供的所有这些数值计算方面的功能，对有限元编程中的数据存储、单元刚度矩阵的生成、刚度矩阵的集成、线性方程组的求解等方面大有益处，根本无需编程人员去编制有限元中的基础程序，大大减少了工作量及提高了编程效率。

3.2 可视化及强大的图形功能Matlab 可以给出数据的二维、三维、乃至四维等数据表现以及绘制一般科技绘图软件所能绘制的几乎所有图形，如曲线图、网格图、等直线图、表面图等，M a d d b 这些功能为有限元模拟结果的可视化提供充分的表现力度，这往往是有限元数据处理中最为困难的事。除此之外，Matlab 具有较强的应用程序界面编制功能，而且提供了专门的界面编制工具(GUI)，利用它可以编制理想的用户界面。

3.3 含有多种学科的工具箱[To01Box)以及程序代码的公开性Matlab 提供的学科性工具箱可以使用户无需编写自己学科范围内的基础程序，大大节约编程时间．例如，Matlab 工具箱中的偏微分方程工具箱(PDE)就是利用Matlab 编制的有限元基础程

序库。另外，Matlab 具有有限元中网格生成的计算几何学的各种基础程序，而且偏微分方程工具箱中已具备三节点三角形网格生成功能。值得指出的是，现在很多大学

及研究机构已开发出了各种工具箱，如伯明翰大学开发的GBT，它可以进行3D 或3D 以上的几何模型数据处理；康乃尔大学计算机科学部开发的含有二维和三维几何建模、网格生成以及有限元求解等功能的软件；所有这些基于Matlab 语言编制的工具箱软件，它的原代码几乎是全部公开的，任何编程用户都可以通过对原代码文件进行修改并加人自己的文件构成新的工具箱。

3.4 程序可移植性好

Matlab 几乎可以在各种机型和操作系统上运行，所以在可移植性和可扩充性上，远优于其它的高级编程语言。

4 结语

有限单元法的基本思想是先化整为零，再集零为整，也就是把一个连续体，人为地分割成有限个单元，即把一个结构看成由若干通过结点相连的单元组成整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。从数学的角度来看，有限单元法是将一个偏微分方程化成一个代数方程组，利用计算机软件求解。由于有限元法是采用矩阵算法，故借助计算机这个工具可以快速地算出结果。

参考文献:

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