山东省临沂市临沭县2021届高三数学上学期期末考试试题(含解析).doc

山东省临沂市临沭县2021届高三数学上学期期末考试试题（含解析）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：高中全部内容.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}

0B x x =≤，则A B =（ ）

A. {}1,2

B. {}1,0-

C. {}0,1,2

D. {}1-

【答案】B 【解析】 【分析】

根据集合交集的定义，即可求出答案.

【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}

0B x x =≤. 所以A B ={}1,0-

故选:B.

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集运算及其性质.

2.若i 为虚数单位，复数z 在复平面中对应的点为12?- ??

，则2019

z 的值是（ ） A. -1 B. -i C. i

D. 1

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意得的12z =-+，根据31z =，即可得到结果.

【详解】∵复数z 在复平面中对应的点为12?- ??

，

∴12z =-+，又31z =，

∴()

673

201931z z ==，

故选D.

【点睛】本题考查复数的几何意义与乘方运算，考查计算能力，属于常考题型. 3.已知2cos sin αα=，则cos2=α（ ）

C.

12

2

【答案】D 【解析】 【分析】

转化2cos sin αα=，为21sin sin αα-=，求解sin α，利用2cos 212sin αα=-即得解. 【详解】由于22cos sin 1sin sin αααα=∴-=

2sin sin 10sin ααα∴+-=∴=

又1sin 1sin αα-≤≤∴=

2cos 212sin αα∴=-=2

故选：D

【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式综合应用，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于基础题.

4.已知抛物线C ：22(0)x py p =>的准线l 与圆M ：22(1)(2)16x y -+-=相切，则p =（ ） A. 6 B. 8 C. 3 D. 4

【答案】D 【解析】

【分析】

先由抛物线方程得到准线方程，再由准线与圆相切，即可得出结果. 【详解】因为抛物线2

:2C x py =的准线为2

p y =-

， 又准线l 与圆()()2

2

:1216M x y -+-=相切， 所以

242

p

+= ，则4p =. 故选D

【点睛】本题考查抛物线与圆的几何性质，熟记抛物线与圆的性质即可，属于常考题型. 5.已知向量a ，b 满足||3a =，||2b =，|2|213+=a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A.

6

π B.

4

π C. 2

3

π D.

3

π 【答案】D 【解析】 【分析】

转化|2|213+=a b ，为222(2)4()4()a b a a b b +=+?+，可得3a b ?=，由

cos ,||||

a b

a b a b ?<>=

即得解.

【详解】222|2|213(2)4()4()52a b a b a a b b +=∴+=+?+= 又22()||9,a a ==22()||4b b

3a b ∴?=

1

cos ,2

||||a b a b a b ?∴<>=

=

,3

a b π

∴<>=

故选：D

【点睛】本题考查了向量的数量积，模长和夹角运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.

6.某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一

“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为( ) A. 18 B. 36 C. 54 D. 72

【答案】B 【解析】 【分析】

按甲乙分情况求解即可

【详解】若甲、乙一起（无其他人）有23

3318C A = 种

若甲、乙与另一人一起（三人一起）有13

3318C A =种 ，共18+18=36种

故选B

【点睛】本题考查排列组合的简单应用，考查分类讨论思想，是基础题

7.已知F 是双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的右焦点，点M 在C 的右支上，坐标原点为O ，

若||2FM OF =，且120OFM ∠=?，则C 的离心率为（ ）

A.

3

2

B.

1

2

C. 2

D.

1

2

【答案】D 【解析】 【分析】

设双曲线的左焦点为1,F 运用余弦定理可得1||MF =，再由双曲线的定义可得

1||||2MF MF a -=，即为22c a -=，运用离心率公式计算即可得到所求值．

【详解】设双曲线的左焦点为1,F

由题意可得1||||2MF F F c ==，1120MFF ∠=?， 即有2221111||||||2||||cos MF M F M F F F F F F F M =+-∠ 22221

4424()122

c c c c =+--=，

即有1||MF =，

由双曲线的定义可得1||||2MF MF a -=

，即为22c a -=，

即有c =

，可得c e a ==

． 故选D ．

【

点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用余弦定理和双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题．

8.已如三棱锥D-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，若1AB AC BC DB DC =====，当三棱锥D-ABC 的体积取到最大值时，球O 的表面积为（ ）. A.

53

π

B. 2π

C. 5π

D.

203

π

【答案】A 【解析】 【分析】 根据当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，分别过,E F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ，得到球O 的球心，再由求得截面的性质，求得球的半径R ，即可求得球的表面积. 【详解】如图所示，当三棱锥D ABC -的体积取到最大值时，则平面ABC 与平面DBC 垂

直，

取BC 的中点G ，连接,AG DG ，则,AG BC DG BC ⊥⊥，

分别取ABC ?与ΔDBC 的外心,E F ，分别过,E F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于

O ，则O 为四面体ABCD 的球心，

由1AB AC BC DB DC =====，可得正方形OEGF

的边长为

6

，则6OG =

所以四面体A BCD -

的外接球的半径R === 所以球O

的表面积为2

543S π

π=?=.

故选A.

【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9.下图可能是下列哪个函数的图像（）

A. ()221

x x y x -=- B. ()

2ln 1

x x y x -=

-

C. 2

ln 1y x x =- D. ()tan ln 1y x x =?+

【答案】C 【解析】 【分析】

可考虑用排除法，从函数的定义域和特殊点的函数的正负着手.

【详解】由图像可知，()tan ln 1y x x =?+在02π??

??

?

，上单调递增，故可排除D ；

当1

3

x =

时，A 、B 选项中的0,y >C 选项中的0,y < 故选C.

【点睛】本题考查函数的定义域和特殊点的函数值辨别图像，属于基础题. 10.把函数()sin 23πf x x ??

=-

??

?

的图像向左平移?()0?π<<个单位长度可以得到函数()g x 的图像，若()g x 的图像关于y 轴对称，则?的值可能为（ ）

A.

512

π B.

712

π C.

56

π D.

1112

π

【答案】AD 【解析】 【分析】

根据三角函数的图象变换，求得函数()sin

223

g x x π

?=+-（），再利用三角函数的性质，即

可求解，得到答案.

【详解】由题意，把函数()sin 23πf x x ?

?

=-

??

?

的图像向左平移?()0?π<<个单位长度可以得到函数()()sin 2sin 2233g x x x ππ????

?

?=+-

=+- ????

??

?， 因为函数()g x 的图像关于y 轴对称， 所以23

2

k π

π

?π-

=+

()k Z ∈，所以5212

k ππ

?=

+()k Z ∈， 当0k =时，512π?=

；当1k =时，1112

π?=，故选A,D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

11.给出下面四个推断，其中正确的为（ ）. A. 若,(0,)a b ∈+∞，则

2b a

a b

+；

B. 若,(0,)x y ∈+∞则lg lg 2lg lg x y x +?

C. 若a ∈R ，0a ≠，则

4

4a a

+； D. 若,x y ∈R ，0xy <，则

2x y

y x

+≤-.

【答案】AD 【解析】 【分析】

由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D 正确，选项B ，C 错误. 【详解】解：对于选项A ，因为,(0,)a b ∈+∞，则22b a b a

a b a b

+?=，当且仅当b a a b =，

即a b =时取等号，即选项A 正确；

对于选项B ，当,(0,1)x y ∈时，lg ,lg (,0)x y ∈-∞，lg lg 2lg lg x y x +?即选项B 错误； 对于选项C ，当0a <时，

4

4a a

+显然不成立，即选项C 错误； 对于选项D ，0xy <，则0,0y x

x y

-

>->，则

[()()]2x y x y y x y x +=--+-≤-=-，当且仅当()()x y y x -=-，即x y =-时

取等号，即选项D 正确， 即四个推段中正确的为AD ， 故答案为AD.

【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题. 12.定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的曲线，且()()2x

f x f x e =-，当0x >时，

()()f x f x '>恒成立，则下列判断一定正确的是（ ）

A. ()()5

23e f f <-

B. ()()5

23f e f <-

C. ()()5

23e f f ->

D. ()()5

23f e f -<

【答案】B 【解析】 【分析】 构造函数()()

x f x g x e

=，判断为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，再计算函数值比较大小得到答案.

【详解】构造函数()()x f x g x e =

，因为()()2x

f x f x e =-，所以()()2x

f x f x e

-= 则()()()()()

2x x x x f x f x f x e g x g x e e e

----====，所以()g x 为偶数 当0x >时，()()()

0x

f x f x

g x e

'-'=>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增， 所以有()()32g g >，则()()32g g ->，即()()32

32f f e e

-->，即()()5

32e f f ->. 故选B

【点睛】本题考查了函数的综合应用，构造函数()()

x

f x

g x e =判断其奇偶性和单调性是解题的关键.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.命题：“0x R ?∈，使得2

001

04

x +≤x -”的否定是_________ . 【答案】2

1

04

x R x x ?∈-+>， 【解析】 【分析】

特称命题的否定是全称命题,改量词,否结论 【详解】21

04

x R x x ?∈-+

>， 【点睛】本题考查特称命题的否定形式.

14.为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查．已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是______． 【答案】300 【解析】 【分析】

根据分层抽样的定义建立比例关系，则可得到结论．

【详解】这次抽样调查抽取的总人数是100

300

700840700560

=++． 故答案为300．

【点睛】本题主要考查分层抽样，根据分层抽样的定义建立比例关系是解题的关键，属于基础题．

15.偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则

43f ??

= ???

__________，则若在区间[]1,3-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，则实数k 的取值范围是__________． 【答案】 (1). 23 (2). 10,4?? ???

【解析】 【分析】

根据函数奇偶性和条件，判断函数是周期为2的周期函数，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】

偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，

()()2f x f x ∴=+，

即函数()f x 是周期为2的周期函数， 则44222

233333

f f f f ????????=-=-==

? ? ? ?????????， 若10x -≤≤，则01x ≤-≤， 则()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，10x -≤≤，

由()()g x f x kx k =--得()()1f x k x =+， 要使函数()()g x f x kx k =--有4个零点

等价为函数()f x 与()()1h x k x =+有四个不同的交点，

作出两个函数的图象如图：

()h x 过定点()1,0A -，()31f =，

则k 满足()031h <≤， 即041k <≤，得104k <≤

， 即实数k 的取值范围是10,4

?? ??

?

，

故答案为23，10,4??

???

【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的奇偶性以及利用数形结合进行转化是解决本题的关键．

16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1

1222n n a a a n -++?+=，则5S =____．

【答案】

3116

【解析】 【分析】

由题意可得数列的首项为11a =，在1

1222n n a a a n -++?+=中将n 换为1n -，两方程相减

可得数列{}n a 的通项公式，再由等比数列求和公式计算可得所求和． 【详解】解：11222n n a a a n -+++=，

可得1n =时，11a = ，

2n ≥时，2

12122

1n n a a a n --++?+=-，

又1

1222n n a a a n -++?+=，

两式相减可得121n n a -=，

即1

12n n a -??= ???

，

上式对1n =也成立，

可得数列{}n a 是首项为1，公比为

1

2

的等比数列， 可得551131211612

S -

=

=-． 故答案为

3116

．

【点睛】本题主要考查了赋值法及等比数列的前n 项和公式，考查计算能力及分析能力，属于中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2cos cos cos c C a B b A =+. （1）求角C .

（2）若ABC 的面积为S ，且2

2

4()S b a c =--，2a =，求S . 【答案】（1）3

C π

=；（2

）S =【解析】 【分析】

（1）利用正弦定理与两角和正弦公式可得到结果；

（2）由题意及三角形面积公式可得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，结合特殊角的三角函数值得到2

B π

=

，从而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C C A B B A =+， ∴2sin cos sin()sin C C A B C =+=， ∴1

cos 2

C =，∵(0,)C π∈， ∴3

C π

=

.

（2）22222

4()22sin S b a c b a c ac ac B =--=--+=， ∴由余弦定理得2cos 22sin ac B ac ac B -+=，

∴sin cos 1B B +=，∴sin 42

B π??

+

= ?

?

?， ∵20,

3

B π??

∈ ?

?

?

，∴2B π=，

∴S =【点睛】本题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角恒等变换，考查计算能力与推理能力，属于中档题．

18.在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前

n 项和1

22n n S +=-．

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设22

log n

a n n c

b =+，求数列{}n

c 的前n 项和n T ．

【答案】（1）21n a n =-，2n

n b =；（2）2122232

n n n n

T +-+=+

【解析】 【分析】

（1）设数列{}n a 的公差为d ，由1a ，2a ，5a 成等比数列，列式解得0d =（舍去）或2d =，

进而得21n a n =-；再由数列{}n b 的前n 项和1

22n n S +=-，得1n n n b S S -=-=2n ()2n ≥，

且12b =，进而得2n

n b =；

（2）由（1）得21

2

n n c n -=+，利用分组求数列{}n c 的前n 项和n T 即可. 【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，∵1a ，2a ，5a 成等比数列，

2215a a a ∴=，即()()2

1114a d a a d +=+，

整理得2

12d a d =，解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=-.

当1n =时，12b =， 当2n ≥时，()1

12

222n n n n n b S S +-=-=---1222222n n n n n +=-=?-=．

验：当1n =时，12b =满足上式，∴数列{}

n b 的

通项公式为2n

n b =．

（2）由（1）得，21

22log 2

n a

n n n c b n -==++， ()()()3521(21)22232n n T n -=++++++++

()3

5

21

2222

(123)n n -=+++

+++++

+()214(1)

14

2

n n n -+=

+-2122232

n n n

+-+=+

. 【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

19.进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动

车限行等一系列“管控令”，该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情

况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的2×2列联表：

（1）根据上面的列联表判断，能否有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车”有关； （2）为了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出2名进行电话回访，求抽到的2人中至少有1名“没有私家车”人员的概率．

参考公式：K 2＝()()()()

2

()

n ad bc a b c d a c b d -++++

【答案】（1）有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”；（2）3

5

【解析】 【分析】

（1）根据列联表里的数据，计算出2K 的值，然后进行判断；（2）根据分层抽样的要求得到没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人，再求出总的情况数和符合要求的情况数，由古典概型公式，得到答案.

【详解】解：（1）根据列联表,计算()()()()

2

2

()n ad bc K a b c d a c b d -=++++

2

220(90402070)11011016060

??-?=

??? 55

9.167 6.6356

=

≈> 所以有99%的把握认为“赞同限行与是否拥有私家车有关”； （2）从不赞同限行的人员中按分层抽样法抽取6人， 没有私家车的应抽取2人 有私家车的4人. 随机抽出2人，总的情况数为2

6C ，

至少有1名“没有私家车”人员的情况数为2

2

64C C -， 所以根据古典概型的公式得：

22642

693155

C C P C -===． 【点睛】本题考查列联表分析，分层抽样，古典概型，属于中档题.

20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是

菱形，2AC =，

23BD =，且AC BD 、交于点O ，E 是PB 上任意一点.

（1）求证AC DE ⊥；

（2）已知二面角A PB D --的余弦值为3

4

，若E 为PB 的中点，求EC 与平面PAB 所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析；（23

1313

【解析】 【分析】

（1）利用线面垂直的性质得PD AC ⊥，利用菱形的性质得BD AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得AC ⊥平面PBD ，利用线面垂直得到线线垂直，从而得到AC DE ⊥；

（2）分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设PD t =，用坐标表示点，求得平面PBD 的法向量为()11,0,0n =，平面PAB 的法向量为

2233,1,n ?= ?，根据二面角A PB D --的余弦值为34，可求出3t =，从而得到点P 的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【详解】（1）∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥ 又∵四边形ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥ 又BD

PD D =，∴AC ⊥平面PBD

DE ?平面PBD ，∴AC DE ⊥

（2）连OE ，在PBD ?中，//OE PD ，∴OE ⊥平面ABCD

分别以OA ，OB ，OE 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.

设PD t =，则()1,0,0A ，()

3,0B

，

()1,0,0C -，0,0,2t E ?

? ??

?，(

)

0,3,P t -.

由（1）知，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = 设平面PAB 的一个法向量为()2,,n x y z =，则由2200

n AB n AP ??=?

?

?=??

即30

30

x x tz ?-+=??--+=??，令1y =，则2233,1,n ??= ? ?? 因二面角A PB D --的余弦值为

3

4

， ∴

122

33

cos ,4124n n t

=

=

+，∴3t = 设EC 与平面PAB 所成角为θ，∵31,0,2EC ??=--

??

?，2233,1,n ?= ?

， ∴

233233

sin cos ,13

13

94

1341443

23

EC n θ--==

=

=++?. 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的性质，线面垂直的判定，应用空间向量解决二面角的问题，线面角的求法，属于简单题目.

21.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点为1A ，右焦点为2F ，过2F 作垂直于x 轴的直线

交该椭圆于M ，N 两点，直线1A M 的斜率为

1

2

.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若1A MN ?的外接圆在M 处的切线与椭圆交另一点于D ，且2F MD ?的面积为127

，求椭圆的方程.

【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）22

11612

x y +=.

【解析】 【分析】

（Ⅰ）先求出左顶点为1A ，右焦点为2F 的坐标，由题意求出M 的坐标，由斜率公式，根据直线1A M 的斜率为

1

2

，这样可以求出椭圆的离心率； （Ⅱ）由（Ⅰ）,可设出22

22143x y c c +=，设1A MN ?的外接圆的圆心坐标为(,0)T t ，由

1||||TA TM =，得2229(2)()4t c t c c +=-+，求得8

c

t =-，求得切线方程，代入椭圆方程，

求出MD ,利用点到直线距离和三角形面积公式，代入可求出，求出c 的值，求得椭圆方程. 【详解】（Ⅰ）由题意可知：12(,0),(,0)A a F c -，设(,)M x y ，由题意可知：M 在第一象限，且

2

2

221

x c

x y a

b =???+=??， 2

,b M c a ??∴ ???，222

1()2

b a

c a c a a c a a c a --∴===++，2a c ∴=12c e a ∴==； （Ⅱ）由（Ⅰ）, 22222243b a c c c c =-=-=，，所以椭圆方程为：

2212231,,,(2,0)432x y M c c A c c c ??

+=- ???，设1A MN ?的外接圆的圆心坐标为(,0)T t ，由1||||TA TM =，得2229(2)()4t c t c c +=-+，求得8

c

t =-，3

4238

TM

c

k c c ∴==+，切线斜率为：34k =-，切线直线方程为33

()24

y c x c -=--，即3490x y c +-=代入椭圆方程中,得

22718110x cx c -+=，2222184711160c c c ?=-??=>，1115,714

D D c c

x y =

=，

5||7c MD ∴=

=， 2F 到直线MD 的距离|39|655c c c d -=

=，2F MD ?的面积为1

||2

S MD d =?，所以有 212156372757c c c =??=，2

4c ∴=，椭圆方程为：2211612

x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，考查了直线与椭圆的位置关系，圆的切线性质，考查了数学运算能力.

22.已知函数()x

f x e ax b =++，曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程为

20ex y --=.

（1）求函数()f x 的解析式，并证明：()1f x x ≥-.

（2）已知()2g x kx =-，且函数()f x 与函数()g x 的图象交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，且线段AB 的中点为()00,P x y ，证明：()()001f x g y <<. 【答案】（1）()2x

f x e =-，证明见解析； （2）证明见解析.

【解析】 【分析】

（1）利用切线方程可求得()f x 的解析式，令()()11x

h x f x x e x =-+=--，利用导数可

求得()()00h x h ≥=，从而证得结论；（2）通过分析法可知要证()()001f x g y <<成立只需证21

21212

21112x x x x x x e e x x e

----+<<-；令210t x x =->，即证：2112

t t t

e e e t -+<<；令()2

2

t

t F t e e

t -

=--，利用导数研究()F t 单调性，可知()()00F t F >=，得到2

1

t t e e t

-<成立；令()112t t e t

G t e -=-+，利用导数研究()G t 单调性，可知()()00G t G <=，得到

11

2

t t e e t -+<

成立，可知需证的不等式成立，则原不等式成立.

【详解】（1）由题意得：()12f e a b e =++=-，即2a b +=- 又()x

f x e a '=+，即()1f e a e '=+=，则0a =，解得：2b =-

则()2x

f x e =-.

令()()11x

h x f x x e x =-+=--，()1x

h x e '=-

令()0h x '=，解得：0x =

则函数()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增

()()00h x h ∴≥=，则：()1f x x ≥-

（2）要证()()001f x g y <<成立，只需证：1212x 2

4

222

x x x e e e

k ++--<-<

即证12

12

2

2x x x x e k e e

++<<

，即：112

2122212x

x x x x x e e e x e e x +-+<<- 只需证：21

21212

21112

x x x x x x e e x x e

----+<<- 设210t x x =->，即证：2

11

2

t

t t e e e t -+<<

要证2

1

t t e e t

-<，只需证：22t t e e t -->

令()2

2

t t F t e e

t -

=--，则()2

2

1102t t

F t e e -??'=+-> ???

()F t ∴在()0,∞+上为增函数

()()00F t F ∴>=，即2

1

t

t e e t -<成立；

要证112t t e e t -+<，只需证明：112

t t e t e -<+

令()112t

t e t G t e -=-+，则()()()()

()()2

2

222411*********t t

t

t

t t t

e e e e G t e e e -+--'=-==<+++