高中数学讲义 特殊值法解决二项式展开系数问题
微专题83 特殊值法解决二项式展开系数问题
一、基础知识：
1、含变量的恒等式：是指无论变量在已知范围内取何值，均可使等式成立。所以通常可对变量赋予特殊值得到一些特殊的等式或性质
2、二项式展开式与原二项式呈恒等关系，所以可通过对变量赋特殊值得到有关系数（或二项式系数）的等式
3、常用赋值举例：
（1）设()011222n
n n n r n r r n n
n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ， ①令1a b ==，可得：012n n n n n C C C =+++L
②令1,1a b ==-，可得： ()0
1
2
3
01n
n
n n n n n C C C C C =-+-+-L ，即：
02131n n n n n n n n C C C C C C -+++=+++L L （假设n 为偶数），再结合①可得： 0213112n n n n n n n n n C C C C C C --+++=+++=L L
（2）设()()2
01221n
n
n f x x a a x a x a x =+=++++L
① 令1x =，则有：()()0122111n
n a a a a f ++++=?+=L ，即展开式系数和 ② 令0x =，则有：()()02010n
a f =?+=，即常数项
③ 令1x =-，设n 为偶数，则有：()()01231211n
n a a a a a f -+-++=-?+=-L ()()()021311n n a a a a a a f -?+++-+++=-L L ，即偶次项系数和与奇次项系数和的差
由①③即可求出()02n a a a +++L 和()131n a a a -+++L 的值 二、典型例题：
例1：已知()8
28
012831x a a x a x a x -=++++L ，则1357a a a a +++的值为________
思路：观察发现展开式中奇数项对应的x 指数幂为奇数，所以考虑令1,1x x ==-，则偶数项相同，奇数项相反，两式相减即可得到1357a a a a +++的值
解：令1x =可得：8
0182a a a =+++L ①
令1x =-可得：8
01284a a a a =-+-+L ②
①-②可得：()881357242a a a a -=+++
()8
813571242
a a a a ∴+++=
- 答案：()8
81242
- 例
2：已知
()()()()()
9
2
11
2
0121112111x
x a a x a x a x +-=+-+-++-L ，则
1211a a a +++L 的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 255
D. 2-
思路：本题虽然恒等式左侧复杂，但仍然可通过对x 赋予特殊值得到系数的关系式，观察所求式子特点可令2x =，得到01110a a a +++=L ，只需再求出0a 即可。令1x =可得02a =-，所以12112a a a +++=L 答案：B
例3：设(
4
234012342x a a x a x a x a x +=++++，则()()22
02413a a a a a ++-+的值为
（ ）
A. 16
B. 16-
C. 1
D. 1-
思路：所求()()()()2
2
024130123401234a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++-+-+，在
恒等式中令1x =可得：(
4
012342a a a a a ++++=+
，令1x =-时
(4
012342a a a a a -+-+=-，所
以
()()((
4
4
2
2
024132216a a a a a ++-+=+-=
答案：A
例4：若()5
2
3
4
5
01234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345
a a a a a a +++++等于（ ）
A. 5
5 B. 1- C. 52 D. 5
2-
思路：虽然()523x -展开式的系数有正有负，但()523x -与()5
23x +对应系数的绝对值相同，且()523x +均为正数。所以只需计算()5
23x +展开的系数和即可。令1x =，可得系数和为5
5，
所以50123455a a a a a a +++++= 答案：A 例
5
：
若
()
2014
2014
01201412x a a x a x -=+++L ，则
()()()010202014a a a a a a ++++++=L __________
思路：所求表达式可变形为：()00120142013a a a a ++++L ，从而只需求出0a 和系数和即可。令0x =可得：01a =，令1x =可得：0120141a a a +++=L ，所以
()001201420132014a a a a ++++=L
答案：2014 例
6：若()262
2020n n C C n N ++=∈，且
()
20122n
n n x a a x a x a x -=++++L ，则
()0121n
n a a a a -+-+-L 等于（ ）
A. 81
B. 27
C. 243
D. 729 思路：由26
2
20
20n n C C ++=可得262n n +=+或()()26220n n +++=，解得4n =，所求表达
式只需令1x =-，可得()()4
4012412181a a a a -+-+-=--=????L 答案：A 例
7
：
若
()
()
2013
22013012201321x a a x a x a x x R -=++++∈L ，则
232013
232013111
12222a a a a a a ++++=L （ ） A. 12013-
B. 12013
C. 14026-
D. 1
4026
思路：所求表达式中的项呈现2的指数幂递增的特点，与恒等式联系可发现令1
2
x =，可得：
22013012201310222a a a a ++++=L ，令0x =可得：01a =-，所以220131
22013
1222
a a a ++=-L ，所以所求表达式变形为：
111
111122a a a ??+-= ???，而()()20121
12013214026a x C x x =??-=，所以14026a =，从而表达式的值为
1
4026
答案：D
例8：已知
()()
()2
01111n
n
n x x x a a x a x ++++++=+++L L ，若
12129n a a a n -+++=-L ，则n 的值为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6 思路：在恒等式中令1x =可得系数和()20122122221
n n n a a a -+++=+++=
-L L ，与条
件联系可考虑先求出0,n a a ，令0x =，可得0a n =，展开式中n a 为最高次项系数，所以1n a =，
1121221n n a a a n +-∴+++=---L ，所以122129n n n +---=-，即1232n +=，解得
4n =
答案：B
例9：若()5
2345
01234523x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345
2345a a a a a a +++++的值是（ ）
A. 10
B. 20
C. 233
D. 233-
思路：观察所求式子中i a 项的系数刚好与二项展开式中i a 所在项的次数一致，可联想到幂函数求导：()'
1
n n x
nx
-=，从而设()()5
23f x x =-，恒等式两边求导再令1x =可解得
123452345a a a a a ++++的值，再在原恒等式中令0x =计算出0a 即可
解：设()()5
2
3
4
5
01234523f x x a a x a x a x a x a x =-=+++++
()()4
'2341234552322345f x x a a x a x a x a x ∴=-?=++++
令1x =可得：12345102345a a a a a =++++
而在()5
2345
01234523x a a x a x a x a x a x -=+++++中，令0x =可得：503243a =-=-
0123452345233a a a a a a ∴+++++=-
答案：D
例10：若等式()
2014
22014012201421x a a x a x a x -=++++L 对于一切实数x 都成立，则
0122014111232015a a a a ++++=L （ ）
A. 14030
B. 12015
C. 22015
D. 0
思路：从所求表达式项的系数与展开式对应项联系起来可联想到在恒等式中两边同取不定积
分。例如：'''
22311122111,,,231n n n n a x a x a x a x a x a x n +??????
=== ? ? ?+??????
L ，再利用赋值法令
1x =即可得到所求表达式的值
解：()
2014
22014012201421x a a x a x a x -=++++L ，两边同取不定积分可得：
()2015
23201501220141111214030232015
x C a x a x a x a x -+=++++
L 令1x =可得：01220141111
4030232015C a a a a +=++++L
令0x =可得：11
040304030
C C -+=?=
01220141111
2320152015a a a a ∴++++=
L 答案：B
小炼有话说：
（1）本题可与例9作一个对照，都是对二项展开的恒等式进行等价变换。是求导还是取不定积分是由所求表达式项的系数与展开式系数对照所确定的。 （2）在取不定积分时，本题有两个细节，一个是寻找()
2014
21y x =-的原函数，要注意其原
函数求导时涉及复合函数求导，所以系数要进行调整。此类问题多是先猜函数的原型，再通过对所猜函数求导后与已知比较，调整系数；第二个是在求原函数时，要注意添加常数“C ”，再利用赋值法求出C 的值即可