中国石油大学(华东)概率论2011-2012期末考试卷问题详解及评分实用标准化

Ａ卷

2011—2012学年第一学期

《概率论与数理统计》试卷

专业班级

姓名

学号

开课系室基础数学系

考试日期2012年1月3号

页码一二三四五六七总分满分20 15 10 20 12 13 10 100 得分

阅卷人

备注：1．本试卷正文共7页；

2．封面及题目所在页背面和附页为草稿纸；

3．答案必须写在该题后的横线上或指定的括号，解的过程写在下方空白处，不得写

在草稿纸中，否则答案无效；

4．最后附页不得私自撕下，否则作废.

5．可能用到的数值(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975

Φ=

一、填空题（每空1分，共10分）

1.设()0.4,()0.7P A P A B ==，那么若,A B 互不相容，则

()P B = 0.3 ；若,A B 相互独立，则()P B = 0.5 .

2.设事件,A B 满足：1(|)(|)3P B A P B A ==，1()3P A =，则()P B =__5/9___.

3.某盒中有10件产品，其中4件次品，今从盒中取三次产品，一次取一件，不放回，则第三次取得正品的概率为 0.6 ；第三次才取得正品的概率为 0.1 .

4.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间[0,3]上的均匀分布,则

{max(,)2}P X Y ≤= 4/9 .

5.一批产品的次品率为0.1，从中任取5件产品，则所取产品中的次品数的数学期望为 0.5 ，均方差为

6.设总体12~(),,,,n X P X X X λ为来自X 的一个简单随机样本，X 为样本均

值

，则EX = λ ，DX =

n

λ

. 二、选择题(每题2分，共10分)

1.设(),(),()P A a P B b P A B c ==?=，则()P AB 等于( B ).

(A) a b - (B) c b - (C) (1)a b - (D) b a - 2.设随机变量X 的概率密度为()f x ，且()()f x f x -=，()F x 是X 的分布函数，则 对任意实数a 有( B ).

(A)0()1()a

F a f x dx -=-? (B)0

1()()2

a

F a f x dx -=-?

(C)()()F a F a -= (D)()2()1F a F a -=- 3.设6)(),1,2(~),9,2(~=XY E N Y N X ，则)(Y X D -之值为( B ).

(A) 14 (B) 6 (C) 12 (D) 4

4.设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有)10|(|<-EX X P ( C ). (A) 2

5.0≤ (B) 75.0≤ (C) 75.0≥ (D)25.0≥ 5.维纳过程是( A ).

(A)连续型随机过程 (B)连续型随机序列 (C)离散型随机过程 (D)离散型随机序列

三、计算题(共6个题目，共45分)

1.(10分)设有相同的甲、乙两箱装有同类产品.甲箱装50只 其中10只正品；乙箱装20只，10只正品.今随机选一箱，从

中抽取1只产品，求：(1)取到的产品是次品的概率；(2)若已知取到的产品是正品，它来自甲箱的概率是多少？

解：设12;A A 分为来自甲乙箱；B 为正品

（1）14113

()()25220

P B =+=

（5分） （2）112

5

1()2/77/20

P A B ?=

= （10分） 2.(5分)已知某种电子元件的寿命X （以小时计）服从参数为1/1000的指数分布.

某台电子仪器装有5只这种元件，这5只元件中任一只损坏时仪器即停止工作，则仪器能正常工作1000小时以上的概率为多少？

解：11000

111000

1000{1000}x P X e dx e +∞

--≥==? （4分）

于是，由独立性仪器正常1000小时以上的概率为

5e - （5分）

3.(5分)设粒子按平均率为每分钟4个的泊松过程到达某计 数数器,()N t 表示在[0,]t 到达计数器的粒子个数,试求： (1)()N t 的均值、方差、自相关函数； (2)相邻的两个粒子到达计数器的平均时间间隔.

解：()4;()4;()()164min{,}EN t t DN t t EN s N t st s t ===+ （各一分，共三分） （2）平均间隔为1/4分钟 （5分）

4.(5分)设总体2

~(,)

X Nμσ的方差为1，根据来自X的容量为100的样本，测得样本均值X为5，求μ的置信度为0.95的置信区间(写出过程).

解：由题知

~(0,1)

N（2分）

于是由

0.9751.96

U=知置信区间为（4.804,5.196）（5分）

5.(10分)一质点在1、2、3三个点上做随机游动，其中1、 3是两个反射壁，当质点位于2时，下一时刻处于1、2、3是 等可能的.规定每个时刻质点只走一步，用,0n X n ≥表示第n 个时刻质点所处的位置，初始分布为

()1(0),1,2,33

P X i i ===.

求：(1)一步转移概率矩阵和二步转移概率矩阵； (2){}(0)1,(1)2,(2)3P X X X ===； (3){}(2)2P X =.

解：（1）一步转移阵0101/31/31/3010?? ? ? ???；二步转移阵1/31/31/31/97/91/11/31/31/3??

?

? ???

（4分）

（2）原式=11

331

19

??=

（7分） （3）原式=7111

3393

13()27

++= （10分）

6.(10分)设随机变量X 的概率密度为??

?<<=，其他

，02)(b

x a x x f ，且12=EX .

求：(1)b a ,的值；(2)}1{

解：由2212b a

xdx b a ==-?；2344

1212()b

a

EX x dx b a ===-?

解得

a b =

=

（6分）

（2）原式

=11/2xdx = （10分）

四、（12分）设随机向量(,)X Y 的概率密度为 (2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+?>>=??其他

求: (1)常数A ； (2)关于X Y 、的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立；

(3)2Z

X Y =+的概率密度.

解：（1）(2)0

01/2;2x y Ae A A +∞+∞

-+=

=∴=??

（2分）

（2）

(2)

2(2)0

0()20

020()20

x x y X y

x y Y e x f x e

dy x e

y f y e dx y -+∞

-+-+∞-+?≥==?

显然，独立 （8分）

（3）

(2)

210

()200

0()0

z z

x y Z x y z

z

Z e ze z F z e

dxdy z ze

z f z z ---++≤-?--≥==?

?≥=?

（12分）

五、（13分）已知分子运动的速度X具有概率密度

2

2()

,0,0,

()

0,0.

x

x

f x

x

αα

-

?

>>

=

≤

?

123

,,,,

n

X X X X为X的简单随机样本,求：

(1)未知参数α的矩估计和极大似然估计；

(2)验证所求得的矩估计是否为α的无偏估计.

解：（1

）2

3

()

x

EX dx X

α

+∞-

===

?

?

2

X

α

∴=（5分）

2

12

1

1232()(,)(4)n

i i X n

n i i L f x x e

αααπα=-

-

-∑=∏=∏

22

1

1

ln 3ln ln(^^^n

i

i L n X

ααα

==--

+∑不含） 2

3

1

32

ln /0n

i

i n

d L d X

αα

α

==-

+

=∑

?MLE α

= (10分) （2

）?2

E E X αα==

= 无偏 （13分）

六、（10分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，

假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都 是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数.求X 的分布律、分布函数、

数学期望和方差.

解：由题知，2

5

~(3,)X B

分布律33235

5{}()();;;;0,1,2,3k k k

P X k C k -=== （4分） 分布函数

2712581

125117125

001()12231

3x x F x x x x

6/5;18/25EX np DX npq ==== （10分）