随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律

第五章随时间变化的电磁场麦克斯韦方程

研究问题：随时间变化的电磁场的基本性质和运动规律。

§5.1 电磁感应现象与电磁感应定律

一、电磁感应现象

1、电磁感应现象的发现：

（1） 1820年，奥斯特发现电流的磁效应，引起了相反方向的探索；

（2） 1831年，法拉第经十年艰苦探索，发现了电磁感应现象——磁的电效应仅在某种东西正在变动的时刻才发生。

2、基本实验事实：

（1）闭合的导线回路和永久磁铁之间发生相对运动时，回路中出现电流。感应电流的大小取决于磁铁运动的快慢，感应电流的方向与

磁铁移动的方向有关；

（2）闭合的导线回路与载流线圈之间发生相对运动时，结果相同；

（3）两个线圈都固定，其中一个线圈中的电流发生变化时（闭合电键的开关、电阻值的变化），在另一个线圈中引起感应电流；

（4）处在磁场中的闭合导线回路中的一部分导体在磁场中运动，回路中产生感应电流，感应电流的大小和方向取决于导线运动的速度

大小和方向。

3、分类：

（1）导线回路或回路上的部分导体在恒定不变的磁场（磁铁或电流产生）中运动，回路中出现电流；

（2）固定不动的闭合导线回路所在处或其附近的磁场发生变化，回路中出现电流。

4、共同特点：感应电流的产生是由于通过闭合导线回路的磁感应强度

通量发生变化。引起磁感应强度通量变化的原因可以是磁感应强度的

变化，也可以是由于导体在稳定的磁场中运动引起。

二、法拉第电磁感应定律

1、法拉第的研究发现：

（1）在相同条件下，不同金属导体中的感应电流与导体的导电能力成正比；

（2）感应电流是由与导体性质无关的电动势产生的；

（3）即使不形成闭合回路，也会有电动势存在——感应电动势。

（4） 结论：对于给定的导线回路，感应电流与感应电动势成正比。电

磁感应现象就是磁感应通量的变化在回路中产生感应电动势的现

象——电磁感应现象的本质。

（5） 德国物理学家纽曼和韦伯的工作结论：对于任一给定回路，其中

感应电动势的大小正比于回路所圈围面积的磁通量的变化率。

2、 楞次定律：

（1） 内容：闭合回路中感应电流的方向，总是企图使感应电流产生的

磁场去阻止引起感应电流的磁通量的变化。

（2） 感应电流是在感应电动势作用下产生的，因此楞次定律给出了感

应电动势的方向。

（3） 楞次定律与能量守恒定律一致。

（4） 楞次定律含有惯性意义。自然界一切现象的变化，均系由一种稳

态至另一种稳态，中间必须经过一暂态。通过闭合回路的磁通量

一旦发生变化，即有惯性显示，惯性反对磁通量的变化。

3、 法拉第电磁感应定律

（1） 内容：不论何种原因使通过回路的磁通量发生变化，回路中产生

的感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比。

（2） 表达式： dt

d m Φ-=ε （负号表明感应电动势的方向与磁通量变化率的方向相反——楞次定律的数学表述）

（3） 若回路由N 匝线圈组成， dt d N

m Φ-=ε 三、 例题

例题1：矩形闭合导线回路放在均匀垂直磁场中，一条边以速度v 滑动，求回路

中的感应电动势。

Blv -=ε

例题2：无限长直导线中通有变化电流，同一平面内有矩形导线框。求导线框中

的感应电动势。 R

b R aJ +-=ln 200πμε 思考题：P281 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6

计算题：P283 5-1 5-2

---------------------------------------------------------------------

§5.2 电磁感应现象的物理实质

问题：对应于感应电动势的非静电力的起源是什么？

分析：??

??????载流线圈中电流的变化磁铁或载流线圈的运动磁场变化导体固定部分导体运动导体回路或回路上的一磁场不变磁通量的变化,, 一、 动生电动势

1、对应情况：

（1） 磁场不随时间变化，导体运动。

（2） 非静电力的起源是磁场作用于运动电荷的洛伦兹力 B v q F ?=

2、动生电动势

（1） 非静电性场 ：B v E K ?=* 其大小和方向均等于单位正电荷所受

到的洛伦兹力。

（2） 动生电动势 d B v d E K ??=?=??*)(ε

（3） 导线构成闭合回路时，动生电动势将在电路中引起电流；如果回

路不闭合，不存在电流，但运动导体中动生电动势依然存在。

（4） 任意形状的回路在任意分布的恒定磁场中运动时， dt

d d B v m Φ-=??? )( （5） 动生电动势提供能量的来源：外力所作的功。洛伦兹力使电荷定

向运动形成电流；导体中一旦形成电流，载流子相对导体的漂移

运动又引起另一洛伦兹力，宏观上表现为磁场对载流导体的安培

力，它将阻碍导体在磁场中的运动。因此，要保持导体在磁场中

的运动，反抗安培力的外力必作正功，而两个洛伦兹力作的总功

为零。

3、例题：匀强磁场中，一直导线垂直磁场绕一端点旋转。求动生电动势。 22

1BL ωε= （应用动生电动势定义或法拉第电磁感应定律均可求解）

思考题：P281 5-5 5-7

计算题：P283 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-8 5-9 5-10 5-11 5-12 5-13

二、 感生电场及其性质

1、对应情况：导线回路固定不动，由于磁场的变化在回路中产生感应电动

势。非静电力的起源为感应电场对运动电荷的作用力。

2、感应电场

（1） 麦克斯韦假设：除了电荷产生电场外，变化的磁场也产生电场。

大量实验证明了麦克斯韦假设的正确性。

（2） 变化磁场产生的电场称为感应电场。

3、感生电动势

（1） 由感应电场产生的感生电动势 ??=C K d E ε

（2） 法拉第电磁感应定律 S d t

B d E S

C K ???-=??? 感应电场对任意闭合路径的线积分取决于磁感应强度的变化率对这一闭合路径所

圈围面积的通量。——感应电场是有旋场。

（3） 感应电场与静电场的区别和联系——

??????????

??????????? ???????=????-=?=?=????????????????力同点是都对电荷有作用静电场和感应电场的共联系感应电场静电场场方程电力线为涡旋线感应电场是无源有旋场电力线不闭合静电场是有源无旋场性质发感应电场由变化磁场激发静电场是由静止电荷激产生电场的场源区别:0,/,0,,0S K L K S L S d E S d t B d E q S d E d E ε 4、涡电流

（1） 涡电流：大块金属内部的自由电子在涡旋电场作用下形成涡电流。

涡电流一般非常大，产生大量的焦耳热。

（2） 有害之处在于造成能量的损耗（如变压器、电机等设备中铁芯的

涡流损耗）；

（3） 可利用之处是热效应（如感应电炉）、机械效应（电磁阻尼）。

5、例题：

例题1：无限长圆柱形区域内充满均匀且随时间变化的磁场，方向与轴线平

行，求空间各点的电场强度 ?????>+≤+=))(sin(2

1)

)(sin(21200a r t r a B a r t r B E αωωαωω 例题2：金属棒置于垂直磁场平面内，圆形区域中心到棒的距离为h ，磁场

均匀且随时间变化，求棒的电动势 dt

dB hL 21=ε 三、 两种电动势的统一认识

1、感生电动势和动生电动势的非静电起源的作用完全不同，但两种现象都

服从统一的法拉第电磁感应定律。

2、普遍情况

（1） 当导体在随时间变化的磁场中运动时，变化的磁场产生感应电场

以及磁场对运动电荷的洛伦兹力同时存在。感应电动势为 ???+=C K d B v E )(ε

（2） 当空间同时存在静止电荷产生的无旋电场和变化磁场产生涡旋的

感应电场时，任一点电场为两种电场的叠加

S K E E E += 电场仍满足 S d t

B d E S

C K ???-=??? 3、两种电动势的相对意义：

磁场的场源和闭合导体回路的静止和运动都是相对于观察者或实验室

参考系而言的。对于一个给定的参考系，动生电动势和感生电动势是两种独立的现象。（注意：场的运动与场源的运动不等价，场一旦被场源激发，就是独立于场源的客观实体，不论相对什么参考系，它在真空中总是以光速运动的）

4、感应电场中，电场强度的线积分与路径有关。在感应电场存在的空间，

任意两点间的电势差或电压无意义，但有时把两点间沿给定路径的场强

线积分定义为两点间的电压 ??=21

d E U ——与静电场的重要区别。 思考题：P281 5-8 5-9 5-10 5-11 5-125-13 5-14 5-15 5-16

计算题：P286 5-13 5-14 5-15 5-46 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21 5-22

--------------------------------------------------------------------- §5.3 互感与自感

一、 互感现象与互感系数

1、互感现象：当一个回路中的电流发生变化或回路位移时，在邻近的另一

回路中所产生的磁通量将发生变化，因而在该回路中产生感应电动势和感应电流。

2、互感系数：

（1） 磁通匝链数：21212I M =ψ 12121I M =ψ

（2） 互感系数：M 12= M 21= M 。如无铁磁性介质存在，由两个回路的几

何形状、相对位置以及周围磁介质的性质决定而与电流无关；如

有铁磁性介质存在，则与电流大小有关。

（3） 互感系数的单位：亨利 （1H=1V ·s/A ）

3、互感电动势：一个回路中的电流变化在另一个回路中产生的感应电动势

dt

dI M dt dI M dt d dt dI M dt dI M dt d 2

221212122121212-=-=ψ-=-=-=ψ-

=εε 4、互感系数的计算

（1） 利用磁通量计算 1222121211S d B I I M S ?=ψ=

? （可正可负） （2） 利用互感电动势计算 dt dI M 212

12ε=

（3） 例题：螺绕环上两组线圈之间的互感系数 l S N N M 210μ=

思考题：P282 5-18 5-21

计算题：P288 5-23 5-25

二、自感现象与自感系数 1、自感现象：由于回路中电流产生的磁通量发生变化，而在自己回路中激

起感应电动势。

2、自感系数：

（1） 回路电流产生磁场通过回路本身的磁通量与电流成正比LI =Φ

（2） 真空中自感系数的量值仅决定于回路的几何形状而与所通电流的

大小无关；若存在磁介质，则L 决定于回路的几何形状、周围介

质的性质；若存在铁磁介质，则还与电流的大小有关。

（3） 自感系数的单位与互感系数相同：亨利 （1H=1V ·s/A ）

3、自感电动势： )(dt

dL I dt dI L dt d +-=Φ-=ε。 当回路的L 保持不变时，dt dI L

-=ε 4、自感系数的意义：自感电动势有阻碍回路中电流变化的作用，自感系数

的大小反映了一个回路保持其中电流不变的本领的大小——自感系数可以作为电路“惯性”大小的量度。

5、自感系数的计算：

（1） 利用磁通量计算 I

L ψ= （2） 利用自感电动势计算 dt dI L ε

-=

（3） 例题：计算长螺线管的自感系数 V n L 20μ=

三、线圈的耦合

1、线圈耦合的互感与自感的关系 21L L K M ±=

正负取决于两个线圈参考方向的选择。当K=1时，两线圈为理想耦合，无漏磁。

2、自感与互感现象的实例：

（1） 利用线圈具有阻碍电流变化的特点，可以稳定电路中的电流——

无线电设备中常用电感和电容器的组合构成谐振电路或滤波器。

（2） 通过互感线圈能够使能量或信号从一个线圈传到另一个线圈——

电力传输中各种各样的变压器都是互感器件。

（3） 有害现象：含有自感系数很大的线圈在断开时产生很大的自感电

动势，以致击穿线圈本身的绝缘保护，或产生强烈的电弧，烧坏

开关。有线电话会由于互感而引起串音。无线电设备中会由于导

线间或器件间的互感而妨害正常工作。

例题：求两个串联线圈的自感系数 M L L L 221++=

思考题：P283 5-17 5-19 5-21

计算题：P289 5-29 5-30

----------------------------------------------------------------------

§5.4 LR 电路中的暂态过程 磁场的能量

一、 似稳电流 可变电流的电路方程

1、欧姆定律的微分形式：

（1） 欧姆定律的微分形式对非稳恒电流仍然成立。

（2） )(K E E E j K S ++==γγ

（3） 总场强由静电性质的无旋场（E S ）、变化磁场产生的感应电场（E K ）

——涡旋场以及可能存在的由于物理化学性质不均匀等非电磁学

原因产生的非静电起因的等效场（K ）叠加而成。

2、似稳场：

（1） 电场和磁场以有限速度传播，空间各点的场由不同时刻场源的电

荷电流所激发；

（2） 一定时间内，场源变化很小时，电路上各点的电场和磁场可以认

为与同一时刻的场源分布相对应——几乎同时随场源的变化而变

化，每一时刻的场源与场分布等效于一个稳恒的场源与场分布，

不同时刻的场源与场分布对应不同的稳恒场源和场分布。

（3） 似稳场：变化缓慢的电、磁场在任何时刻的分布可看作一稳恒场。

3、似稳电流

（1） 在似稳场作用下形成的电流称为似稳电流。

（2） 条件： T t <<0 场在电路上相距最远两点间传播所需的时间远

小于场随时间变化的周期。

（3） 常用50H Z 交流电，T=10-2S ，在一个周期内，传播距离cT=3×106m.

——当电路的线度远小于此时，似稳条件得到满足。

4、可变电流的电路方程式

（1） 似稳电流通过电路中各截面的电流的瞬时值相等，每一时刻可看

作是稳恒电流，有关直流电路的基本概念和电路定律依然有效（场

的计算、场的方程等）。与稳恒电流的区别在于存在趋肤效应，因

而电流密度在导体截面上的分布是不均匀的。

（2） )(K E E E j K S ++==γγ 沿整个可变电流的电路积分，得到电路的

方程为 εε+=L iR

（3） 对于孤立电路， ε+-=dt

di L

iR 二、LR 电路中的暂态过程 1、暂态过程：L 和R 组成的电路，在接通和切断的瞬间，由于自感的作用电

路中的电流并不立即达到稳定值或立即消失，而要经历一段时间，持续一个过程。

2、接通电流变化规律：

（1） )1(t L R e R i --=ε

电流随时间而增长，直至达到最大值

（2） LR 电路的时间常数 τ==R

L t 暂态过程持续时间长短的标志。经历τ时间时，电流达到0.63I 0.只要t>>τ,电流实际已达到稳

定值。

3、断路电流变化规律：

（1） t L R e R i -=ε

回路中电流将持续一定时间才衰减为零。

（2） 衰减快慢仍用时间常数τ表示。

思考题：P283 5-24

计算题：P289 5-31 5-32 5-33 5-34 5-35

三、 可变电流电路中的能量转换 自感能

1、能量转换：接通LR 电路的暂态过程中，

电源作功=电阻消耗能量+克服自感电动势作功

20000202

1LI Lidi dt dt di iL dt Ri idt ===-????∞∞∞∞

ε 建立稳恒电流的过程，就是在空间建立磁场的过程。

2、 自感能：与克服自感电动势相联系的电流的磁能 202

1LI W m = （适用于线圈中无铁磁质的情况） 3、 电流切断时，磁场消失，磁场能量释放出来——切断电路中电源时，放

电电流所消耗焦耳热的来源。 200220022

1LI dt e R I Rdt i t L R ==??∞-∞

4、 利用自感磁能的计算，可求得自感系数。202I W L m =

四、两个载流回路的磁能 互感能

1、能量转换：两个载流回路建立电流的过程中 电源作功=电阻消耗能量+克服自感电动势和互感电动势作功

)2(2

12222112211221211I L I I M I L A A A A ++=++= 2、互感能：

（1） 两个载流回路的总磁能=两线圈的自感磁能+两线圈的互感磁能

)2(2

12222112211I L I I M I L W m ++= （2） 互感能 MI 1I 2与静电学中两个点电荷间的相互作用能量相当；自

感能与点电荷的固有能量相当。自感磁能恒为正值，互感磁能可

正可负，视两线圈的电流的流向而定。

五、真空中磁场的能量 能量密度

1、电流系的磁能是磁场的能量，分布在整个磁场中。

2、磁场的能量密度 2021

B m μ?= （一般是空间位置的函数）

3、任一体积中的磁场能量 ??==dV B dV W m m 2021

μ?

4、两个载流回路磁场的总磁能=两个回路的自感能+两个回路的互感能

????++=dV B B dV B dV B W m 21022021012121

μμμ

5、利用磁场能量，可以求得回路的自感系数和互感系数。

6、实际问题中能量实例：

超导体可产生10T 的磁场，在这样的磁场中，能量密度大约为4×107J/m 3。一个普通的超导体，它的磁场中所储存的能量达到5×105J ，足以煮沸200g 水。自由空间中最强的电场大约是107V/m,能量密度大约为450J/m 3，比强磁

场的能量密度小得多。

思考题：P283 5-22 5-23

计算题：P290 5-36 5-37 5-38 5-39 5-40 5-41 5-42 5-43 ----------------------------------------------------------------------

§5.5 位移电流及其物理实质

一、问题的提出

1、真空中的电磁场方程

（1） 真空中的静电场方程

??=?V S dV S d E ρε01

?=?C

d E 0 —— 静电场是有源无旋场 （2） 真空中稳恒电流磁场方程

?=?S

S d B 0 ???=?S

C S d j d B 0μ ——静磁场是无源有旋场 （3） 真空中磁场随时间变化时的电场方程 ??-=?V S dV S d E ρε1 S d t

B d E

C S ???-=??? ——总电场是有源有旋场 2、问题：

（1） 安培环路定理在非稳恒电流情况下是否依然成立？

对同一闭合路径C ，磁感应强度的线积分有两种可能——

稳恒电流是连续的 ?=?S

S d j 0 非稳恒情况下 ?-=?S dt

dq S d j 例如当电路中插入电容器，电容器充电（放电）的过程中，电路

中有变化的电流，而电容器内部无电流。因此在保持闭合路径C

不变的条件下，所张的曲面在电容器内外对应的电流不相同。

结论：把安培环路定理推广到非稳恒电流的情况时，必须作必要

的修正。

（2） 变化的磁场激发电场，变化的电场能否激发磁场？

奥斯特发现了电流的磁效应，法拉第找到了磁场产生电流的方法，

并得到了电磁感应定律，但并不是磁场产生电流，而是变化的磁

场产生电流。在上述电磁场的基本方程中，电场和磁场仍然是不

对称的。变化的电场没有与变化的磁场相当的地位。

二、 位移电流

1、位移电流假设的提出（1861-1862）：

（1） 麦克斯韦把电场的变化率看作是一种电流，称为位移电流。在传

导电流中断的地方，由位移电流接续。这一假设解决了上述两个

问题。

（2） 位移电流概念的引入：

全电流密度=传导电流密度+位移电流密度 D c t j j j +=

全电流具有闭合性 0)(=?+=???S d j j S d j D S

c S t 2、全电流磁场的安培环路定理 ???+=?S

D c C S d j j l d B )0μ 三、 位移电流的物理实质

1、位移电流密度的表达式

（1）根据电荷守恒定律 )(0S d E dt d dt dq S d j S d j S S D S

C ?-=-=?-=????ε S d t

E S d j S S D ???=???0ε （2）位移电流密度： 等于真空中介电常数与电场强度的变化率的乘积。 t

E j D ??= 0ε 2、非稳恒电流磁场的安培环路定理??????+?=?S S c C S d t

E S d j l d B 000εμμ （1） 磁场的环流不仅取决于通过圈围面积的传导电流，而且与通过该

曲面的电场强度的变化率的通量有关。

（2） 位移电流的意义：变化的电场激发磁场。在随时间变化的磁场中，

不仅传导电流是磁场涡旋的中心，存在电场的场强变化的地方也

是磁场涡旋的中心。

（3） 与电场的相应的方程比较 S d t

B d E

C S ???-=???，形式相似，所不同的是变化的磁场与其伴随的电场构成左手螺旋，而变化的电场

与其伴随的磁场构成右手螺旋。

思考题：P283 5-24 5-25

计算题：P291 5-44 5-45 5-46 5-47

--------------------------------------------------------------------- §5.6 真空中的麦克斯韦方程组 电磁波

一、 麦克斯韦方程的积分形式

1、 电磁场的基本方程组 ??=?V S dV S d E ρε01 ------（1）

S d t B d E C S ???-=??? ------（2）

?=?S

S d B 0 ------（3） ??????+?=?S S c C S d t E S d j l d B 000εμμ-----（4）

2、各方程物理意义的分析：

（1） 反映电荷以发散的方式激发电场，这样的电场是有源场。在库仑

定律的基础上导出，原只适用于静电场，麦克斯韦将其推广到变

化的电场。

（2） 变化的磁场必伴随着电场，而变化的磁场是涡旋电场的涡旋中心。

来源于法拉第电磁感应定律，是普遍的结论。

（3） 反映自然界不存在磁荷的事实。麦克斯韦将稳恒磁场中得到的结

论推广到变化的磁场中。

（4） 反映传导电流和变化的电场都是磁场的涡旋中心，同时也表明变

化的电场必伴随磁场。起源于稳恒磁场的安培环路定理，加上位

移电流假设后，适用于随时间变化的电流和磁场。

3、当场矢量不随时间变化时，方程组分成两组独立的方程：静电场基本方

程和稳恒电流磁场的基本方程。

4、场方程式不对称的原因是自然界存在电荷，却不存在磁荷。

二、 电磁波

1、电场与磁场的传播：麦克斯韦方程组体现了磁场变化伴随着涡旋电场，

电场变化伴随着涡旋磁场的交替过程——电场和磁场可以脱离电荷和电流单独存在，相互激发，不可分割地联系在一起，并以确定的速度传播。

2、真空中的平面电磁波

（1） 自由空间（不存在电荷和传导电流的真空）中的麦克斯韦方程：

?=?S S d E 0 ?=?S

S d B 0

S d t B d E C S ???-=??? ?????=?S C S d t E l d B 00εμ

（2） 平面波：场量只随Z 变化，Z 为恒量的平面是场矢量的等值面。

（3） 平面波表达式 )

c o s (),()c o s (),(B m E m kz t B t z B kz t E t z E φωφω+-=+-= 3、平面电磁波的性质：

（1） 平面电磁波是横波，电矢量和磁矢量都与传播方向垂直；

（2） 电矢量和磁矢量互相垂直，且与传播方向构成右手螺旋；

（3） 电矢量和磁矢量的相位相同，大小成正比，E=CB ；

（4） 电磁波在真空中传播的速度等于真空中的光速。

4、麦克斯韦方程组预言了电磁波的存在，四年后，赫兹通过实验产生电磁

波，测得了电磁波的传播速度和电磁波的性质，证实了麦克斯韦的预言。 ------------------------------------------------------------------------------------------------------- §5.7 电磁场的能量

一、电磁场的能量 能量密度

1、电磁场的能量密度 )1(2120

20B E με?+= 2、电磁场任一体积中的能量 ??+==dV B E dV W V )1(2120

20με? 3、能流密度（坡印延矢量） B E S ?=0

1μ （1） 能流密度矢量的大小等于单位时间内通过垂直于能量传播方向的

单位面积的能量；

（2） 能流密度矢量的方向为电磁波传播的方向。

二、 电磁场的能量转化和守恒：

不存在消耗电磁场能量的机制的区域中，引起电磁场能量变化的唯一原因是有能量通过包围V 的边界面流入或流出。

???=+-=-S V a d S dV B E dt d dt dW )1(2120

20με

——V 内电磁场能量的减少=通过S 面流出的能量

（V 内存在导体时，则有焦耳热损失）

三、平面电磁波的能量密度和能流密度： 2020

20)1(21E B E εμε?=+= ?εμμc E c E c EB S ====2020011

四、 直流电流向负载供应能量的过程分析：

1、忽略电缆本身电阻时

同轴电缆两圆筒之间的电场 r e R R r U E 1

2ln = 方向沿径向 磁场 φπμe r

I B 20= 方向沿圆筒切线 能流密度 z e R R r IU

B E S 12

20ln 21πμ=?=方向沿轴线

由此可知：能流密度分布在两圆筒之间的空间中，沿着电流方向传播，在导线内

部并无能流。单位时间通过电缆横截面的总能量即功率为 IU rdr R R IU rdr S P R R R R ??===21212ln 2212

2πππ——正好等于电源的输出功率。

电源向负载提供的能量，是通过电缆两圆筒间的空间由坡印延矢量传递的。导线引导能量的走向。

2、导体电阻不能忽略时，

两圆柱间的空间 z r E E E +=

能流密度 )(110

0B E B E B E S z r ?+?=?=μμ 一部分能量流向负载，另一部分能量进入导体——变成焦耳热。

思考题：P283 5-26 5-27 5-28

计算题：P292 5-48 5-49 5-50 5-51 5-53 5-55