有趣的数学悖论

一、悖论与数学悖论

悖论：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B 为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。

数学悖论：是指数学领域中有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。数学中有许多著名的悖论，伽利略悖论、贝克莱悖论外，还有康托尔最大基数悖论、布拉里——福蒂最大序数悖论、理查德悖论、基础集合悖论、希帕索斯悖论等。数学史上的危机，指数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。数学史上的三次危机都是由数学悖论引起的

二、数学悖论引发的三次数学危机

第一次数学危机

毕达哥拉斯学派主张“数”是万物的本原、始基，而宇宙中一切现象都可归结为整数或整数之比，人们仅认识到自然数和有理数，有理数理论成为占统治地位的数学规范。公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯（470B.C.前后）发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条，同时也冲击了当时希腊人的普遍见解，因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。希帕索

斯的这一发现，史称“希帕索斯悖论”，从而触发了数学史上的第一次危机。因而推动了亚里士多德的逻辑体系和欧几里德几何体系的建立。

第二次数学危机

牛顿在1671年写的《流数术和无穷级数》提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。1686年，德国的莱布尼茨创设了微积分符号，远远优于牛顿的符号，并推动微分学的发展。英国大主教贝克莱在1734年发表了《分析学者，或致一个不信教的数学家。其中审查现代分析的对象、原则与推断是否比之宗教的神秘与教条，构思更为清楚，或推理更为明显》一书, 说牛顿先认为无穷小量不是零，然后又让它等于零，这违背了背反律，并且所得到的流数实际上是0/0,是“依靠双重错误你得到了虽然不科学却是正确的结果”, 因为错误互相抵偿的缘故, 称之为“贝克莱悖论, 导致了数学史上的第二次危机。

第三次数学危机

经过两次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论成为整个现代数学的逻辑基础。但随后英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素宣布了一条惊人的消息：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为理发师悖论。这在数学和逻辑学界

引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。

小结：历史上三次数学危机的爆发，都是由数学悖论而产生的，可见数学悖论在数学史上的发展与数学文化的建设方面都有着无可替代的作用，正是由于一个个无法解释的数学悖论的产生，引发了一大批数学家与哲学家的思考与奋斗，推动了数学的发展。

三、古希腊数学悖论

1.说谎者悖论

古希腊时代克利特哲学家埃庇米尼得斯曾说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”为什么说这句简单的话有名呢，是因为无法解释这句话，更确切地说无法判断这句话的真假。假设伊壁门尼德斯讲的是真话，那么他的确在撒谎，这与假设不符；假设他说的是假话，那么他没有说谎，即他讲的是真话，又与假设不符。所以这句话是没有解释的。这是不是很有趣呢？

2.芝诺悖论

埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论尤为著名。

二分法悖论是说运动是不可能的，因为物体在到达终点之前必须先到达路程的二分之一，而在到达二分之一之前必须到达路程的四分之一，无穷无尽，甚至运动永远无法开始。

阿基里斯追龟悖论：大家都知道龟兔赛跑的故事吧，那请问大家：

如果距离足够长，比乌龟跑得快的兔子一定能追上乌龟赢得比赛吗吗？设想一下，乌龟在兔子前方100米，兔子的速度是乌龟的10倍，一个时间t内，兔子跑了100米，则乌龟爬了10米，乌龟领先兔子10米；下一个时间t内，兔子跑了10米，而乌龟爬了1米，乌龟又领先兔子1米；依次下去，尽管兔子与乌龟的距离会不断的缩小，但始终乌龟会领先于兔子，那最后的冠军还是乌龟。是不是和大家的认知观不太一样呢，这就是著名的“阿基里斯追龟悖论”（阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄）

飞矢不动悖论：大家可能都射过箭吧，但你们想过箭永远射不到靶上是怎样的吗？箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，那么它在这个过程中有着固定的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别，你还能说它运动了吗？中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。

运动场悖论：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点．它们以相同的速度沿相反方向作运动．芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等。亚里士多德接着指出：“这里错误在于他把一个运动物体经过另一运动物体所花的时间，看做等同于以相同速度经过相同大小的静止物体所花的时间。事实上这两者是不相等的。”

首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）裡，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

□□□□ 观众席A

■■■■ 队列B???向右移动（→）

???? 队列C???向左移动（←）

B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

□□□□

■■■■

????

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的，这就是“运动场悖论”。

3.上帝悖论：

有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声说上帝是无所不能的，什么事都做得到。一位过路人问了一句话：“上帝能创造一块他自己也举不起来的石头吗？”下面我们来证明上帝不是万能的。

证明：假设上帝是万能的，那么上帝能造出一块他自己都举不起来的石头，否则上帝就不是万能的；但是上帝又举不起这块石头，因此上帝不是万能的，这与假设矛盾；所以原假设不成立，即上帝不是万能的。看，如此简单的一个数学悖论就推翻了“上帝是无所不能的”这个命题，让那个教徒不能自圆其说，陷入逻辑的方阵中，那我们现实生活中是不是也能类似的反驳一些不切实际的却又无法证明的命题呢？

4.硬币悖论

硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？

5.预料不到的考试的悖论

一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。”你能说出为什么这场考试无法进行吗？

做一个假设，假设周一考试，在周一早上的八点，在学生的角度接到通知下午一点考试，但老师说过我们无法知道哪一天考试，当然也包括今天，假如通知是真的那我们就知道今天考试了，与老师的话不符，所以通知是假的。依次递推，一直到周五考试也未能完成。

四、古代中国数学悖论

1.惠施的数学悖论

战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）曾说过“日方中方睨，物方生方死”，意思是讲太阳刚升到正中，同时就开始西斜了；一件东西刚生下来，同时又走向死亡了。升与降，生与死，同时出现在同一事物的同一时刻，这难道不是一种悖论吗？他又曾说过，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这是讲一尺之杖，今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半，永

远都不会取完。一个有限的物体，却能无限地分割下去，这当然也是一种自相矛盾的说法。

2.老子的数学悖论

说起老子，大家可能最想问一个问题：老子的道究竟是物质实体抑或是精神实体。“道可道，非常道。名可名，非常名。”但同时他又说，“吾不知其名，字之曰道，强为之名曰大。”这看起来像是辩证关系，但其实它自生就存在着矛盾关系。再看这句，“是谓无状之状，无象之象”与“惚兮恍兮，其中有象﹔恍兮惚兮，其中有物。”那到底是“可名”还是“不可名”，“有象”还是“无象”呢？也许只有老子自己能解释清楚了。

3.庄子的数学悖论

《庄子》中有这样一句话，“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆己。”它的大概意思是这样的，人的生命是有限的，而知识是无穷的，以有限的生命去追求无穷的知识，徒劳而已。很有哲理性的一句话，这算是较早时期提出的有限与无限的概念了。

五、近代经典数学悖论

1.伽利略悖论

一个小圆片固定在大圆片上成同心圆，大圆周沿直线从A（切点）滚到B切点，恰好滚了一圈，所以，AB是大圆周长。但小圆也转了一圈，从C点转到D点。而AB=CD，这么一来，这两个不相等半径的圆的周长岂不一样长了吗？你知道这到底是怎么回事吗？

2.贝克莱悖论

笼统地说，贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一个矛盾。

对于无穷小量所带来的数学本身非逻辑非严谨性的问题,那些曾具体从事微积分研究的数学家们早就有过这样或那样的思考,在他们之间并展开过激烈的讨论和争论。从数学的角度看,如何较好地理解这一问题或许可以被看成一个纯技术性的问题;但是,从文化的角度看,我们又只有从更为广泛的角度去进行考察,特别是密切联系当时在欧洲人生活中占重要地位的基督教文化,才能更好地理解围绕无穷小运算所展开的激烈争论及其内涵。

3.康德的二律背反

康德在《纯粹理性批判》中提出了理性在宇宙论问题上的四组二律背反：

正题：世界在时间上有开端，在空间上有限；反题：世界在时间上和空间上无限。

如果承认宇宙在时间上是无限、没有开端的，那么就等于说到了一个时间点上（比如到目前为止），一段无限的时间序列已经结束了，但这是不可能的，因为“无限”就是没有结束之意，怎能说无限的时间结束了呢？由此看来，时间只能是有限的；另一方面，如果承认时间有限，则等于说，宇宙在时间上有个开端，在此以前宇宙还不存在，这也就等于在开端之前，时间是空的，而在空的绝对时间中是不可能

形成万物和世界的，所以，宇宙在时间上有个开端是不可能的，因此说时间是无限的。空间也是类似的道理。

②正题：世界上的一切都是由单一的东西构成的；反题：没有单一的东西，一切都是复合的。

正题说复合体是由单一的不可分的原子组成，如假设复合体不是由单一的东西构成，则复合体就不成为复合体，因而正题为真；反题认为一切都可分至于无限，没有单一不可分割的东西，其证明是假如复合体由单一的不可分的部分构成，但空间不是由单一的东西构成，它可以分至于无限，故宇宙中占据空间的复合体也可分至于无限。

③正题：世界上有出于自由的原因；反题：没有自由，一切都是依自然法则。

正题假设宇宙中有自由，即认为有超越于因果以外的自由因，其证明是：假如宇宙中只有因果变化，有果必有因，这样就可以推至于无穷，所以必须假设有自由因作为变化的起点。其反题认为宇宙中根本无自由，一切事情都按照自然的因果律而发生，其证明是假如自然界作为一个完整的统一体，有自由，就有一个超越于因果性的自由因，那等于说这个自由因本身不是为其它原因所产生，但是不可能有这样的东西，因为自然中的一切不可能是没有原因的。或者说产生这个自由因这件事本身就是由因果决定的。

④正题：在世界原因的系列里有某种必然的存在体；反题：里边没有必然的东西，在这个系列里，一切都是偶然的。正题说宇宙中有

一个绝对的必然的存在，或者是它的部分，或者是它的原因，其证明是就必然存在来说，假设一系列的原因和条件，从原因推原因，从条件推条件一定有一个必然的存在；反题认为并无必然存在于宇宙内的宇宙主体或存在于宇宙外作为宇宙的原因，其证明是假如有必然的存在，则它成为宇宙的开端或成为构成宇宙的全体，但成为宇宙的开端必须使时间有开端，故不可能；成为宇宙的全体则因宇宙现象由偶然的东西所构成，故也不可能。如认为必然存在于宇宙之外，等于存在于时间之外，这也不可能，因此没有必然的存在。

六、现代数学悖论

1.双生子佯谬

设想有两个孪生兄弟甲和乙，甲乘飞船作太空旅行，乙留在地面等待甲。甲所乘坐的飞船在极短的时间内加速到速度v（速度v接近光速c）。然后飞船以速度v作匀速直线飞行，飞船飞行很长一段时间后，迅速调头并继续以速度v作匀速直线飞行。回到地面时紧急减速、降落，并与一直在地面上的乙会合。甲只在启动、调头、减速降落的三段时间内有加速度，其余的绝大部分时间都在作匀速直线飞行，处于狭义相对论适用的惯性系。太空飞行期间所度过的时间。则当甲作高速太空旅行，返回时会发现乙比甲变老了。如果飞船速度非常接近光速c，相对论效应就会非常明显，如若v = 0.9999c ，则T=70.71τ。即如在这一对孪生兄弟20岁时，甲乘飞船作太空飞行，甲认为飞行时间只有一年，在其返回地面时，甲只有21岁，但他却发现乙却成了90多岁的老人了，亦即乙比甲年老了许多。

但是，以上情形还可以换另一个角度来考察。即对于乘坐太空飞船的甲来说，甲在飞船上静止不动，甲看到乙在极短的时间内朝相反的方向加速到速度v，然后乙以速度v作匀速直线飞行，乙飞行很长一段时间后，迅速调头并继续以速度v作匀速直线飞行，在与甲会合时紧急减速。在甲看来，乙只在启动、调头、减速的三段时间内有加速度，其余的绝大部分时间都在作匀速直线飞行、亦处于狭义相对论适用的惯性系。因此，在甲看来，如果略去乙启动、调头、减速这三段时间（因这三段时间相对很短），在乙离开飞船期间，乙所度过的时间τ与甲所度过的时间T也应存在前述关系（狭义相对论一般将相对于静止系统作匀速直线运动的系统内静止的钟所走过的时间记为τ，称为该系统的原时）这样，在甲乙会面时，甲比乙变老了。即如乙作匀速直线飞行的速度为v = 0.9999c ，在乙飞离甲一年后与甲会面时，乙只有21岁，但他却发现甲却成了90多岁的老人了，亦即甲比乙年老了许多。可见，从不同的角度分析其结论是不同的，而且是相互矛盾的。究竟是乙比甲年老了许多还是甲比乙年老了许多？还是两者都错了，二人应该一样年轻？这个命题就叫做“双生子佯谬”。

2.EPR悖论

爱因斯坦、B.波多尔斯基和N.罗森1935年为论证量子力学的不完备性而提出的一个悖论。又称 EPR论证。EP R 是这三位物理学家姓的头一个字母。这一悖论涉及到如何理解微观物理实在的问题。爱因斯坦等人认为，如果一个物理理论对物理实在的描述是完备的，那

么物理实在的每个要素都必须在其中有它的对应量，即完备性判据。当我们不对体系进行任何干扰，却能确定地预言某个物理量的值时，必定存在着一个物理实在的要素对应于这个物理量，即实在性判据。他们认为，量子力学不满足这些判据，所以是不完备的。

在论证中，爱因斯坦等人设想了一个测量粒子坐标和动量的思想实验，后来D.玻姆把它简化为测量自旋的实验：考虑两个自旋为 1/2的粒子A和B构成的一个体系，在一定的时刻后，使A和B完全分离，不再相互作用。当我们测得 A自旋的某一分量后，根据角动量守恒，就能确定地预言B在相应方向上的自旋值。由于测量方向选取的任意性， B自旋在各个方向上的分量应都能确定地预言。所以他们认为，根据上述实在性判据，就应当断言B自旋在各个方向上的分量同时具有确定的值,都代表物理实在的要素，并且在测量之前就已存在，但量子力学却不允许同时确定地预言自旋的 8个分量值，所以不能认为它提供了对物理实在的完备描述。如果坚持把量子力学看作是完备的,那就必须认为对A的测量可以影响到B的状态，从而导致对某种超距作用的承认。EPR 实在性判据包含着“定域性假设”，即如果测量时两个体系不再相互作用，那么对第一个体系所能做的无论什么事，都不会使第二个体系发生任何实在的变化。人们通常把和这种定域要求相联系的物理实在观称为定域实在论。

总结：希帕索斯、贝克莱、罗素三位杰出的数学家，借助简单而有趣的数学悖论指出了传统数学中的错误与不足，并引发了三次著名的数学危机，同时开创了数学悖论的源头，埃庇米尼得斯无意间的一

句话，引得众人思考。芝诺有趣的四个故事，不断推进数学悖论的发展。而在中国，惠施、老子等等理论家都在数学悖论方面做着积极有力的贡献，一直到现在的

双生子佯谬，数学悖论并没有停下它努力向前的脚步，相反它在众多数学、哲学家们的帮助下不断的完善，修复，它的发展不断完善的人们对客观世界的数学化的认识，不断对浩渺的宇宙做着无尽的探索，也许有一天，在数学悖论接近完备的时候，人类就能站在最高处无比清晰地俯视这客观的世界，又或许，数学悖论的终点，会是一个无穷的尽头