高中数学点到平面距离的若干典型求法汇编(解析版)

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高一数学立体几何练习题及部分标准答案汇编

立体几何试题一．选择题（每题4分，共40分） 1.已知AB//PQ，BC//QR,则∠PQP等于（） A 030 B 030 C 0 150 D 以上结论都不对 2.在空间，下列命题正确的个数为（）（1）有两组对边相等的四边形是平行四边形,（2）四边相等的四边形是菱形（3）平行于同一条直线的两条直线平行;（4）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 A 1 B 2 C 3 D 4 3.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系是（） A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4.已知直线m//平面α，直线n在α内，则m与n的关系为（） A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5.经过平面α外一点，作与α平行的平面，则这样的平面可作（） A 1个或2个 B 0个或1个 C 1个 D 0个 6.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是( ) A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有（）

8.下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9.对于直线m ,n 和平面,αβ,使αβ⊥成立的一个条件是( ) A //,,m n n m βα⊥? B //,,m n n m βα⊥⊥ C ,,m n m n αβα⊥=?I D ,//,//m n m n αβ⊥ 10 .已知四棱锥,则中,直角三角形最多可以有( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个二．填空题（每题4分，共16分） 11.已知?ABC 的两边AC,BC 分别交平面α于点M,N ，设直线AB 与平面α交于点O ，则点O 与直线MN 的位置关系为_________ 12.过直线外一点与该直线平行的平面有___________个，过平面外一点与该平面平行的直线有 _____________条 13.一块西瓜切3刀最多能切_________块 14.将边长是a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得折起后BD 得长为a,则三棱锥D-ABC 的体积为___________ 三、解答题 15（10分）如图，已知E,F 分别是正方形ABCD A B C D -的棱AA 和棱CC 上的点，且

高中数学典型例题详解和练习- 求分段函数的导数

求分段函数的导数例求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数．解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='．指出函数的复合关系例指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常

见的基本函数，逐步确定复合过程．解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果．求函数的导数例求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数．

高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式：1=+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．线段21P P 的中点是),(00y x M ，则??? ????+=+=2221 0210y y y x x x ．

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2 （如图2）长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

点到平面距离的若干典型求法知识交流

点到平面距离的若干典型求法

点到平面距离的若干典型求法目录 1.引言 (1) 2.预备知识 (1) 3.求点到平面距离的若干求法 (3) 3.1定义法求点到平面距离 (3) 3.2转化法求点到平面距离 (5) 3.3等体积法求点到平面距离 (7) 3.4利用二面角求点到平面距离 (8) 3.5向量法求点到平面距离 (9) 3.6最值法求点到平面距离 (11) 3.7公式法求点到平面距离 (13) 1．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。 2．预备知识 (1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。

图1 (2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。 (3) 四面体的体积公式 13 V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。 (4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 (5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。 (6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。在很多时候为了简便叙述，也把AOB ∠称作α与平面β所成的二面角。

点到平面的距离的几种求法_人教版

点到平面的距离的几种求法 2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长. 例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长．点到平面的距离有如下三条性质： (1)存在性对于任意一个平面和这个平面外任意一点都存在着距离. (2)唯一性一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ，连结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝ 2， 32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ?中 BN PB BQ PN ?=? 11112=∴BQ 图 1

3.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，则有 αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知 2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2， ∴ ＣＨ＝23 ，ＧＨ＝22 ∴ 222 sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离 11112222 2sin =?=∠?=GHC BP d (2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有 θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作 GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3 图 4 图 5

点到平面距离的若干典型求法

点面距离的几种求法

点面距离的几种求法距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、利用定义作垂线，解三角形。例1，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM ?面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B ?=B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，

∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ 0!45=∠BCC ，4 3!= P C ,在PM C R t !?中， 8 2 343224510= ?=?= PM P C PM Sin . 2、转化成其它点到面的距离： 2 C A A

、向量法：例3、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥ 解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法向量 =(x,y,z),则： AB → →?， y n → )1,2 1,0(),0,2 1,1(=→-=→DF DE

全国高中数学联赛平面几何题

全国高中数学联赛平面几何题 1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等． 2. (2001) 如图，△ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N ．求证：(1) OB ⊥DF ，OC ⊥DE ； (2) OH ⊥MN ． 3.(2002) 4.(2003) 过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC ．求证：∠DBQ ＝∠PAC ． A B C D E F M N

5.(2004)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K 。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长。 6.(2005) 7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点 C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0 为半径作圆弧P 0Q 0⌒ 交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0 为半径作圆弧Q 0P 1⌒ 交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1 为半径作圆弧P 1Q 1⌒ 交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1 为半径作圆弧Q 1P 0'⌒ ，交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒ 相切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆． P B 1 B 0 C 1P 1 P 0 Q 1Q 0 A C 0

等积法求体积点到面的距离【教师版】

等积法求三棱锥的体积【教师版】2014/10/14 由于三棱锥是由4个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。例1

例2．（2011佛山一中三校联考）如图，已知三棱锥A —BPC 中，AP ⊥PC ， AC ⊥BC ， M 为AB 中点，D 为PB 中点，且△PMB 为正三角形。（Ⅰ）求证：DM ∥平面APC ；（Ⅱ）求证：平面ABC ⊥平面APC ；（Ⅲ）若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D —BCM 的体积．例2．解：（Ⅰ）由已知得，MD 是?ABP 的中位线 ∴AP MD ∥ ……………2分 APC AP APC MD 面面??, ∴APC MD 面∥ ……………4分（Ⅱ）PMB ? 为正三角形，D 为PB 的中点， ∴PB MD ⊥， …………………5分 ∴PB AP ⊥ …………………6分又P PC PB PC AP =?⊥, ∴PBC AP 面⊥ ……………………7分 PBC BC 面? ∴BC AP ⊥ 又A AP AC AC BC =?⊥, APC BC 面⊥∴ ………………9分 ABC BC 面? ∴平面ABC ⊥平面APC ………………10分（Ⅲ）∵PBC MD 面⊥，∴MD 是三棱锥M —DBC 的高，且MD ＝53…11分又在直角三角形PCB 中，由PB ＝10，BC ＝4，可得PC ＝221 ………12分于是1 2 BCD BCP S S ??= ＝221 ………………………………………………13分 ∴D BCM V -＝7103 1 ==-Sh V DBC M …………………………14分

高中数学立体几何知识点及练习题

点、直线、平面之间的关系㈠平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理二：不共线的三点确定一个平面。推论一：直线与直线外一点确定一个平面。推论二：两条相交直线确定一个平面。推论三：两条平行直线确定一个平面。公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：

2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。㈣垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理：图2-3 线面角图2-5 判定1推论图2-6 判定2

高中数学必修2立体几何专题二面角典型例题解法总结

二面角的求法一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1 如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。 ? 证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， · ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6= =AC SA ，∴2=AM ，∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴ 3=BF 。在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

高中数学平面解析几何初步经典例题(供参考)

直线和圆的方程一、知识导学 1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|. 2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以 A 为起点， B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是???? ?? ?++=++=λ λλλ11212 1y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是??? ???? +=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. （2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α. 4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种 5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ= 2 11 21k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的

区别. 6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断. （1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2?1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2?1k ·2k = -1 （2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1， B 2都不为零时，有以下结论： ①l 1∥l 2? 21A A =21B B ≠2 1C C ②l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交? 21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合? 21A A =21B B =2 1 C C 7．点到直线的距离公式. （1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离 d = 2 2 00| |B A C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离 d= 2 2 21||B A C C +-. 8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 42 2-+＞0），圆心坐标为（-2D ，-2 E ），半径为r =2422 F E D -+.

求点到平面距离的基本方法

利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离. 2, A .AM为点A到平面的距求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法. (I )求证：AE 平面BCE ; (n )求二面角B AC E的大小; (m )求点D到平面ACE的距离. (I)、( n)解略，(m)解如下: 、直接法例 (2005年福建高考题)如图1,直二面角 D AB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB，F为CE上的点, 且BF 平面ACE. D B

解：如图3,过点A 作AG 峑EC ，连结DG,CG ，则平面ADG //平面BCE , ???平面BCE 平面ACE , ???平面ADG 平面ACE , 作DH AG,垂足为H ，则DH 平面ACE. ??? DH 是点D 到平面ACE 的距离. 二、平行线法 ,B 为I 上任意一点，AM , BN ,则AM BN . 点A 到平面的距离转化为平行于平面的直线I 到平面的距离，再转化为直线I 上任意一点B 到平面的距离. 解：如图5,过点D 作DM 屯AE ，连结CM ，则DM //平面ACE , 点D 到平面ACE 的距离转化为直线 DM 到平面ACE 的距离，再转化为点 M 到平面ACE 的距离. 作MN CE,垂足为N , 在 Rt ADG 中, DH AD DG 2 迈 2/3 AG 76 3 如图 4, A 1,1 // C B

???平面CEM 平面ACE , ??? MN 平面 ACE , ??? MN 是点M 到平面ACE 的距离. 三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离 .如图 AO O , A,B l , AM , BN ,若竺 t,则 AM t BN.点 A 到 BO 平面的距离转化为求直线I 上的点B 到平面的距离. 解：如图8, BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面ACE Q , ??? DQ BQ , ???点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. ???平面BCE 平面ACE ，BF 平面ACE , ? BF 是点B 到平面ACE 的距离. 在 Rt CEM 中，MN EM CM 2 72 C E 7 6 6、7, l N

高中数学平面解析几何知识点梳理范文

平面解析几何一．直线部分 1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α ,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式： )(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112 =-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式： 0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y --=，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为 00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．?直线的斜率为1-或直线过原点．（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点．（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直：（1）若111: l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121 ,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111 =++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121 //C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．

高中数学必修2空间几何典型例题和讲解

数学必修2第一章一、学习目标： 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图与直观图，能识别上述三视图与直观图所表示的立体模型。二、重点、难点：重点：空间几何体中的棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征；空间几何体的三视图与直观图的画法。难点：柱、锥、台、球结构特征的概括；识别三视图所表示的空间几何体;几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。三、考点分析：三视图是新课程改革中出现的内容，是新课程高考的热点之一，几乎每年都考，同学们要予以足够的重视。在高考中经常以选择、填空题的形式出现，属于基础或中档题，但也要关注三视图以提供信息为目的，出现在解答题中。这部分知识主要考查学生的空间想象能力与计算求解能力。 1. 多面体棱柱、棱锥、棱台 2. 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球 3. 三视图（1）正视图、侧视图、俯视图（2）三种视图间的关系 4. 直观图水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。 5. 旋转体的面积和体积公式

名称圆柱圆锥圆台球 S 侧 2πrl πrl π(r 1+r 2)l S 全 2πr(l+r) πr(l+r) π(r 1+r 2)l+π(r 21+r 22) 4πR 2 V πr 2h （即πr 2l ） 31πr 2h 31 πh(r 21+r 1r 2+r 22) 3 4πR 3 表中l 、h 分别表示母线长、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底面半径，r 1、r 2分别表示圆台上、下底面的半径，R 表示半径。知识点一柱、锥、台、球的结构特征例1. 下列叙述正确的是（） ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱。 ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台。 ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台。 ④直角三角形绕其一条边旋转得到的旋转体是圆锥。 ⑤直角梯形以它的一条垂直于两底边的腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面围成的旋转体叫圆台。 ⑥用一个平面去截圆锥，底面和截面之间的部分是圆台。 ⑦通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。 ⑧以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成球体。 A. ①②③④⑤⑥⑧ B. ①③④⑦⑧ C. ①②⑤⑧ D. ⑤ 思路分析：遇到概念判断问题，一定要在理解透彻相关概念的基础上，仔细分析，如果判断它是正确的，必须能紧扣定义，而不是模棱两可地去作判断；如果判断它是错误的，只需找到一个反例即可。解答过程：如图所示，由图（1）可知①是错误的；由图（2）可知②③是错误的；由图（3）可知④是错误的；由图（4）可知⑥是错误的。因为通过圆锥侧面上一点和圆锥的顶点只能连一条射线，所以“通过圆锥侧面上一点，有无数条母线。”是错误的，即⑦是不正确的。以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的应该是球面，半圆面旋转一周形成的才是球体。所以⑧是错误的。所以只有⑤是正确的。故应选D 。解题后的思考：在作判断的时候没有严格的根据定义进行多角度分析，而是只抓住定义中的某一点就作出判断，容易导致错误。知识点二组合体

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