新乡市第一中学数学有理数(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．认真阅读下面的材料，完成有关问题：

材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|=|5-（-3）|，所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离。因此，一般地，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，那么A,B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a-b|。

因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求的最小值；

即数轴上x与1对应的点之间的距离，即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值.

设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x.

当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时；

当x＞2时，即P点在B点右侧，此时＝ PA＋PB＝AB＋2PB＞AB；

当x ＜1时，即P点在A点左侧，此时＝PA＋PB＝AB＋2PA＞AB；

综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），取得最小值为1.

请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题：

（1）满足的x的取值范围是________。

（2）求的最小值为________，最大值为________。

备用图：

【答案】（1）当x<-3或x＞4

（2）-3；3

【解析】【解答】解：（1）由，在数轴上表示-3和4两点，

当x<-3时， >7;

当-3≤x≤4时， .

当x＞4时， .

故当x<-3或x＞4时 .

（ 2 ）

当x＜-1，

当-1≤x≤2，，此时当x=2时，取得最大值3，当x=-1时，取得最小值-3；

当x＞2时， .

故的最小值为-3，最大值为3.

【分析】（1）此题实质就是求表示x的点与-3的对应点的距离及表示x的点与4的对应点的距离和大于7时，x的取值范围，从而分当x<-3时、当-3≤x≤4时、当x＞4时三种情况根据绝对值的意义分别去绝对值符号后一一判断即可得出答案；

（2）此题实质就是求表示x的点与-1的对应点的距离及表示x的点与2的对应点的距离差最小值与最大值，从而分当x＜-1、当-1≤x≤2、当x＞2时三种情况根据绝对值的意义分别去绝对值符号考虑即可得出答案.

2．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作

“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作a?，读作“a的圈n次方”.

（1）（【初步探究】

直接写出计算结果：2③=________，（- ）⑤=________；

（2）【深入思考】

我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？

Ⅰ.试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式.

（﹣3）④=________；5⑥=________；(- ) ⑩=________.

Ⅱ.想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；

Ⅲ.算一算：

122÷(- )④×(-2)⑤－(- )⑥÷33.________

【答案】（1）；-8

（2）；；；；解：

【解析】【解答】解：（1）【初步探究】

，

故答案为：，-8；

（ 2 ）【深入思考】

Ⅰ.

；

；

故答案为：；；；

Ⅱ.

【分析】

（1）①按除方法则进行计算即可；②按除方法则进行计算即可；

（2）①把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果；

②结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则a?＝a×(）n?1= ；

③将第二问的规律代入计算，注意运算顺序．

3．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2，已知点A、B是数轴上的点，请参照图并思考，完成下列各题．

（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________；

（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离为________；

（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是________，A、B两点间的距离是________；

（4）一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p个单位长度，那么请你猜想终点B表示什么数？A、B两点间的距离为多少？

【答案】（1）4；7

（2）1；2

（3）﹣13；9

（4）解：一般地，如果A点表示的数为m，将A点向右移动n个单位长度，再向左移动p 个单位长度，那么请你猜想终点B表示m+n﹣p，A、B两点间的距离为|n﹣p|．

【解析】【解答】解：（1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是4，A、B两点间的距离是7；（2）如果点A表示数3，将A点向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是1，A、B两点间的距离为2；（3）如果点A表示数﹣4，将A点向右移动16个单位长度，再向左移动25个单位长度，那么终点B表示的数是﹣13，A、B两点间的距离是9；

【分析】（1）根据数轴上的点向右平移加，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；（4）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数，根据数轴上两点间的距离是大数减小数，可得答案；

4．阅读材料，并回答问题

如图，有一根木棒MN放置在数轴上，它的两端M、N分别落在点A、B．将木棒在数轴上水平移动，当点M移动到点B时，点N所对应的数为20，当点N移动到点A时，点M所对应的数为5．

（单位：cm）

由此可得，木棒长为__________cm．

借助上述方法解决问题：

一天，美羊羊去问村长爷爷的年龄，村长爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，116岁了，哈哈！”美羊羊纳闷，村长爷爷到底是多少岁？

（1）请你画出示意图，求出村长爷爷和美羊羊现在的年龄．

（2）若羊村中的小羊均与美羊羊同岁，老羊均与村长爷爷同岁。灰太狼计划为全家抓5只羊，综合考虑口感和生长周期等因素，决定所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁。请问灰太狼有几种抓羊方案？

【答案】（1）解：如图：

点A表示美羊羊现在的年龄，点B表示村长爷爷现在的年龄，木棒MN的两端分别落在点A、B．

由题意可知，当点N移动到点A时，点M所对应的数为-40，当点M移动到点B时，点N 所对应的数为116．

可求MN=52．

所以点A所对应的数为12，点B所对应的数为64．

即美羊羊今年12岁，村长爷爷今年64岁．

（2）解：设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，依题意得：

解得：，则x=4,或x=5,

即抓四只小羊一只老羊或抓五只小羊

【解析】【分析】（1）由数轴观察知三根木棒长是20-5=15（cm），则此木棒长为5cm；（2）在求村长爷爷年龄时，借助数轴，把美羊羊与村长爷爷的年龄差看做木棒MN，类似村长爷爷比美羊羊大时看做当N点移动到A点时，此时M点所对应的数为-40，美羊羊比村长爷爷大时看做当M点移动到B点时，此时N点所对应的数为116，所以可知爷爷比美羊羊大[116-（-40）]÷3=52，可知爷爷的年龄.

（3）设抓小羊x只，则老羊为(5-x)只，根据“ 所抓羊的年龄之和不超过112岁且高于34岁”列不等式组，求解.

5．如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为﹣12和4.

（1）直接写出A、B两点之间的距离；

（2）若在数轴上存在一点P，使得AP＝ PB，求点P表示的数.

（3）如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP＝4OQ时的运动时间t的值.

【答案】（1）解：A、B两点之间的距离是：4﹣（﹣12）＝16

（2）解：设点P表示的数为x.分两种情况：

①当点P在线段AB上时，

∵AP＝ PB，

∴x+12＝（4﹣x），

解得x＝﹣8；

②当点P在线段BA的延长线上时，

∵AP＝ PB，

∴﹣12﹣x＝（4﹣x），

解得x＝﹣20.

综上所述，点P表示的数为﹣8或﹣20

（3）解：分两种情况：

①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，

此时Q点表示的数为4﹣2t，P点表示的数为﹣12+5t，

∵OP＝4OQ，

∴12﹣5t＝4（4﹣2t），

解得t＝，符合题意；

②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，

此时Q点表示的数为3（t﹣2），P点表示的数为﹣12+5t，

∵OP＝4OQ，

∴|12﹣5t|＝4×3（t﹣2），

∴12﹣5t＝12t﹣24，或5t﹣12＝12t﹣24，

解得t＝，符合题意；或t＝，不符合题意舍去.

综上所述，当OP＝4OQ时的运动时间t的值为或秒

【解析】【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；（2）设点P表示的数为x.分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上.根据

AP＝ PB列出关于x的方程，求解即可；（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤2时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t＞2时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP＝4OQ列出关于t的方程，解方程即可.

6．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒

（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；

（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q 两点之间的距离为4？请说明理由.

【答案】（1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离的2倍，所以PA＝2PB，

故2PB+PB＝AB，

代数可得PB＝8，

故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20；

当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB，

所以2PB﹣PB＝AB，

故PB＝AB＝24，

故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.

（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10；

第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2，

3t2﹣(t2+AB)＝4，

故3t2﹣(t2+24)＝4，

则t2＝14；

第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3，

3t3+t3+4+AB＝2AC，

故3t3+t3+4+24＝2×48，

则t3＝17；

第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4，

3t4+t4+AB＝2AC+4，

故3t4+t4+24＝2×48+4，

则t4＝19.

【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q 从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.

7．如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别是-3、1、5。动点P、Q同时出发，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度沿A→B→A匀速运动回到点A停止运动．动点Q从点C 出发，以每秒1个单位的速度沿C→B向终点B匀速运动．设点P的运动时间为t(s)。

（1）当点P到达点B时，点Q表示的数为________。

（2）当t=1时，求点P、Q之间的距离。

（3）当点P在A→B上运动时，用含t的代数式表示点P、Q之间的距离。

（4）当点P、Q到点C的距离相等时，直接写出t的值。

【答案】（1）3

（2）解：当t=1时，AP=4，CQ=1，PQ=1

所以点P、Q之间的距离是1

（3）解：点P在A→B上运动，且相遇时，4t=4+t，t= ，

当0≤1≤ 时，PQ=4-3t

当<1≤2时，PQ=3t-4

（4）解：t= ，t= ，t= ，t=4

【解析】【分析】先表示出运动t（s）点P经过的路程为4t，点Q经过的路程为t；P到达点B和终点A所用的时间分别为2（s）、4（s），点Q到达点B所用的时间为4（s）。

（1）P到达点B用2（s），此时CQ=2，故可求；

（2）当t=1时，求出线段AP、CQ，故可求PQ；

（3）先由AP=AC+CQ求出点P、Q相遇时的时间，然后分0≤t≤和≤t≤2两种情况求解即

可；

（4）利用PC=PQ列出方程求解即可。

8．数轴上点A表示的数为10，点M，N分别以每秒a个单位长度，每秒b个单位长度的速度沿数轴运动，a,b满足|a-5|+(b-6)2=0.

（1）请真接与出a=________,b=________；

（2）如图1,点M从A出发沿数轴向左运动，到达原点后立即返回向右运动:同时点N从原点0出发沿数轴向左运动，运动时间为t,点P为线段ON的中点若MP=MA,求t的值: （3）如图2,若点M从原点向右运动，同时点N从原点向左运动，运动时间为t时M运动到点A的右侧，若此时以M，N,O,A为端点的所有线段的长度和为142,求此时点M对应的数.

【答案】（1）5；6

（2）解：①点M未到达O时（0＜t≤2时），

NP=OP=3t，AM=5t，OM=10-5t，MP=3t+10-5t

即3t+10-5t=5t，解得 t=，

②点M到达O返回，未到达A点或刚到达A点时，即当（2＜t≤4时），

OM=5t-10，AM=20-5t,MP=3t+5t-10

即3t+5t-10=20-5t，解得 t=

③点M到达O返回时，在A点右侧，即t＞4时

OM=5t-10，AM=5t-20，MP=3t+5t-10,

即3t+5t-10=5t-20，解得 t=（不符合题意舍去）.

综上或；

（3）解：如下图：

根据题意：NO=6t，OM=5t，所以MN=6t+5t=11t

依题意：NO+OA+AM+AN+OM+MN=MN+MN+OA+MN=33t+10=142，

解得t=4.此时M对应的数为20.

【解析】【解答】解：（1）∵|a-5|+（b-6）2=0．

∴a-5=0，b-6=0

∴a=5，b=6

故依次填：5,6；

【分析】(1)中根据非负数的性质即可得解；（2）分三种情况，分别表示MP和MA，根据MP=MA列出方程，解方程即可（需注意t＞0）；（3）依据题意画出图形，根据图形可知MN=NO+OM=11t.M，N,O,A为端点的所有线段的长度和为3MN+OA=142，将MN=11t代入，即可求出t的值，M点表示的数可求.

9．在数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应的数为a，b，c，d，且满足a，b到点-7的距离为1 （a＜b），且（c﹣12）2与|d﹣16|互为相反数.

（1）填空：a＝________、b＝________、c＝________、d＝________；

（2）若线段AB以3个单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1单位长度/秒向左匀速运动，并设运动时间为t秒，A、B两点都运动在CD上（不与C，D两个端点重合），若BD＝2AC，求t得值；

（3）在（2）的条件下，线段AB，线段CD继续运动，当点B运动到点D的右侧时，问是否存在时间t，使BC＝3AD？若存在，求t得值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）-8；-6；12；16

（2）解：AB、CD运动时，

点A对应的数为：?8＋3t，

点B对应的数为：?6＋3t，

点C对应的数为：12?t，

点D对应的数为：16?t，

∴BD＝|16?t?（?6＋3t）|＝|22?4t|

AC＝|12?t?（?8＋3t）|＝|20?4t|

∵BD＝2AC，

∴22?4t＝±2（20?4t）

解得：t＝或t＝

当t＝时，此时点B对应的数为，点C对应的数为，此时不满足题意，

故t＝

（3）解：当点B运动到点D的右侧时，

此时?6＋3t＞16?t

∴t＞，

BC＝|12?t?（?6＋3t）|＝|18?4t|，

AD＝|16?t?（?8＋3t）|＝|24?4t|，

∵BC＝3AD，

∴|18?4t|＝3|24?4t|，

解得：t＝或t＝

经验证，t＝或t＝时，BC＝3AD

【解析】【解答】（1）∵|x＋7|＝1，

∴x＝?8或?6

∴a＝?8，b＝?6，

∵（c?12）2＋|d?16|＝0，

∴c＝12，d＝16，

故答案为：?8；?6；12；16.

【分析】（1）根据方程与非负数的性质即可求出答案.（2）AB、CD运动时，点A对应的数为：?8＋3t，点B对应的数为：?6＋3t，点C对应的数为：12?t，点D对应的数为：16?t，根据题意列出等式即可求出t的值.（3）根据题意求出t的范围，然后根据BC＝3AD 求出t的值即可.

10．如图，数轴上点A，B分别对应数a，b.其中a＜0，b＞0.

（1）当a＝﹣2，b＝6时，求a-b=________,线段AB的中点对应的数是________；（直接填结果）

（2）若该数轴上另有一点M对应着数m.

①当a＝﹣4，b＝8,点M在A，B之间，且AM＝3BM时，求m的值.

②当m＝2，b＞2，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+20的值.

【答案】（1）-8；2

（2）解：①∵AM＝3BM

②∵AM＝2BM

整理得

【解析】【解答】（1）

，所以线段AB的中点对应的数是2

故答案为-8,2

【分析】（1）直接利用有理数的减法即可求出的值；即为中点对应的

数；（2）①根据AM＝3BM，可得出 ,利用a,b两点可求出AB之间的距离，进而可求AM的长度，则m的值可求.②可根据AM＝2BM之间的关系式，找到a,b之间的一个等式，然后整体代入a+2b+20中即可求值.

11．大家知道，它在数轴上表示5的点与原点(即表示0的点)之间的距离.又如式子 ,它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离.即点A、B在数轴上分别表示数a、b,则A、B两点的距离可表示为:|AB|= .根据

以上信息，回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________.

（2）点A、B在数轴上分别表示实数x和-1.

①用代数式表示A、B两点之间的距；

②如果 ,求x的值.

（3）直接写出代数式的最小值.

【答案】（1）3；3

（2）解：①|AB|＝|x－(－1)|＝|x＋1|，②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2,x＋1＝2或x＋1＝－2,解得x＝1或x＝－3.

（3）解：∵代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和,∴当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是:|4－(－1)|＝5.

【解析】【解答】解：(1)数轴.上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3;数轴_上表示－2和－5的两点之间的距离是:｜(－2)－(－5)｜＝|－2＋5|＝ |3|＝3.

【分析】(1)根据题意，可得数轴上表示2和5的两点之间的距离是:|5－2|＝3 ;数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是:|(－2)－(－5)|＝3；(2)①根据点A、B在数轴上分别表示实数x和－1,可得表示A、B两点之间的距离是：|x－(－1)|＝|x＋1|；②如果|AB|＝2,则|x＋1|＝2 ,据此求出x的值是多少即可.(3)根据题意,可得代数式|x＋1|＋|x－4|表示数轴上有理数x所对应的点到4和－1所对应的两点距离之和，所以当－1≤x≤4时，代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是表示4的点与表示－1的点之间的距离,即代数式|x＋1|＋|x－4|的最小值是5.

12．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：

“当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是”．

小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”

小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”

他们把数轴分为三段：x＜﹣1，﹣1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当﹣1≤x≤2时，式子|x+1|+|x﹣2|的最小值为3．

请你根据他们的解题解决下面的问题：

（1）当式子|x﹣2|+|x﹣4|取最小值时，相应的x的取值范围是________，最小值是________．

（2）已知y=|x+8|﹣|x－2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．

【答案】（1）；2

（2）解：当x＞2时y＝x+8﹣（x－2）=10，

当?8≤x≤2时，y＝x+8+（x－2）=2x＋6，当x=2时，y最大＝10；

当x＜?8，时y＝-x-8+（x－2）=-10，

综上所以x≥2时，y有最大值y＝10．

【解析】【解答】（1）当x＜2时，原式＝6?2x，此时6?2x＞2；当2≤x≤4时，原式＝2；当x＞4时，原式＝2x?6＞2，

∴当2≤x≤4时，|x?2|＋|x?4|取最小值时，最小值为2．

故答案为：2≤x≤4；2．

【分析】（1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．