初等数学研究答案第一章到第六章

大学数学之初等数学研究，长明，周焕山版，高等教育 习题一

1答：原则：（1）A ?B

（2）A 的元素间所定义的一些运算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对

于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能施行的某种运算，在B 中总能施行。

(4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一

确定。

方式：（1）添加元素法；（2）构造法

2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假设bc ac M c =∈，即，则M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='，

由归纳公理知M=N ，所以命题对任意自然数c 成立。

（2）若a

，由，使得 则ac

（3）若a>b ，则ac m c bc ac,m )c (b )1(a m b N m =+=+=+∈?即，

，由，使得 则ac>bc 。

3证明:(1)用反证法：若b a b,a b a <>≠或者，则由三分性知。当a >b 时，由乘

法单调性知ac >bc. 当a

（2）用反证法：若b a b,a b a =>或者，则由三分性知不小于。当a >b 时，由

乘法单调性知ac >bc. 当a=b 时，由乘法单调性知ac=bc.这与ac

（3）用反证法：若b a b,a b a =<或者，则由三分性知不大于。当a

乘法单调性知acbc 矛盾。则a>b 。

4. 解：（1）4313='=+ 541323='='+=+ 652333='='+=+

763343='='+=+ 874353='='+=+

（2）313=? 631323=+?=? 93232333=+?='?=?

123333343=+?='?=? 153434353=+?='?=?

5证明：当n=1时，的倍数。是9181n 154n =-+

假设当n=k 时的倍数。是91k 154k -+

则当n=k+1时的倍数。是）（）（918k 451k 154411k 154k 1k +--+=-+++

则对?N n ∈，1n 154n -+是9的倍数.

6证明：当1n =时，141-=3-，n

21n 21-+=3-；则当1n =时成立。 假设当k n =时成立，即(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)=k

21k 21-+ 当1k n +=时，(141-)(941-)(2541-)……… (21k 241）（--)（21k 241）

（+-） =k 21k 21-+（21k 241）

（+-）=）（）（1k 211k 21k 21k 23+-++=++- 当1k n +=时成立。

7解：（1）01x 3x 1

32=---==+，则，αββα （2）3311=-=---ββαα， 13

1313A n

2n n 2n n

n 2

n 2n 2n ββααβαβα+--+-=-=∴+++++ 13

1311n 11n n

n ）

（）（-+-+---+-=βββαααβα 133131

n 1n n

n ++-+-=βαβα；n 1n A A 3+=+

（3）当n=1时，1013A 3

33=-=βα的倍数。是10

假设当n=k 时13A 3k 3k 3k βα-=

的倍数。是10

则当n=k+1时 131313

A 33k 33k 3k 33k 33k 31k 31k 31k 3）（）（）（）（）（βαβαβαββααβα-+-=?-?=-=+++ k 333k

3k 1013βαβα+-=

则对?N n ∈，n 3A 是10的倍数.

8证明：；，，则，，使得，；，lar lc kaq kb ar c aq b Z r q c |a b |a ====∈?∴

。；）（lc kb |a a lr kq lc kb +∴+=+∴

9证明：假设存在b ，使得,1a +<

若，则1k =；1a b +=若，则1k >；即1a k a b +>+=；1a b +>

因此.1a 是不可能的

+

32211Z q q q Z p p p p q c p q b p q a ∈∈=== 则a(bc)===?321321332211p p p )q q q p q p q p q ）（（）（）（）（321321p p p q q q a(bc)p q p q p q 3

32211=?=）（ 11答:(1)加法,乘法,减法; 构成数环 (2)乘法,除法; (3)加法,乘法; (4)加法,乘法;

(5)加法,乘法,除法; (6)乘法; (7)加法,乘法,减法;构成数环

(8)加法,乘法,减法;构成数环

12 证明：方法一 n

n 332211b a b a b a b a <<<< 即n 11n 2112b a b a ,b a b a >> =-++++++∴11n 21n 21b a b b b a a a 1

n 21n 2111n 21b b b b b b b a b a a a ）（）（）（++++++-+++ 0b b b b b a b a b a -b a 1

n 21n 11n 2112>+++-++=）（）（）（ n

n 332211b a b a b a b a <<<< 即1-n n n 1-n 1n n 1b a b a ,b a b a <<， =-++++++∴n n n 21n 21b a b b b a a a n

n 21n 21n n n 21b b b b b b b a b a a a ）（）（）（++++++-+++ 0b b b b b a b a b a -b a n

n 211-n n n 1-n 1n n 1<+++-++=）（）（）（ 方法二：设

p,b a 11=q,b a n n =则由p=n n 332211b a b a b a b a <<<< =q 得， p b a 11=， p b a 22>，p b a n n > ；

q b a 11<， q b a 22<，q b a n n = ； 则n 21n 21b b b p b p b p b ++++++ n 21n 21b b b a a a ++++++<

21n 21b b b q b q b q b ++++++ 即q.b b b a a a p n 21n 21<++++++< 则.b a b b b a a a b a n

n n 21n 2111<++++++< \ 13．（1）;109.16.5003105.1102.16.50031053.1102.143434

?≈+?+?≈+?+?

（2）;88.4238.026.433824.026.43=-≈-

（3）;7.6872232.687138.6813.2264.32≈==?

（4）≈÷?43564.2)1063.2(3.1008.163875.1079436.2)1063.2(3

3?≈=÷? 14 解：5.046308.0%02.04.2315|a |≈=?==?δ

则它的有效数字的个数为4。

15 解：551.45511.47321.11416.3232≈=-?≈-π 16 证明：方法一：?d

cx b ax S ++=

是有理数，则其不包含x ； d cx kd b x d cx kc a k d cx kd b x kc a d cx k d cx b ax S +-++-+=+-+-++=++=）（）（又 。；即，bc ad kd b kc a ===∴

，代入，，则；令其为b p c a p d p bc ad ===? d

cx b ax S ++=得, 为有理数。p ab a

p x b p b ax d cx b ax S =++=++= 方法二：?d cx b ax S ++=

是有理数，则d cx b ax S Z,n m,++=∈?使得=.n

m ； bn.

-dm cm )x -(an d)m (cx b)n (ax =+=+，即则bc.ad ;bn dm mc an ,x Q d c b a *=???==∈即则是无理数，，，，又由于 ? 又;d)d (cx b)d (ax d cx b ax S 2

d cdx bd adx ++=++=++=bc.ad = 则.)(d)b(cx d)d (cx b)d (ax d cx b ax S 2d

b d cx d d cdx bd adx =++=++=++=++= d

cx b ax S ++=∴是有理数 17 证明：c d c

d c d b a +-=-=-∴+=+，

d b c a 则若。时，c d b a ==

若?????=-=+≠b

-a c d b -a c -d c d b a 时由得b -a b -a c -d d 2+=; 即无理数等于有理数矛盾,则。c d =

18解：（1）

≥++≥≥≥≥≤+≤≤≤≤1

n 2n 4534231n n 433221； 并且时并且当∞→>+=+-++n ;01n 21n n 1n 2n 01

n 21n n 1n 2n →+=+-++ ∴此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.

（2） ≥+≥≥≥≥≤≤≤≤≤1

n 14131210000； 并且时并且当∞→>+=-+n ;01n 101n 101

n 101n 1→+=-+ ∴此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为0.

（3） ≥≥≥≥≥≤≤≤≤≤11112n

1-2n 654321； 并且时并且当∞→>=-n ;02n 12n 1-2n 102n

12n 1-2n 1→=- ∴此序列为退缩有理闭区间序列，且它所确定的实数为1.

19.（1）（?）答：复数集与复平面以0为起点的一切向量组成的集合一一对应；

（2）(?) 答:两复数的和与积都是实数的充分条件是：这两个复数是共轭复数

（3）(?)答：共轭虚数的正整数次幂仍是共轭复数；

（4）(?) 答: 一个非零复数的模等于1的充分条件是它与它的倒数之和为实数. 20 证明:当时k 3n =，++-3k 2i 31）（；）（22

i 313k =-- 当时1k 3n +=，++-+13k 2i 31）（；）（12

i 3113k -=--+ 当时2k 3n +=，

++-+23k 2i 31）（；）（12i 3123k -=--+ 21 解：Z=72i 31）（++=+=++1)6isin 6(cos 17ππ)6

7isin 67(cos ππ+=i 21231-- 则|Z|=2

2263241)23-(12-=-=+；则.23arctan 2）（+-=πθ 22 解： |z|=1，，则令ααisin cos z +=∴

1z z 2+-=)i sin -sin (2cos cos cos 22ααααα+-

则u=222)21(cos 41cos 4cos 4|1z z |-=+-=+-ααα 当3u ,1cos max =-=时α；当.0u ,21cos min ==

时α 23. 解方程

N).n 1,n 1z 1z n n ∈>-=+，（）（）（ 即，则）（）解：由于（,1)11(1z 1z n n =-+-=+n z z

1)-n ,2,1,0(k ;n

k 2isin n k 2cos 1-z 1z =+=+ππ; 则1)-n ,1,0(k 1n

k 2isin n k 2cos n k 2isin n k 2cos 1z =-+++=；ππππ 24解：(1);1)(,1)(1n n 2n ===n

ωωω ， 次单位根）；次方根（个不同的的是，，，n n n 1n 2ωωω ∴

（2）)(1(1n ωω-=-；0)11-n 2=++++ω

ωω 而∴≠-,01ω；011-n 2=++++ω

ωω （3）)(1(1n -=-z z )11-n 2z

z z ++++ =)1(-z );())()((1n 32-----ω

ωωωz z z z 当时，1≠z =++++1-n 21z z z )())()((132-----n z z z z ωωωω

令时，

1=z .)1()1(112n n =----ωωω ）（ 25解：由图像知20)-(-10)-3(-|OD |22=+=； 则.312||||||max =+=+=AD OD Z .112||||||min =-=-=BD OD Z ,24060180)(arg .30,2

1sin max =+=∴=∴=Z αα.180)(arg min =Z 26 解：设z=x+yi,则代入.4y 1)(x .3x 2y x 3z z z z 2222=++=++=++即，得

27 证明：isinx ;cosx z isinx cosx z -=+=，则令

isinx;cosx z isinx cosx z 22-=+=，；，

isinnx cosnx z isinnx cosnx z n n -=+= 而；

，isinx 2z z cosx 2z z =-=+ ；，isinx 2z z cosx 2z z 2222=-=+

；，isinx 2z z cosx 2z z n n n n =-=+ 则)z z z z z (z 2i

1sinnx sin2x sinx n n 22-++-+-=+++ )

z -z)(11(sin )1sin(sinx ]1)z 1(z 1)z -z(1[i 21n n -++-=----=nx x n z z )1)(z 1()2)2(cos 2(cos 2sin

2z x n nx nx --+-=;)

1)(z 1(2)1(sin 2sin 2sin 4z x n x nx --+= )z z z z (z 2

1cosnx cos2x cosx n n 22++++++=+++ z )

z -z)(11(cos )1cos(1cosx ]1)z 1(z 1)z -z(1[21n n -++--=--+-=nx x n z z )1)(z 1()2)2(in 2sin (2sin

2z x n s nx nx --+-=;)1)(z 1(2)1(cos 2sin 2sin 4z x n x nx --+= x.2

1n tg cosnx cos2x cosx sinnx sin2x sinx +=++++++ 则 28证明: 时，

当0x ≠0p x p x p x p x n 1-n 2-n 21-n 1n =+++++ 方程 的两边同乘以得n x -0x p x p x

p x p 1n n n -11-n -22-11=+++++-

将x=代入上式得，ααisin cos + +++)]isin(-)[cos(-p 11αα0)]isin(-n )[cos(-n p n =++αα . 按照复数相等的条件得++αcos p 110cosn p n =+α

.

0n sin p 2sin p sin p n 21=+++ααα 习题二

1解：设这个多项式为)1()(10-+=x a a x f )4)(2)(1(2)(1(32---+--+x x x a x x a ）

. 然后将已知点依次代入：

;10,10)1(00-=∴=-=a a f ;9,1)2(110=∴+=-=a a a f ;

14,63101)4(2210=∴++==a a a a f ;2,21812124218)5(33210=∴=+++==a a a a a f