矩阵的定义及其运算规则(2)

矩阵的定义及其运算规则

1矩阵的定义

一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成 m 行n 列（横的称行, 纵的称列）的一个数表，并称它为

mxn 阵。

矩阵通常是用大写字母

A 、

B …来表示。例如一个

m 行n 列的矩阵可以简记为：

示矩阵的行数，第二个注脚字母

j （j = 1, 2,…，n ）表示矩阵的列数。

当m = n 时，则称’

「为n 阶方阵，并用

*表示。当矩阵（丙）的元素仅有

行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即

：，则称该两矩阵相等，记为

A =

B 。

2、三角形矩阵

由i = j 的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，

而另外一侧的元素不为零或不全为零，

则该

矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：

盘

叽

7 +1 十》

°门创说

屍1爲2

0 +1 +3

广

+2 (P < 0

0知丿

务

対

(0 0+6

L +呂

+1」

3、单位矩阵与零矩阵

在方阵-中，如果只有'的元素不等于零，而其他元素全为零，如:

则称为对角矩阵，可记为亠"1「一。如果在对角矩阵中所有的’ ' 彼此

。即:

(2-3)

我们称（2-3）式中的，为矩阵

的元素，a 的第一个注脚字母=….，表

式中：1 '「’。即矩阵C 的元素等于矩阵 A 和B 的对应元素之和。

由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质

(

设

A 、

B 、

C 都是mxn 矩阵)

(1)交换律： A + B = B + A

(2)结合律： (A + B ) + C = A +( B + C )

5、数与矩阵的乘法

我们定义用k 右乘矩阵A 或左乘矩阵A ，其积均等于矩阵- - 中的所有元素都

乘上k 之后所得的矩阵。如:

由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设常数，则：

(1) k (A + B )= kA + kB

(2) ( k + h ) A = kA + hA (3) k (hA )= khA

0 -2

0 1

…0

都相等且均为1，如：

0 …1丿，则称为单位矩阵。单位矩阵常

用

E 来表示，即:

1 0

0 1

E =

9- ■ I

2 0

0 1

当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号 “ 0来表示。

4、矩阵的加法

矩阵A = ( a ij ) mxn 和B = (b ij ) rnxn 相加时，必须要有相同的行数和列数。

m 勺表示矩阵

A 及

B 的和，则有：

如以 C = ( c ij )

A 、

B 都是mXn 矩阵，k 、h 为任意

6、矩阵的乘法

Q c

若矩阵乘矩阵.，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵丈Y 的元

素-的计算方法定义为第一个矩阵第 i 行的元素与第二个矩阵第

若:

A- B = C

则矩阵港^的元素由定义知其计算公式为:

其中:

^*L ：1 —盘1/11十也

￡

61血

+也1』22

Gi =

禺Qu +如妇1

他21岛j +厲地

必竝

知如+七血d

广0 3

1 =

「

1 0

-1

【例2-2】已知：A =

2 b

,B =

2 2

求A 、B 两个矩阵的积。

【解】计算结果如下:

式中:

j 列元素对应乘积的和。

(2-4)

【例2-1】

阵的积。

A 矩阵的列数等于

B 矩阵的行数，故可乘，其结果设为 '」，试求该两矩

C :

-1

「1 1一2 ］丿 io 11 2J

矩阵的乘法具有下列性质:

(1) (2) (3) (4) (kB )。

【例通常矩阵的乘积是不可交换的。矩阵的乘法是可结合的。

设A 是rni X n 矩阵，B 、C 是两个

nxt 矩阵，则有: 设A 是m K n 矩阵，B 是n 沦矩阵。则对任意常数

2-3】用矩阵表示的某一组方程为:

7 AX^L

iixl KX ? fxl iEcl

(2-5)

A (

B +

C )= AB + AC 。 k 有：k (AB ) = ( kA ) B = A r-1

1.1

A —a 设有两矩阵为：

试将矩阵公式展开，列出方程组。【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得:

L — tK] A"] +

- - ■十 jfj.十 /]_

耳=血护]+ Xj +…+安旺十厶

X 二叭丙*4巾+…+時為+廟

可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差

方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中

称为改正数阵，称为误差

X L

方程组的系数阵，■-称为未知数阵，?"称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】设由n 个观测值列

出r 个条件式如下，试用矩阵表示。

盘1%+金此+…+鬲岭+既=0 城；+如；+?? +瓦瞪+霭二0 朋+/+…+比+忆M

爸勺-■

\ 毎-■■比

二

■1 』

尼

旷二密二 ?--

Mxl

柑1

S 弓…I

￡

【解】现

记: 则条件方程组可用矩阵表示成:

￡矿+阱=0

rxe xxl rxl

(2-9)

(2-10)

A =

i …“

x = JU p 3

■ L = nvl

■

耳」

E 切…

■

(2-6)

(2-7)

'巧尢］4~占］花 — 十尙码十￡

&尹L 斗占尹2 4

上2斗

+耳

厲规+ %心+…+尙有4人」

(2-8)

将上式右边计算整理得:

可得方程组:

上式中「弋称为条件方程组的系数阵, 列阵。匸称为改正数阵,

■■'1称为条件方程组的闭

合差