五年级奥数专题图形的计数

1 ?下图中一共有（ ）条线段?

2. 如右上图,0为三角形A 1AA 12的边AA2上的一点,分别连结0 ―

个三角形?

下图中有 三角形. 右上图中共有 梯形.

数一数

（1） 一共有（）个长方

形. ⑵一共有（）个三角形. （1）

6. 在下图中，所有正方形的个数是

7. 在一块画有4 4方格网木板上钉上了 25颗铁钉（如下图），如果用线绳围正方形，最多可以 围出 ____ 个.

—P —0 )―N

Q

X W R

Y V S T U

F :

G 3

H 1 I

9. _________________________________________________________ 如下图,方格纸上放了 20枚棋子,以棋子为顶点的正方形共有 __________________________________ 个.

九图形的计数（A ） ____ 年级

一、填空题

姓名 得分

3. 4. 5. 8. 一块相邻的横竖两排距离都相等的钉板 用皮筋套出正方形和长方形共 _____ 个. ,上面有4 4个钉（如右图）.以每个钉为顶点，你能 ?OA i ，这样图中共有 O

10. 二、解答题 11.右图中共有7层小三角形，求白色小三角形的个数与黑色小三角形的个数之比 下图中，AB CD

现在都是由边. 米、9厘米的大小不同的 方形，除此以外，都'… 方形多少个？白 14.将 7 12. 13. 同 的正方形、它.. .是涂有白色的小L .作 6正方形多少个？』 ABC 的每一边L 1：等分』过各 h.MN 互相平行，则图中梯形个数与三角形个3 米的红色、白色两种正方形分别组成） 们的特点都是正方形的四边的小正 、方形，要组成这样4个大小不同的 」二 ［峑是多少？

厘米、4厘米、8厘 是涂有红颜色的小正 形，总共需要红色正 》点作边的平行线，在所得下图中有多少个平行四边形? M

九图形的计数（B）

____ 年级______ 班姓名_____ 得分

一、填空题

1. 下图中长方形（包括正方形）总个数是_________ .

2. 右上图中有正方形_____ 个,三角形______个,平行四边形______ 个,梯形 ____ 个.

3. 下图中共出现了个长方形?____________

7. 下图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见?图中共有 ________ 小立方体?

8. 右上图中共有_____ 正方形.

9. 有九张同样大小的圆形纸片，其中标有数码“ 1”的有1张；标有数码“ 2”的有2张；标有数码“3”的有3张，标有数码“4”的也有3张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：

如果M位上放置标有数码“ 3”的纸片，一共有____ 种不同的放置方法.

10. 如下图,在2X2方格中、,画一条直线最多可穿过3个方格,在3X3方格中，画一条直线最多

可穿过5个方格.那么10烝姑方格中小一条直线最多可穿过_________ 方格?

二、解答题

11. 把一条长15cm的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少

个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）

12. 有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 和11厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取3根木条作为三条边.可围成一个三角形，如果规定底边是11厘米长,你能围成多少个不同的三角形？

13. 下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个）, 以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形.在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？

14. 有同样大小的立方体27个,把它们竖3个,横3个,高3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体（见图）.如果用1根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话，最多可以穿透几个小立方体？

1 . 30

由例1注可知图形中每边有3+2+1=6（条）线段，因此整个图形中共有 6 5=30条线段.

2. 37

将一A1AA12分解成以OA为公共边的两个三角形.OAA中共有5+4+3+2+仁15个）三角形,

OAA12 中共有6+5+4+3+2 '

+1=21（个）三角形,这样,图中共有15+21+仁37（个）三角形.

3. 15

这样的问题应该通过分类计数求解.此题中的三角形可先分成含顶点C的和不含顶点C的两大类.含顶点C的又可分成另外两顶点在线段AB上的和在线段BD上的两小类.分类图解如下：

所以

D

原图有

(3+2+1)+(3+2+1 =15( B

4. 18B

梯形

5. B08,36

（1）因为长方形是由长和宽组成的，因此可分别考虑所有长方形的长和宽的可能种数?按照前面所介绍的线段的计数方法可分别求出长和宽的线段条数，将它们相乘就是所有长方形的个数?因为AB边上有8+7+6+…+2+1=空=36条线段，AD边上有2+1=3条线段，所以图中一共有

2

36 3=108个长方形.

（2）三角形一共有6行，每行都有3+2+仁6（个）,所以一共有6 6=36（个）三角形.

6. 30

由例5注可知整个图形中共有12+22+32+42=30个正方形.

7. 50

此类问题一般用分类方法计数.对正方形的边长分八类计数如下：边长为AB的正方形有16个；

边长为AC的正方形有9个；

边长为AD的正方形有4个；

边长为AE的正方形有1个；

边长为DF的正方形有9个；

边长为CF的正方形有8个；

边长为BF的正方形有2个；

边长为CG的正方形有1个. 所以,最多可围出50个正方形.

8. 44

因为正方形是特殊的长方形，所以可以把正方形看成长方形，这样就不必分别求正方形和长方形

的个数，仍用分类计数的方法求解.

先考虑有一组对边平行于BC的长方形有多少个.这一类按其水平边的位置可分为6小类,即位置在BF、FE、EC FC BE BC同样,其竖直边也分为6类.所以这一类有6 6=36个长方形.

另一类是没有边平行于BC 的.这一类又分类两小类分解图如下页图所示，其中分别有6个和2 个长方形?

设相邻两点的距离

为 面积为2的有4个； 面积为5的有2个； 面 面积为，…

所以，共有9+4+2+4+2=21个正方形.

10. 30

将原立体图形从左至右分类计算，共有 11+7+5+7=30个.

11. 白色小三角形个数=1+2+3+…+6=(1

6) 6 =21, 2 黑色小三角形个数=1+2+3+…+7=(1

7) 7 =28,

2 所以它们的比二辺二3.

28 4 12. 解法一

本图中三角形的个数为(1+2+3+4) 4=40(个).下面求梯形的个数.梯形由两底唯一确定.首先 在

ABCDEFMN 中,考虑两底所在的线段,共有(4 3) 2=6(种)选法；对上述四条线段中确定的两 条线段，共有10 (10=4+3+2+1个梯形.共60个梯形.故所求差为20.

解法二

在图三中可数出4个三角形,6个梯形,梯形比三角图形图形多2个.而在题图中,这种恰有10 个.故题图中，梯形个数与三角形的个数之差为 2 10=20(个).

13. 边长2厘米的正方形：

2 2=4(个)

……红色 边长4厘米的正方形

(4-1) 4=12 (个)

……红色 (4-2) (4-2)=4(个)

……白色 边长8厘米的正方形

(8-1) 4=28(个)

……红色 (8-2) (8-2)=36(个)

……白色 边长9厘米的正方形

(9-1) 4=32(个)

……红色 (9-2) (9-2)=49(个)

……白色

所以,红色小正方形共有

形的面积大小分类计数.

，则正方形面积勺

勺

所以,

9. 2

方形和长方形

4+12+28+32=76(个)

白色小正方形共有

4+36+49=89(个)

［注］本题的要求是由边长为1厘米的红色和白色两种正方形，分别组成边长是2厘米,4厘米,8 厘米,9厘米的大小不同的正方形，可以看作方阵问题来解.四周的小正方形是涂红色的，可看成是空心方阵，因此，涂红色正方形的个数等于4 (n-1).其他小正方形是涂白色的，可当作实心方阵，所以，涂白色的正方形的个数等于(n-2) (n-2).比如,由边长为1厘米的正方形组成边长为9厘米的正方形，涂红色的小正方形的个数是:4 (9-1)=32(个),涂白色的小正方形的个数

是:(9-2) (9-2)=49(个).

14. 将平行四边形分为三类：①尖角在上、下方；②尖角在左下、右上方；③尖角在左上、右下方.

就第①类而言:._j型6个；—7型3个，与其对称的3个；

.型1个，与其对称的1个■型1个；共15个.同理,第②、③类也分别含15个，故上述三类平行四边形共45个.

［注］这样数平行四边行，很麻烦,又易出错.我们试图找到一种对应关系:先考虑任一边

不与BC平行的平行四边形，延长各边必与BC有4个交点，特殊情况下，第二个交点与第三个

交点重合；反过来，BC上的任意四点或三点决定一个平行四边形，也就是说，边不与BC

平行的平行四边形的个数与BC上的四交点组和三交点组的数目一样多。

由于BC上有5个交点，其中可构成5个4点组；10个3点组，即边不平行于BC的平

行四边形有15个。

同理分别考虑边不平行AB CD的平行四边行。

由此可知，共有45个平行四边形。

----------------------------- 答案

1. 90

利用例1和例4公式可直接计算：

(5+4+3+2+1) X (3+2+1)

=15X6

=90(个)

［注］注意，由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长方形个数时，不必把正方形分幵考虑.

2. 3个正方形;18个三角形；6个平行四边形；8个梯形.

3. 18

根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的个数为(2+1) X (2+1)=9 个;然后在图(1) 的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1) X (2+1)=9个.至此已将图(1)还原为题图，同