数值分析版试题及答案
数值分析版试题及答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
例1、已知函数表
求()
f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。
解:
(1)由题可知
插值基函数分别为
故所求二次拉格朗日插值多项式为
(2)一阶均差、二阶均差分别为
均差表为
故所求Newton 二次插值多项式为
例2、 设2()32f x x x =++,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{}
span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。
解:
若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,且()1x ρ=,这样,有 所以,法方程为
011231261192
34a a ??????????=??????????
??????????
,经过消元得012311
62110123a a ???
???????=???????????????????? 再回代解该方程,得到14a =,011
6
a =
故,所求最佳平方逼近多项式为*
111
()46
S x x =
+ 例3、 设()x f x e =,[0,1]x ∈,试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=,{}span 1,x Φ=的最佳
平方逼近多项式。
解:
若{}span 1,x Φ=,则0()1x ?=,1()x x ?=,这样,有 所以,法方程为
解法方程,得到00.8732a =,1 1.6902a =, 故,所求最佳平方逼近多项式为
例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。 解:
(1)用4n =的复合梯形公式
由于
2h =,()f x =,()121,2,3k x k k =+=,所以,有 (2)用4n =的复合辛普森公式
由于2h =,()f x =,()121,2,3k x k k =+=,()1
2
220,1,2,3k x
k k +
=+=,所以,有
例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。 解:先消元
再回代,得到33x =,22x =,11x =
所以,线性方程组的解为11x =,22x =,33x = 例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。 解: 设
则由A LU =的对应元素相等,有
1114u =
,1215u =,131
6
u =, 2111211433l u l =?=,3111311
22
l u l =?=,
2112222211460l u u u +=
?=-,2113232311
545
l u u u +=?=-, 3112322232136l u l u l +=?=-,31133223333313
215
l u l u u u ++=?=
因此,
解Ly b =,即12310
094
108382361y y y ??
????
???????
?=????????????????-?
?,得19y =,24y =-,3154y =- 解Ux y =,即1
231
1
14569110
46045
1541300
15x x x ??
???????
????
???--=-??????????-???????????
?
,得3177.69x =-,2476.92x =,1227.08x =-
所以,线性方程组的解为1227.08x =-,2476.92x =,3177.69x =-
1、若A 是n n ?阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ,使LU A =唯
一成立。 ( )
2、当8≥n 时,Newton -cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
( )
3、形如
)
()(1
i n
i i b
a x f A dx x f ∑?=≈的高斯(Gauss )型求积公式具有最高代数精确度的
次数为12+n 。 ( )
4、矩阵
??
??? ??=210111012A 的2-范数2A =9。( ) 5、设
??
??? ??=a a a a A 000002,则对任意实数0≠a ,方程组b Ax =都是病态的。(用∞
?) ( )
6、设n
n R
A ?∈,n
n R
Q ?∈,且有I Q Q T
=(单位阵),则有22QA A =。
( )
7、区间[]b a,上关于权函数)(x
W的直交多项式是存在的,且唯一。()
1、(Ⅹ)
2、(∨)
3、(Ⅹ)
4、(∨)
5、
(Ⅹ) 6、(∨)7、(Ⅹ) 8、(Ⅹ)
一、判断题(10×1′)
1、若A是n阶非奇异矩阵,则线性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求
解。( × )
2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。
( ? )
3、若A为n阶方阵,且其元素满足不等式
则解线性方程组AX=b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。
( × )
4、样条插值一种分段插值。
( ? )
5、如果插值结点相同,在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。
( ? )
6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截
断误差及舍入误差。
( ? )
7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b。
( × )
8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最
后一步迭代计算的舍入误差。
( × )
9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差,则误差的最佳分配原
则是截断误差=舍入误差。
( ? )
10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。
( × )
1.用计算机求1000
1000
1
1
n
n
=
∑时,应按照n从小到大的顺序相加。
()
2.为了减少误差,
进行计算。
(对)
3.用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。
()
4. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演
变方式有关,与常数项无关。 ( )
复习试题
一、填空题:
1、
?????
?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ???
?????????=?
??????????
?。
答案:
??
????????--??????????--=1556141501
4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得
?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案:2.367,0.25
3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2
x 的系数
为 ,拉格朗日插值多项式为 。
答案:-1,
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字;
5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( );
答案
)(1)(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
6、对1)(3
++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 );
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差;
8、用二分法求非线性方程f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限
为( 1
2+-n a b );
10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为
( 0.15 );
11、 两点式高斯型求积公式?1
d )(x
x f ≈(
?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f ),代数
精度为( 5 );
12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式
均不为零)。
13、 为了使计算 32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该
表达式改写为
11
,))64(3(10-=
-++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式
19992001-改写为 199920012
+ 。
14、 用二分法求方程01)(3=-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在
区间为 0.5,1 ,进行两步后根的所在区间为 0.5,0.75 。 15、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为
0.4268 ,用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。
16、 求解方程组???=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?
????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1
k k k k x x x x ,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121
。
17、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿
插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。
18、 求积公式
?∑=≈b
a k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,
具有( 12+n )次代数精度。
19、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
20、 设f (1)=1, f (2)=2,f (3)=0,用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。
21、如果用二分法求方程043
=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分
( 10 )次。
23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则
∑==
n
k k
x l
0)(( 1 ),∑==
n
k k j
k x l
x 0
)((j x ),当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n
k k ( 32
4++x x )。
26、改变函数f x x x ()=+-1 (x >
>1)的形式,使计算结果较精确 ()x x x f ++=
11
。
27、若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要求精确到第3位小数,则需要对分 10 次。
29、若用复化梯形公式计算?1
dx
e x ,要求误差不超过6
10-,利用余项公式估计,至
少用 477个求积节点。
30、写出求解方程组??
?=+-=+24.01
6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式
()()
()() ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ,迭代矩阵为
????
??--64.006.10,此迭代法是否收敛 收敛 。
31、设
A =?? ?
??
5443,则=∞A 9 。
32、设矩阵482257136A ????=??
????的A LU =,则U =
4820161002U ??????=??
??-???? 。 33、若4
321()f x x x =++,则差商2481632[,,,,]f = 3 。
34、数值积分公式1
12
18019()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为
2 。
35、 线性方程组121015112103x ????
????????=?????
???????的最小二乘解为 11?? ??? 。
36、设矩阵
321204135A ????=??
????分解为A LU =,则U = 32141003321002??
????
??-??????
?
? 。 二、单项选择题:
1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是( C )。 A .A 的各阶顺序主子式不为零 B . 1)( 2、设 ?? ??? ?????--=700150322A ,则)(A ρ为( C ). A . 2 B . 5 C . 7 D . 3 3、三点的高斯求积公式的代数精度为( B )。 A . 2 B .5 C . 3 D . 4 4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中,A 须满足的条件是( B )。 A . 对称阵 B . 正定矩阵 C . 任意阵 D . 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 B .模型准确值与用数值方法求得的准确值 C . 观察与测量 D .数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。 A . 6 B . 5 C . 4 D . 7 7、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A . 模型 B . 观测 C . 截断 D . 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A .控制舍入误差 B . 减小方法误差 C .防止计算时溢出 D . 简化计算 9、用1+3x 近似表示3 1x 所产生的误差是( D )误差。 A . 舍入 B . 观测 C . 模型 D . 截断 10、-324.7500是舍入得到的近似值,它有( C )位有效数字。 A . 5 B . 6 C . 7 D . 8 11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A . –0.5 B . 0.5 C . 2 D . -2 12、三点的高斯型求积公式的代数精度为( C )。 A . 3 B . 4 C . 5 D . 2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。 (A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10-2 (C) 235.418 (D) 235.54×10-1 14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根,把方程f(x)=0表示成x=?(x),则 f(x)=0的根是( B )。 (A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组??? ??-=+--=-+-=+-1 340921433 21321321x x x x x x x x x ,第1次消元,选择主元为 ( A ) 。 (A) -4 (B) 3 (C) 4 (D)-9 16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x1)(x -x2)…(x-xn -1)(x -xn), (B) )!1() ()()()()1(+= -=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x -x1)(x -x2)…(x-xn -1)(x -xn), (D) ) ()!1() ()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ 17、等距二点求导公式f?(x1) ?( A )。 18、用牛顿切线法解方程f(x)=0,选初始值x0满足( A ),则它的解数列 {xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。 19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成下列形 式,并建立相应的迭代公式,迭代公式不收敛的是(A )。 (A)1 1:,1 1 12-=-= +k k x x x x 迭代公式 (B) 21211:,11k k x x x x +=+ =+迭代公式 (C)3 /12123) 1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D) 11:,12 2 1 2 3+++==-+k k k k x x x x x x 迭代公式 21、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)() 1(收敛的充要条件是 ( )。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 22、在牛顿-柯特斯求积公式: ? ∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数)(n i C 是负值 时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n , 23、有下列数表 所确定的插值多项式的次数是( )。 (1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次 25 、取1732.≈ 计算4 1)x =,下列方法中哪种最好?( ) (A)28- (B)24(-; (C ; 。 27、由下列数表进行Newton 插值,所确定的插值多项式的最高次数是( ) (A)5; (B)4; (C) 3; (D ) 2。 28、形如112233()()()() b a f x dx A f x A f x A f x ≈++? 的高斯(Gauss )型求积公式的代数 精度为( ) (A)9; (B)7; (C ) 5; (D) 3。 29Newton 迭代格式为( ) (A) 132k k k x x x += +;(B )1322k k k x x x +=+;(C) 122k k k x x x +=+;(D) 133k k k x x x +=+。 30、用二分法求方程32 4100x x +-=在区间12[,]内的实根,要求误差限为 3 1 102ε-=?,则对分次数至少为( ) (A )10; (B)12; (C)8; (D)9。 32、设()i l x 是以019(,,,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数,则 9 ()i k kl k == ∑( ) (A)x ; (B )k ; (C )i ; (D )1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式,至少具有( )次代数精度 (A )5; (B)4; (C)6; (D)3。 35、已知方程3 250x x --=在2x =附近有根,下列迭代格式中在02x =不收敛的是 ( ) (A)1k x += (B)1k x += (C )315k k k x x x +=--; (D) 3 1225 32k k k x x x ++=-。 36、由下列数据 确定的唯一插值多项式的次数为( ) (A ) 4; (B)2; (C)1; (D)3。 37、5个节点的Gauss 型求积公式的最高代数精度为( ) (A)8; (B )9; (C)10; (D)11。 三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打?,否则打?) 1、 已知观察值)210()(m i y x i i ,,,, , =,用最小二乘法求n 次拟合多项式)(x P n 时,)(x P n 的次数n 可以任意取。 ( ) 2、 用1-22 x 近似表示cos x 产生舍入误差。 ( ) 3、 ))(() )((210120x x x x x x x x ----表示在节点x 1的二次(拉格朗日)插值基函数。 ( ? ) 4、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的 结果。 ( ? ) 5、矩阵A =? ???? ? ?-521352113具有严格对角占优。 ( ) 四、计算题: