高考数学(理科)前三道大题冲刺训练及答案(整理)之欧阳文创编
A B
C
D
E
F 高考数学理科前三道大题冲刺训
练
时间:2021.03.12
创作:欧阳文
1.某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近50天的统计结果如下:
(2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立.
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概
率;
②已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元),求ξ的分布列. 2.(本小题满分14分)如图,多面体ABCD EF -中,ABCD
是梯形,CD AB //,ACFE 是矩形,平面⊥ACFE 平面
ABCD ,a AE CB DC AD ====,2π
=
∠ACB .
(1)若M 是棱EF 上一点,//
AM 平面
BDF ,求EM ;
(2)求二面角D EF B --的平面角的余弦值. 3.(本小题满分12分)己知点(1,0),(0,1),(2sin cos )A B C θθ,.
(1)若(2)1OA OB OC +=,其中O 为坐标原点,求sin 2θ的值;
(2)若AC BC =,且θ在第三象限.求sin()3π
θ+
值.
4.(本小题满分13分)
一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了10 000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如图).
(1)为了分析居民的收入与年龄、学历、职
日销售量 1 1.5 2 频数 10 25 15 频率
0.2
O
月收入(元)
频率组距
0.0001
0.0002
0.00030.00040.0005
业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,求月收入在[1500,2000)(元)段应抽出的人数;
(2)为了估计该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000,3000)(元)的概率,采用随机模拟的方法:先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数,我们用0,1,2,3,…表示收入在[2000,3000)(元)的居民,剩余的数字表示月收入不在[2000,3000)(元)的居民;再以每三个随机数为一组,代表统计的结果,经随机模拟产生了20组随机数如下:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计,计算该社区3个居民中恰好有2个月收入在[2000,3000)(元)的概率.
(3)任意抽取该社区6个居民,用ξ表示月收入在(2000,3000)(元)的人数,求ξ的数学期望。
5. (本小题满分12分)在ABC ?中,a b c 、、分别为角
A B C 、、的对边,△ABC
的面积S 满足3
cos S bc A =
.(1)求角A 的值;(2)若3a =,设角B 的大小为,x 用x 表示c ,并求c
的取值范围.
6.(本小题满分12分)
某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现
采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两个
科室中共抽取3名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查.
(1)求从甲、乙两科室各抽取的人数;
(2)求从甲科室抽取的工作人员中至少有1名女性的概率;
(3)记ξ表示抽取的3名工作人员中男性的人数,求ξ的分布列及数学期望.
7. (本小题满分14分)
已知数列{}n a 是首项11a =,公差大于0的等差数列,其
D
C
B
A
P 前n项和为n S ,数列{}n b 是首项12b =的等比数列,且2216b S =,3372b S =.
(1) 求n a 和n b ;
(2) 令11c =,221k k c a -=,212k k k c a kb +=+(???=,3,2,1k ),求数列{}n c 的前12+n 项和12+n T . 8.(本小题满分14分)
已知如图5,四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为矩形,且PA=AD=1,AB=2,120PAB ∠=,90PBC ∠=. (1)求证:平面PAD ⊥平面PAB ;
(2)求三棱锥D -PAC 的体积;
(3)求直线PC 与平面ABCD 所成角的正弦值.图5
9、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5,购买乙种商品的概率为0.6,且购买甲种商品与购买乙种商品
相互独立,各顾客之间购买商品也是相互独立的。
(Ⅰ)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅱ)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率;
(Ⅲ)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数,求ξ的分布列及期望。
6、设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,
*n ∈N .
(Ⅰ)设3n n n b S =-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围.
1.(本小题满分12分)解:(1 ) 求得=a 0.5 =b 0.3.
(2)①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5吨的概率
5.0=p
设5天中该种商品有X 天的销售量为 1.5吨,则X ~B (5,0.5)
②ξ的可能取值为4,5,6,7,8,则04.02.0)4(2===ξP 2.05.02.02)5(=??==ξP ,37.03.02.025.0)6(2=??+==ξP 3.05.03.02)7(=??==ξP ,09.03.0)8(2===ξP ξ的分布列:
ξ
4 5 6 7 8 p
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
2.(本小题满分14分)
解(1)连接BD ,记O BD AC = ,在梯形ABCD 中,因为
a CB DC AD ===,CD
AB //,所以DAC CAB ACD ∠=∠=∠,
2
3π
π+
∠=∠+∠+∠=∠+∠=DAC ACB ACD DAB BCD ABC ,
6
π
=
∠DAC ,
从而
6
π
=
∠CBO ,又因为
2
π
=
∠ACB ,a CB =,所以
a CO 3
3
=
,连接FO ,由//AM 平面BDF 得FO AM //,因为ACFE 是矩形,所以a CO EM 3
3
==。
(2)以C 为原点,CA 、CB 、CF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建
立空间直角坐标系,则)0 , 0 , 0(C ,)0 , 0 , 3(a A ,
)0 , , 0(a B ,)0 , 2
, 23(
a
a D -,) , 0 , 0(a F ,) , 0 , 3(a a E , 设平面DEF 的一个法向量为) . . (1t s r n =, 则有
?????=?=?0
11n EF n ,即
?????=?+?+?-
=?022
30
3t a s a
r a r a , 解得
)1 . 2 . 0(1-=n ,
同理可得平面BEF 的一个法向量为)1 . 1 . 0(2=n
观察知二面角D EF B --的平面角为锐角,所以其余弦
值为10
10|
|||cos 2121==n n θ
。 5.解:(1)在ABC ?
中,由cos S A =
1
sin 2
bc A =
得tan A =
∵0A π<<∴3
A π
=
---------------------------------
----------5分 (2)由3,3
a A π
==
及正弦定理得32sin sin 3a c A
C
===,------------7分
∴22sin 2sin()2sin()3
c C A B x ππ==--=---------------------------9分 ∵3
A π
=
∴
203
x π<<
∴
22033
x ππ<
-<--------------------10
分
∴20sin(
)13x π<-≤,202sin()23
x π
<-≤ 即(0,2]c ∈ --
------12分
6.解:(1)从甲组应抽取的人数为3
10215
?=,从乙组中应抽取的人数为
3
5115
?=;--------2分
(2)从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率
26210213
C P C =-=(或1124642
102
3C C C P C +==) (3)ξ的可能取值为0,1,2,3
21
42211054
(0)75
C C P C C ξ==?=,
1111246324212110510522
(1)75C C C C C P C C C C ξ==?+?=
, 2163211051
(3)5
C C P C C ξ==?=,
34
(2)1(0)(1)(3)75
P P P P ξξξξ==-=-=-==
(或 2111166432212110510534
(2)75
C C C C C P C C C C ξ==?+?=)-------10
分
∴ξ的分布列如右
4223419012375757555
E ξ=?
+?+?+?=-------------------------
--------12分
7.解:(1)设数列{}n a 的公差为d (0d >)数列{}n b 的公比为q , 则1(1),n a n d =+-12n n b q -=
P
A B
C
D
E 依题意得222(2)16b S q d =+=,233
2(33)72b S q d =+= 由此得2
(2)8
(1)12
q d q d +=??
+=?∵0d >,解得2
2
d q =??
=?.-∴21n a n =-,2n
n b =.
(2) ∵()21112
1342()2n T c a a b a a b +=++++++?+???212()n n n a a nb -+++
=2121(2)n n S b b nb +++
+???+
令122n A b b nb =+++ 则22222n A n =+?++?
212222n n A n +-=+++-?,∴11222n n A n ++=?-+
又2222(1)
42
n n n a S n +=
=, ∴2112114222n n n T n n +++=++?-+2134(1)2n n n +=++-.
8. (1)证明:∵ABCD 为矩形 ∴AD AB ⊥且//AD BC ∵BC PB ⊥∴DA PB ⊥且AB PB B =
∴DA ⊥平面PAB ,又∵DA ?平面PAD ∴平面PAD ⊥平面
PAB
(2) ∵D PAC P DAC P ABC C PAB V V V V ----===-
由(1)知DA ⊥平面PAB ,且//AD BC ∴BC ⊥平面PAB ∴111
sin 332
C PAB
PAB V S BC PA AB PAB BC -?=?=???∠?11216=??=---10分
(3)解法1:以点A 为坐标原点,AB 立空间直角坐标系如
右图示,则依题意可得(0,0,1)D ,(0,2,1)C ,1
,0)2
P -
可得35
(,,1)22
CP =--,
平面ABCD 的单位法向量为(1,0,0)m =,设直线PC 与平面
ABCD 所成角为θ,
则cos()28||||1m CP m CP πθ?-===?? ∴sin 8θ=,即直线PC 与平面ABCD
解法2:由(1)知DA ⊥平面PAB ,∵AD ?面ABCD
∴平面ABCD⊥平面PAB, 在平面PAB 内,过点P 作PE ⊥
AB ,垂足为E ,
则PE ⊥平面ABCD ,连结EC ,则∠PCE 为直线PC 与平面ABCD 所成的角
在Rt△PEA 中,∵∠PAE=60°,PA=1,∴2
PE =,
又
2222cos1207PB PA AB PA AB =+-?=∴PC ==
在Rt△PEC
中sin
8
PE PC θ=
==.即直线PC 与平面ABCD 所
成角的正弦值
2、【解】:记A 表示事件:进入商场的1位顾客购买甲种商品,
记B 表示事件:进入商场的1位顾客购买乙种商品,
记C 表示事件:进入商场的1位顾客购买甲、乙两种
商品中的一种,
记D 表示事件:进入商场的1位顾客至少购买甲、乙
两种商品中的一种, (Ⅰ)C A B A B =?+?
(Ⅱ)D A B =?()()P D P A B =?()()P A P B =?0.50.4=?0.2= (Ⅲ)()3,0.8B ξ,故ξ的分布列 所以30.8 2.4E ξ=?= 6、解:
(Ⅰ)依题意,113n n n n n S S a S ++-==+,即123n n n S S +=+,
由此得1132(3)n n n n S S ++-=-. ·············· 4分 因此,所求通项公式为
13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .① (6)
分
(Ⅱ)由①知13(3)2n n n S a -=+-,*n ∈N ,于是,当2n ≥时,
1n n n a S S -=-
1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---?1223(3)2n n a --=?+-, 1
2
143
(3)2
n n n n a a a --+-=?+-22
32
1232n n a --????=+-?? ???????
, 当2n ≥时,
2
1312302n n n a a a -+??
?+- ?
??
≥≥9a ?-≥.
又2113a a a =+>.
综上,所求的a 的取值范围是[)9-+∞,. ········
12分