中考数学专题复习(二)圆 完整 优质 新颖

专题二：圆

知识要点扫描归纳

一 圆的基本概念

（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。

（2）确定圆的条件；

①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；

（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ； ②点在圆上?d=r ； ③点在圆内? d ＜r ；

（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。

（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。

（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。

二 圆中的重要定理

1．垂径定理及其推论：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．

推论1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分

弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．

推论2：圆的平行弦所夹的弧相等．

2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．

在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：

圆心角相等←??

→←??→←??→所对所对所对

弧相等弦相等弦心距相等 3．圆周角

①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．

②定理及推论

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o 的圆周角所对的弦是直径．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．

三、直线和圆的位置关系：

1．直线和圆的位置关系的定义及有关概念

（1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．

（2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）

这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）

2．直线和圆的位置关系性质和判定

如果⊙O 的半径r ，圆心O 割直线l 的距离为d ，那么（1）直线l 和⊙O 相交d r ?<（图

1）；（2）直线l 和⊙O 相切d r ?=（图2）；（3）直线l 和⊙O 相离d r ?>（图3）．

四、切线的判定和性质：

（一）切线的判定

1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．

（二）切线的性质

1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2．切线的性质：

（1）切线和圆只有一个公共点；

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图2

l 图1

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图2

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图3