当代知识论:概念、背景与现状概要

当代知识论:概念、背景与现状概要
当代知识论:概念、背景与现状概要

[ 06-05-29 08:31:00 ] 作者:陈嘉明编辑:studa9ngns

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对“当代知识论”一词的界定,可有广义与狭义之分。广义的知识论,包括一般哲学意义上的有关认识问题的论述,如伽达默尔的解释学与利奥塔的后现代主义哲学等,都涉及在文化层面上的对认识与知识问题的阐述,因此都属于广义上的知识论。狭义上的知识论则特指对知识问题进行专门研究的“分析的知识论”,它们往往并不涉及某种特殊的知识背景,而专就知识的某些问题,如知识的定义与条件、怀疑论问题、确证问题等进行研究。本文所论就的乃是后者,即狭义的分析的知识论,旨在对其相关的概念、背景、现状与问题作些概括性的描述和说明。

一、“知识论”的概念

“知识论”(epistemology,或theory of knowledge) ,简言之是有关知识的理论,即对什么是知识做出分析与说明。在西方哲学中,古代与近代的哲学家们有关知识论的研究主要是从人的认识能力的角度进行考察的,也就是说,把有关认识的研究建立在人的感性和理性的基础上,从而产生了经验主义与理性主义的不同理论主张。这种意义上的认识理论,用康德的经典性表述来说,是研究有关认识的“起源、范围及其客观有效性”。①因此,这种形态的认识理论主要是发生学意义上的,它们从研究认识的起源(感性和理性)开始,到探讨认识的有效性(普遍必然性、客观有效性等),并断定认识的范围(是否只是在可见的现象、经验范围之内)。也正是由于这种认识理论的发生学性质,所以国内哲学界以往一般将epistemology称为“认识论”②本人之所以将epistemology称为“知识论”,主要是由于在当代知识理论中,它的研究内容有较大的变化,从有关认识的发生学的研究,转变为有关知识本身之所以为真的条件的研究,特别是有关知识的确证(justification) 问题的研究。我们可以从1995年出版的《剑桥哲学辞典》的定义中看出这一点。在那里,知识论被界定为有关“知识与确证性质的研究,特别地,有关(a)知识与确证的确定特征,(b)实质条件,以及(c)它们的界限的研究。”③因此,我认为使用“知识论”一词,能够更为准确地表现当代这一学科的内涵。

在当代知识论者那里,他们对于知识论的研究对象的理解,由于先前历史背景的影响,也表现为一个变化的过程。在20世纪60-70年代的先期的哲学家那里,还保留有较明显的近代认识论的痕迹。例如齐硕姆

(Roderick M. Chisholm)延续了“我们认识什么?”与“我们如何确定我们是否认识”这两个知识论的传统问题,以它们作为知识论的基本问题。他认为,前一个问题也可表述为“什么是我们认识的范围”,后一个问题则可表述为“什么是认识的标准”。它们之间有着一定的联系。如果我们能够指认出知识的标准,从而能够具有一个确定是否我们认识的程序,那我们也就能够确定认识的范围。另一方面,如果我们能够确定我们认识的范围,从而知道什么样的事情是我们所认识的,我们也就能够形成区别我们所认识的与不认识的事情的标准。反之,如果我们无法回答其中的一个问题,也就同样无法给出另一个问题的答案。齐硕姆上述对知识论问题的表述与阐释,可以作为一个缩影,使我们从中看到当时的知识论者依然受到的近代认识论的影响。这主要表现在知识论研究对象的基本框架上,其中他所说的“我们认识什么”直接就是康德的“我能够认识什么”的翻版,而“认识的范围”的提法,则更浓厚地表现着从

休谟的经验主义到康德的先验主义的印记。传统认识论问题对齐硕姆的影响,还可以从他著作中所讨论的问题看出。在他的代表作《知识论》一书中,上述两个问题构成其理论的基本框架,在那里知识与意见、证据问题、知识标准问题,以及真理问题成为集中探讨的对象。这些与中国学者所熟悉的近代认识论在某些方面有似曾相识的感觉。

不过,随着60年代“葛梯尔问题”的提出,以及相关的知识条件与确证问题的探讨的不断深入,和相伴随的不同流派的产生,确证问题作为当代知识论中心问题的状态愈发突显出来。在所形成的“内在主义”与“外在主义”两大流派那里,所争论问题的焦点正是知识如何能够达到它的确证性。内在主义主张这是通过把握认识者的内在认识状态达到的,而外在主义者则认为这依赖于一个可信赖的认识过程,其中至少某些因素是外在于认识者的。知识论所探讨的中心问题的转移,直接体现在这方面论著框架的变化上。例如,当代一位有影响的知识论者邦久(Laurence BonJour),就明确宣称知识的确证概念是所有知识论的核心概念。在他那里,确证意指的是为信念或判断提供某些符合认识标准的理由或证据,因此确证的作用在于构成认识达到真理的道路,它对于认识达到其把握真理的目标来说是本质性的,它与真理之间具有内在的联系。邦久并由此把经验知识论的任务确定为两个部份。第一部份给出关于知识确证的标准的说明,第二部份则提供对第一部份提出的标准的“元确

证”(metajustification),也就是用以证明这些标准是足以产生真理的(truth-conductive) ,是能够作为人们达到认识的主要目标的合理工具。类似邦久这样的对知识论核心问题的理解,在当代知识论者那里是很普遍的。因此一般来说,在他们的论著中呈现的是有关确证问题的不同主张,以及相关的表现为内在主义(包括基础主义与一致主义)与外在主义的争论。这样的知识论概念对于中国学者来说,就是比较陌生的了。

二、当代知识论发展的背景

要了解当代知识论,理应对它在20世纪的理论背景先有所了解。20世纪西方知识论的发展,我认为大致可划分为三个阶段。一是逻辑经验论的基础主义阶段,二是反逻辑经验论的基础主义的阶段;三是当代的分析知识论阶段。应当说明的是,这里所说的“当代”概念,大致指的是60年代中期以后这段时期。之所以如此,是因为如同前面提及的,在1963年有一篇重要的文章,即葛梯尔(Edmund Gettier)的“确证的真信念是否为知识”发表,它引发了热烈的知识论问题讨论,并使知识论关注的主要对象转向知识的条件与确证问题。因此本人以此文章的发表为界,来提出“当代知识论”的概念。虽然从时间的跨度来说,这里的“当代”的概念似显得长了一些,但由于理论问题本身所具有的内在联系性质,因此从它们共同的论题所构成的论域,以及所表现出的理论形态来说,这样的划分应当是恰当的。

1.逻辑经验论的基础主义阶段

知识论作为哲学的一个主要分支,其理论是以哲学(尤其是形上学)的理论形态密切结合的。20世纪上半叶哲学的主流思潮是分析哲学的早期形式,即从罗素与维特根斯坦的逻辑原子主义到维也纳学派的逻辑经验主义。逻辑原子主义与逻辑经验主义,从知识论的角度说,它们具有一个共同点,都表现为一种“基础主义”。这种基础主义的思想是与20世纪早期数学与科学领域中的还原主义主张相一致的。在数学领域中,这种还原主义试图把数学还原为逻辑,而在科学领域中,逻辑经验主义者则试图把有关世界的语句还原为可观察的语句,以

及逻辑与集合论。

20世纪西方哲学的知识论,一般认为肇始于罗素。①罗素的知识论的基础主义观念表现在,作为认识公设的基本原则,他把经验看作是由某种非经验的、作为原因的物体事件所引起的,并且在他所做出的关于“获知”与“描述”的知识不同层次的区分中,把前者由直接经验所获得的感性质料看作是所有我们有关外部特殊物的认识的基础,它们是不依赖于其他知识的基础知识,并能为其他非基础性的知识提供支持。

逻辑经验主义极大地强化了这种基础主义的观念,并以一种构造“科学语言”的方式表现出来。其基础主义观点表现在,它以之作为核心的命题意义的证实问题,被还原为观察语言与协议(protocol)语言如何能够被证实的问题。此外,对于逻辑经验主义来说,其基础主义的特征还表现在以不可错性(incorrigibility) 概念,来为科学的可观察语句提供安全的基础。

从根本上说,逻辑经验主义的这种基础主义观念是以“给定

者”(the given) 这一概念为支撑点的。在他们那里,这一概念构成了“知识大厦的基础”。“给定者”的问题也因此成为30后期至40年代主导性的知识论问题。①所谓“给定者”概念,虽然在哲学史上有着一些不同的表现方式,但作为一个哲学用语,是由刘易斯在其《心与世界秩序》一书中首先使用的,用以指一种有关感觉质料的理论,指对感性经验内容的直接把握。

2.反逻辑论的基础主义的阶段

对逻辑经验主义的这种基础主义观念的批评,主要来自于日常语言哲学家,其中奥斯汀(John Langshaw Austin)的批评最为有力。他的批评的要害在于逻辑经验主义的“不可错”(incorrigibility)概念。他认为,任何有关知觉经验的命题,不论它是多么精细,都无法避免被驳斥的命运。无论我们如何小心与努力,也无法构造这样的语句,而且人们总是有着许多理由来怀疑存在这类语句的需要。对于作为基础主义观念的支撑点的“基础证据”概念,奥斯汀做出这样的批评。他写道,“关于证据的这种想法,即存在某种特殊的、能使其他语句建立于它之上的作为证据的语句,至少有这么两个错误。首先,情况并非如这种学说所蕴含的那样,只要一作出有关‘物体对象’的陈述,陈述者就必定具有、或能够产生有关这种对象的足够证据。这似乎听起来是足以可能的,然而它却包含着一个关于‘证据’概念的大误用。实际情况是,当我作出某一动物是猪的陈述时,这一动物本身并不需要实际出现在我眼前,不过我却能够看到大量的猪一样的形象,并据此在猪不出现时做出这样的陈述,而且能够被恰当地认为具有证据。”①等等。这里,奥斯汀从他关于言语乃是一种行为的哲学出发,否认“陈述”与“证据”之间的必然关联。因为按照他的言语行为哲学,言语的任何陈述、描述或报道,都是在完成一种行为,因此除了有关陈述的真假问题之外,言语还有“是否恰当”等问题。例如,我踩了你的脚,然后说“我向你道歉。”这种述行语句所关涉的就是这样言语是否恰当的问题,而不是其语句的真假问题。言语的恰当性如何,并不必非与证据相关联。因此,奥斯汀指出,在我们并不宣称具有认识上的困难的语境里,自然语言并不允许使用诸如“证据”之类的表达。

后期维特根斯坦对传统哲学的批评,以及他在一些极其基本的哲学与知识论范畴上的新观念,也对20世纪的知识论转向起了重要的作用。他以一种“生活形式”的哲学来取代逻辑经验主义以科学经验为基础的哲学,以“家族相似性”概念来取代“普遍性”概念,以由历史积淀、文化背景等构成的生活形式所产

生的习俗的“确定性”,来取代严格的逻辑的确定性。他的这些观念为哲学思维提供了崭新的框架,也为知识论摆脱逻辑经验论的基础主义提供了新思路。奥斯汀的这类批评连同后期维特根斯坦的批评一起,为分析哲学的新发展指明了方向。知识问题在相当程度上被看作是一个如何正确地使用“认知”

(to know)这一概念的问题,并且语言实践的分析被认为能够回答大部分的知识论问题。

三、当代分析知识论问题的发生与理论现状

当代西方知识论发展的一个根本转折点,是葛梯尔在1963年发表的文章《确证的(justified)真信念是不是知识》。在这篇仅有两页篇幅的论文中,葛梯尔提出了两个反例,它们构成对传统知识的三元定义的严重挑战。按照这一定义,构成知识的三个条件是,一命题首先必须是真的,其次认识者S必须相信(believe)它,再者S的这一信念(belief)必须是得到确证的。简言之,如果一信念是真的与确证的,则它构成知识。而葛梯尔提出的反例表明,即使满足知识的真、确证与相信(信念)这三个条件,确证的真信念也可能不是知识。我们可以把葛梯尔的一个反例大致表达如下。史密斯有理由地相信(例如,根据某个可以信赖的朋友的话)一个错误的命题(1):琼斯有一辆福特轿车。在此基础上,史密斯做出推论,并因此确证地相信(2):或者琼斯有一辆福特车,或者布朗现在在巴塞罗那。碰巧布朗现在正在巴塞罗那,因此(2)是真的。不过,尽管史密斯确证地相信真命题(2),但他并不认识(2)。用抽象的逻辑式来表达是,S对于他的信念p具有某种证据,由此他演绎出p∨q。不过S并不知道(-p)& q。这样,虽然所有三个知识的条件都已得到满足,但我们仍然不能说S认识p∨q。

葛梯尔反例的出现在知识论领域引起的反响,可以从如下这段介绍中窥见一斑。“在大致下一个十年(按:即20世纪70年代——引者)的时间中,知识论的几乎所有进展,都以这样或那样的方式对它们作出反应。”①葛梯尔那篇短短的文章,也前所未有地成为引用频率最高的文章。因为,知识论者们认识到,“葛梯尔问题是知识论的一个核心问题,它为知识的分析设置了一个明显的障碍。”②虽然也存在一些否定葛梯尔问题之意义的意见,但主导性的思潮则是朝着解决这一问题的方向发展的。

对葛梯尔问题的反应可以分为两种类型,一种是在确证的条件上进行努力,寻求用加强确证条件的途径来解决;另一种则是在知识的条件上面做文章,或者通过寻求增加知识条件的做法来解决,或者用完全替换知识条件的做法来达到目的。在“‘葛梯尔问题’与知识的条件”一文③中,我曾把解决葛梯尔问题的各种尝试方式归结为如下五种:不败性论、因果论、可信赖性论、决定性理由论、以及条件论。由于已有专文发表,所以这里就不再赘述,感兴趣的读者可以阅读上述该篇文章。

(1)主流学派:内在主义与外在主义

有关葛梯尔问题的论辩引发了20世纪下半叶西方知识论研究的热潮,知识论研究极为兴盛,大量的论著持续涌现,成为哲学领域的一个亮点。当代一些有影响的哲学家也都直接或间接地参与了这方面的研究。这方面论辩的延续所产生的局面,是形成“内在主义”与“外在主义”两大流派。内在主义与外在主义主要是与知识的确证有关的理论,但也运用于知识的说明,并且在相当不同的方式上运用于有关信念与思想内容的说明。一般来说,内在主义指的是把确证看作是属于认识者内在的心灵活动的观点,外在主义则否认这样的观点,认为

至少有一部分确证的因素是外在于认识者的。

内在主义的基本主张是,一信念的确证是由它与其他信念或理由的关系决定的。由于信念或理由都可以看作是心灵的所有物,因此称之为“内在主义”。一般说来,所谓的“内在主义”满足如下二个条件。一是将决定确证的因素(证据、思维过程等),全部看作是内在于心灵的,是由心灵所决定的;二是采取一种可把握主义(accessibilism)的观点,认为这些确证的因素是内在于认识者的视野的,从而是心灵可以、而且必须把握的。显然,内在主义持有一种心灵主义(mentalism)的立场,将确证完全归之于由正在发生或倾向发生的心灵因素所决定,强调意识对于我们信念之间关系的内在把握。因此这种形态的知识论,显得与哲学史上的笛卡尔、康德、胡塞尔等的突出意识决定作用的“意识哲学”颇为接近。

内在主义又表现为“基础主义”与“一致主义”两种理论流派。它们论证的都是有关信念之间的关系问题,或者进一步说,有关信念之间确证上的结构问题,要解决的都是前面提到的确证上的无限回溯问题。基础主义的理论主张有其悠久的历史,根源于笛卡尔的哲学,并且如同前面所看到的,在现代哲学中又曾盛行一时。作为广义上的(即哲学意义上、而非仅仅知识论意义上的)基础主义,被后现代主义作为西方哲学传统思想方式的代名词而痛加批判。知识论意义上的基础主义的基本主张有两条。首先是把知识的论证区分为基础的与非基础的信念,前者是非推论的,后者是推论的;其次是断定基础信念的存在。对于基础主义来说,问题的症结在于只有能够确认基础信念的存在,才能使确证的基本形式——回溯论证——成为有效的,而不至陷入恶的无限回溯过程之中,从而也才能使其理论得以成立。同时也正是这一点构成基础主义的“软肋”,使它退让原先有关基础信念的高要求,而转变为容许基础信念可错的“弱的”基础主义。

对于当代一致主义来说,他们之所以采取一致主义的立场,根本的原因在于把基础主义看作是失败的,因为不可能存在无需确证的基础信念。这一失败意味着经验信念的确证除了诉诸其他的经验信念之外别无选择,并且由于排除了无限延伸的确证系列的可能,那么剩下的唯一选择就是从信念系统内部,从某些经验信念与其他经验信念之间的关系来考虑它们的确证的可能性。因此,使某一信念成为确证的途径在一致主义那里的答案是:在于它与相关的信念系统相一致。不过这里所说的“一致”(consistency),并非是简单地等同于单纯的连贯性,而必须是系统中信念之间的相互可导出性。然而一致主义这一确证的环绕方式,经常招致的批评是它是一种循环论证。因为这种循环的结果,等于说每一信念都从自身中得到某种确证。因此,就像“基础”信念构成基础主义的难题一样,“一致”的循环问题也构成一致主义必须解决的难题。

作为当代知识论主流思潮的另一端,外在主义表现得更多的是对传统认识论思想的背离。这一方面表现在它走出单纯的内在意识之外寻求确证问题的解释,另一方面,就其某些极端的主张而言,甚至要求放弃传统的确证概念,而用知识的“可信赖性”来取代以往“确证了的信念”的知识概念。外在主义也有可能主义与可信赖主义两个流派,不过其共同相同之处在于,它们都反对单纯从内在意识中寻求确证性的根据,坚持与信念的确证相关的不止是内在状态。

早先的可能主义试图用数学的概率演算来研究认识的确证理论,它提出“可信度”的概念,把可能性与可信性概念联系起来。所谓“可信度”指的是“一个有理性的人所给予的相信的程度”。在这种理论看来,假如某信念以及相关信

念具有足够高的可能性(概率),那就足以使我们确证地相信它。后来的非概率演算的可能性概念,进一步考虑到变化着的知觉情况,也就是说,当认识获得了新的知觉证据,而不仅仅是面对固定的知觉集合时,认识情况及其可能性将会发生什么变化?

可信赖主义寻求用更普遍的、与产生信念的认识过程之可信赖性有关的可能性,来刻画认识的确证。在戈德曼那里,所谓的信念形成“过程”,指的是某种功能运作或程序,输入状态到输出状态之间的“映射”(mapping)。这里的“输出”,指相信特定状态下的某一命题。可信赖主义认为使一信念成为知识或在知识论上得到确证的,是其与真理的可信赖的联系,也就是说,一信念能够合格地成为知识的条件在于该信念是真的,并且认识者有理由相信仅当是真的它才能成立。可信赖主义之所以被归为外在主义,其中一个原因在于它诉诸某种与“真”相联系的因素,并且“真”被看作是“外在”于相信者的。

可信赖主义遇到的一个难题,是“普遍性”问题。由于可信赖主义者把信念的确证性解释为来自一个可信赖的信念形成过程。对此,他们面临的一个问题是如何去明确规定这种过程的普遍性质,使之能够运用于具体的场合。因为所有的信念都是个别的,都产生于某个特定时空环境中的特殊过程。但对于“可信赖”或“不可信赖”概念来说,它们却只能运用于可重复的、具有普遍性的对象上。

(2)非主流学派与新分支

当代知识论中,在主流学派,即着重于从认识因素本身解释确证的内在主义与外在主义之外,还有一些其他的学派。由奎因所提出自然化的知识论重新思考的是知识论本身的定位问题,具有方法论的意义。不过其主张过于极端,它由对基础主义理论失败的断言,引伸出对传统知识论的全面否定,并欲以心理学取而代之,使之成为科学、尤其是心理学的一个分支。这种自然化知识论的基本研究对象,是认识过程的来自感性刺激的“输入”与所产生的信念的“输出”之间的关系。这显然至少无视了“知识”本身应有的研究方面,如影响思维主体的主、客观因素等研究方面,因此是一种片面的做法,不仅有以偏概全之嫌,而且违背了学科本身的规律,因此它虽然有一定的反响,但自然不可能有过多的实际成效。

“语境主义”侧重从语境因素方面来解释确证的可能性。这类理论的产生,一方面与葛梯尔问题的讨论有关,另一方面与批驳怀疑主义有关。由于葛梯尔反例说的是认识者由于缺乏某个证据而导致其知识论断的失败,因此很自然使人想到语境在这方面所起的作用,也就是说,这种影响人们认识状况的证据是随着语境的不同而变化的。此外,由于怀疑主义问题的一个方面在于它对知识提出了相当高的标准,因此对它加以批驳的一种做法,是对知识的高标准与低标准作出区分,而把怀疑主义的问题归结为认识标准过高的问题。

语境主义意义上的“语境”作用,在于它是决定认识的标准与认识者的视野、选择与论断的主要因素。其中一种形式的语境主义——“相关选择论”,研究认识者环境的集合,与一个同该认识相关的可能选择对象之集合间的对应关系。按照这种语境主义,当我们说一个人“认识”p时,这指的是他能够在特定的语境中,将p的真与相关联的可选择对象区别并排除开来。其他形式的语境主义则把“S认识p”或“S不认识p”之类的语句为真的条件,看作在某种方式上是根据该语句所说出的语境之变化而变化的。还有的语境主义则突出语境的社会因素,这种形式的语境概念主要是一个社会环境的概念,它们构成了

根本的“问题语境”,不仅决定着人们对确证的正当性的判定与认识者的理解视野,而且决定着反对者群体。

随着知识论探讨的深入,其研究领域也得到拓宽,一些新方向在近年来产生出来。德性知识论(virtue epistemology )是其中的一个。它在方法论上借助与伦理学的类比,运用伦理学的基本概念、尤其是亚里斯多德的“德性”的概念,在已有的内在主义义务论以及外在主义的可信赖论的基础上,发展出一种解释规范性认识的新理论。其基本思路是用认知主体的规范性质来理解信念的规范性,将主体的认识能力界定为“理智德性”,即一种获取真理、避免错误的能力,并以之作为对确证的信念与知识的本质说明的根据,强调认识的责任与规范方面,进而对信念确证的各种相关因素与规范性质作出规定。他们分析各种理智德性在认识中的作用,如思想的开放性与公正性,思维的灵活性,创造性等,认定它们是推进人类知识的必要条件。德性知识论的这些基本特征,集中反映在他们对知识的界定上:“知识是产生于认知德性的真信念。”

知识论领域中的另一个新方向是“社会知识论”。顾名思义,它从社会的维度来研究知识问题。它批评传统的、尤其是笛卡尔意义上的知识论,属于一种“个体知识论”,只集中关注认识主体孤立的心灵运作。在社会知识论者看来,由于知识本身具有的、特别是在现代社会中密切的协作与互动的性质,使得个体知识论更需要有一个对应物,这就是社会知识论。社会知识论与个体知识论的主要区别在于,前者认为确证需要满足的条件包括社会的条件,而个体知识论则否认这一点。社会知识论可以定义为知识的社会纬度的概念与规范的研究。它研究社会关系、利益、作用与制度对知识的概念与规范条件的影响,即所谓的“社会条件”的影响。就社会知识论的性质而言,它被界定为评价性的,其评价的对象是社会实践。社会知识论者认为,这种评价带有规范的目的,它寻求从实践对真、假信念的影响方面来对实践活动进行评价,也就是从求真的角度,即认识的结果方面,通过这样的评价或认可,来达到规范的目的。

(完整版)集合的概念及表示练习题及答案

新课标 集合的含义及其表示 姓名:_________ 一、选择题: 1.下面四个命题:(1)集合N 中的最小元素是1:(2)若a N -?,则a N ∈ (3)244x x +=的解集为{2,2};(4)0.7Q ∈,其中不正确命题的个数为 ( ) A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中,表示同一集合的是 ( ) A.(){}(){}3,2,2,3M N = B.{}{}3,2,2,3M N == C.(){},1M x y x y =+=,{}1N y x y =+= D. {}(){}1,2, 1.2M N == 3.下列方程的实数解的集合为12,23?? -???? 的个数为 ( ) (1)224941250x y x y +-++=;(2)2620x x +-=; (3) ()()2 21320x x -+=;(4) 2 620x x --= A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合{} (){} 2 2 10,6100 A x x x B x N x x x =++==∈++=,{}450 C x Q x =∈+<, {}2D x x =为小于的质数 ,其中时空集的有 ( ) A. 1个B.2个 C.3个 D.4个 5. 下列关系中表述正确的是 ( ) A.{}200x ∈= B.(){}00,0∈ C. 0∈? D.0N ∈ 6. 下列表述正确的是( ) A.{}0=? B.{}{}1,22,1= C.{}?=? D.0N ? 7. 下面四个命题:(1)集合N 中的最小元素是1:(2)方程()()()3 1250x x x -+-=的 解集含有3个元素;(3)0∈?(4)满足1x x +>的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是 ( ) A.0 B. 1 C. 2 D.3 二.填空题: 8.用列举法表示不等式组240121x x x +>??+≥-?的整数解集合为 9.已知集合12,6A x x N N x ?? =∈∈??-?? 用列举法表示集合A 为 10.已知集合241x A a x a ??-?? ==??+???? 有惟一解,又列举法表示集合A 为 三、解答题: 11.已知{}{}2A=1,a,b ,,,B a a ab =,且A=B ,求实数a,b ; 12. 已知集合{} 2210,A x ax x x R =++=∈,a 为实数 (1)若A 是空集,求a 的取值范围(2)若A 是单元素集,求a 的值 (3)若A 中至多只有一个元素,求a 的取值范围 13. 设集合{} 22,M a a x y a Z ==-∈ (1)请推断任意奇数与集合M 的关系 (2)关于集合M ,你还可以得到一些什么样的结论

集合的含义与表示练习题

集合的含义与表示 1.试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合; (2)大于2且小于7的整数. 2.用适当的符号填空:已知{|32,}A x x k k Z ==+∈,{|61,}B x x m m Z ==-∈,则有: 17 A ; -5 A ; 17 B . 3.试选择适当的方法表示下列集合:(教材P 6 练习题2, P 13 A 组题4) (1)一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合; (2)二次函数24y x =-的函数值组成的集合; (3)反比例函数2y x = 的自变量的值组成的集合. 4.已知集合2{|1}2 x a A a x +==-有唯一实数解,试用列举法表示集合A . 1.以下元素的全体不能够构成集合的是( ). A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流 C. 方程210x -=的实数解 D. 周长为10cm 的三角形 2.方程组{23211 x y x y -=+=的解集是( ). A . {}51, B. {}15, C. (){}51, D. (){}15, 3.给出下列关系:①12 R ∈; Q ;③ *3N ∈;④0Z ∈. 其中正确的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.有下列说法:(1)0与{0}表示同一个集合;(2)由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};(3)方程2(1)(2)0x x --=的所有解的集合可表示为{1,1,2};(4)集合{45}x x <<是有限集. 其中正确的说法是( ). A. 只有(1)和(4) B. 只有(2)和(3) C. 只有(2) D. 以上四种说法都不对 5.下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是( ). A. {}M π=, {3.14159}N = B. {2,3}M =, {(2,3)}N = C. {|11,}M x x x N =-<≤∈, {1}N = D. {}M π=, {,1,|N π= 6.已知实数2a =,集合{|13}B x x =-<<,则a 与B 的关系是 . 7.已知x R ∈,则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为 . 8.试选择适当的方法表示下列集合:

1.1.1集合的含义与表示教学设计

1.1.1集合的含义与表示 一、教材分析 本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》必修1,第一章1.1.1集合的含义与表示。《课程标准》对本课内容的要求是:通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系;针对具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合。 集合在高中阶段的数学课程中,具有十分重要的地位。集合是高中阶段数学课程引入的第一个概念,是整个高中数学课程内容的基础,集合的初步知识与后续内容的学习有着密切的联系。集合是学习掌握使用数学语言的基础,集合形象化的将生活实际问题用数学符号表示出来,从而简化了用数学分析实际问题的语言,为相关数学知识奠定一定的理论基础。许多重要的高中数学内容,如函数,方程,不等式,立体几何解析几何,概率统计的,都需要用集合的语言来表述相关问题及核对这些内容的后续学习均发挥了显著作用。 集合是集合论中的原始的不定义只描述的概念。在初中数学不等式解集的定义中涉及过集合,学生已经有了一定的感性认识,在此基础上,本节结合实例引出集合与集合中元素的相关概念,集合中元素的特征,及集合的表示方法等。 二、学情分析 学生在初中阶段的学习中,已经有了对集合的初步认知,有了对周围事物的发现总结能力。对部分粗心大意的学生,培养其细致的观察力,在本节的学习中学生可能会对集合的表示方法:列举法和描述法会有所混淆,通过不断的练习巩固来达到标准要求。学生可能会用初中熟知的记忆学习方法来学习,鼓励学生理解学习,事半功倍。 三、教学目标 1、知识与技能目标:通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系;针对具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合。 2、过程与方法目标:通过集合含义教学,培养学生的抽象思维能力。通过集合表示方式的教学,培养学生运用数学语言学习数学、进行交流的能力。树立用集合语言表示数学内容的意识。 3、情感态度与价值观目标:学生在掌握集合相关的基本概念的基础上,解决相关问题,获得数学学习的成就感;学生的数学学习进入到新阶段,培养学生对数学学习的兴趣。 四、教学重点和难点 1、教学重点:集合的含义与集合的表示方法; 2、教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合。 五、教学设计 (一)新课引入 体育课上课时,老师总说“请同学们集合”,同学们便会从四面八方集合到老师身边。这里的集合是一个动词,让同学们集中在一起。我们在数学中也有“集合”,这里的集合是一个名词,但是他的意义和以上说的动词集合有相似之处。这一节课,我们便来学习数学中的集合的含义与他的表示方法。(板书课题:集合的含义与表示) 那什么是集合呢?其实在我们生活中存在着很多集合的例子,比如我们全班同学这一个整体,他就是是一个集合;还有校园中所有的树,也构成一个集合;高一一班教室里所有的笔……在小学和初中的学习过程中,我们也已经接触过一些集合的例子,比如说:有理数集合,到一个定点的距离等于定长的点的集合(圆),那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢?

集合的基本概念及其表示

学校乐从中学年级高二学科数学导学案 主备审核授课人授课时间班级姓名小组课题:集合的概念和基本关系 课型:复习课时:1 【学习目标】 理解集合的概念,集合的表示方法,深刻理解子集、真子集、空集的概念,能使用Venn图表达集合的关系。 【学习过程】 一、知识要点: 1、集合的概念 (1)、集合的定义:。 (2)、集合的三性:、、。 (3)、元素a属于集合A,记作 元素a不属于集合A,记作 常见数集:。 集合的表示方法:、、。 2、集合的基本关系 (1)、子集:。 (2)、集合相等:。 (3)、真子集:。 (4)、空集:。 二、例题讲解 例1(1)写出数集N,Z,Q,R,C之间的包含关系,并用Venn图表示(2)判断对错:①Φ?A ②Φ A ③A A?④A A 例2选择恰当的符号填空: ①、Φ___{0}, ②、0 Φ, ③、0 {(0,1)}, ④、(1,2){1,2,3}, ⑤、{1,2} {1,2,3} 例3对于集合A、B,“不成立”的含义是( ) (A)B是A的子集 (B)A中的元素都不是B中的元素 (C)A中至少有一个元素不属于B (D)B中至少有一个元素不属于A 例4 下列命题中,正确的命题的序号是____________________- ① {2,4,6,8}与{4,8,2,6}是同一集合。 ② {x|x > 3 ,x∈R} 与{t|t > 3 ,t∈R}表示同一集合。 ③{y|y= x2,x∈R}与{(x,y)|y=x2,x∈R}表示的是同一集合。 ④{x|x2-2x-1=0}与{x2-2x-1=0}表示同一集合。 ⑤ {x|x=2k-1,k∈Z }与{x|x=2k+1,k∈Z } 表示同一集合。 例5.已知集合A={x∈N| 12 6x - ∈N },试用列举法表示集合A. (教师“复备”栏或 学生笔记栏)

集合的含义与表示例题练习及讲解

第一章第一节 集合的含义与表示 1.1典型例题 例1:判断下列各组对象能否构成一个集合 (1)班级里学习好的同学 (2)考试成绩超过90分的同学 (3)很接近0的数 (4)绝对值小于0.1的数 答: 否 能 否 能 例2:判断以下对象能否构成一个集合 (1)a ,-a (2)12,0.5 答:否 否 例3:判断下列对象是否为同一个集合 {1,2,3} {3,2,1} 答:是同一个集合 例4:42=x 解的集合 答:{2,-2} 例5:文字描述法的集合 (1)全体整数 (2)考王教育里的所有英语老师 答:{整数} {考王教育的英语老师} 例6:用符号表示法表示下列集合 (1)5的倍数 (2)三角形的全体构成的集合 (3)一次函数12-=x y 图像上所有点的集合 (4)所有绝对值小于6的实数的集合 答: (1)},5z k k x x ∈={ (2){三角形} (3)(){}12,-=x y y x (4){} R x x x ∈<<-,66

例如7:用韦恩图表示集合A={1,2,3,4} 答: 例8:指出以下集合是有限集还是无限集 (1)一百万以内的自然数; (2)0.1和0.2之间的小数 答:有限集;无限集 例9:(1)写出x^2+1=o 的解的集合。 (2)分析并指出其含义:0;{0};?;{};{?} 答:(1)?; (2)分别是数字零,含有一个元素是0的集合;空集;空集;含有一个元素是空集的集合。 1.1 随堂测验 1、{x^2,x }是一个集合,求x 的取值范围 2、集合{} 2,1,2--=x x A ,{}2,12,2---=x x B ,A 、B 中有且仅有一个相同的元素-2,求x. 3、指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。 (1)young 中的字母; (2)五中高一(1)班全体学生; (3)门前的大树 (4)漂亮的女孩 4、用列举法表示下列集合 (1)方程()()0422 =--x x 的解集;

示范教案(11集合的含义与表示)

模块纵览 课标要求 1.知识与技能 认识和理解集合、映射、函数、幂函数、指数函数、对数函数等概念,认识和理解它们的有关性质和运算.具有一定的把函数应用于实际的能力. 2.过程与方法 通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法. 3.情感、态度与价值观 教育的根本目的是育人.通过对本模块内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在初中函数的学习基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观. 内容概述 本模块共三章:第一章集合与函数概念;第二章基本初等函数(Ⅰ);第三章函数的应用. 本模块为了用集合与对应的语言刻画函数概念,先在第一章给出集合的有关概念、表示、关系和运算等;然后从函数实例出发深化函数概念及其表示,并研究映射概念;进而又给出了函数的性质:单调性、最值、奇偶性,这也是对函数的深化;接下来再回到特殊的函数——几个基本初等函数,继续认识函数,本模块重点涉及了指数函数、对数函数、幂函数;最后专门给出了函数在数学和实际中的一些应用实例,使函数的价值得到体现,也是进一步巩固函数的概念,更加强了数学应用. 概括地说,本模块的核心内容是“函数”.函数是描述现实世界最重要、最常用的数学模型,是贯穿整个高中数学的纽带,是学生进一步学习的准备,是未来公民的必需,因此,整个模块以函数作为中心,以函数思想作为指导思想. 本模块无论是数还是形都用函数观点来研究,研究它们的变化及其规律.对方程的认识和研究,也是从函数出发,把它与两个函数相结合,把它的解看成两个函数图象的交点的横坐标.这里把函数作为整体来认识,方程则被看成是包含于函数的局部. 教学建议 教师,对数学应该有自己深入的想法,只有教师深入了才能有教学的浅出;教师,对于教学也应该有自己的想法,唯其有自己的想法,才能发挥自己的特长,教出具有独到想法的学生. 1.抓住核心,重点突破 由于函数是本模块的重点和核心,因此教师要重视函数的教学,向学生贯彻函数的数学思想,逐步让学生掌握学会函数,更会用函数的思想去解决数学和实际问题.函数概念的教学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解函数的本质,教学中可引导学生联系生活常识,尝试列举具体函数,构建函数的一般定义.要注意:①构成函数的要素和相同函数的含义,②函数的三种表示法的联系、区别与适用性,③分段函数的意义,④映射的概念和判断.教学中应强调对函数概念本质的理解,在求函数定义域、值域时,要控制难度. 2.用课本教,而非教课本 《普通高中数学课程标准》是在《基础教育课程改革纲要(试行)》的指导下编写的,是数学学科教育目标的具体化,体现数学学科对学生最起码的要求,是编制高考大纲的依据,是数学教学和培养学生数学素质的主要依据,具有指导性.《普通高中数学课程标准》的目标是包含“双基”在内的三维发展目标:知识与技能,过程与方法,情感、态度与价值观.在这种教学过程中,课本仅仅是一种学习工具,是课程标准的具体化,课本内容仅仅是帮助学生实现三维发展目标的一种载体,并不要求学生将课本内容全部掌握.由于高中数学课本版本的多样化,高考数学

集合的含义与表示及集合间的关系

集合的含义与表示及集合间的关系 高考频度:★★★★☆ 难易程度:★☆☆☆☆ (2018年新课标II 理)已知集合(){}22|3 A x y x y x y = +≤∈∈Z Z ,,,,则A 中元素的个数为 A .9 B .8 C .5 D .4 【参考答案】A 【解题必备】(1)求解此类问题时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合,这是正确求解此类问题的两个先决条件.学!科网 (2)集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性. (3)若集合A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n -.熟练记忆此类结论可快速准确得解. 1.已知单元素集合()2 {|210}A x x a x =-++=,则a = A .0 B .4- C .4-或1 D .4-或0 2.已知集合(){}22,|,,2M x y x y x y = +=为实数且,(){},|,,2N x y x y x y =+=为实数且,则M N I 的元素个数为 A .0 B .1 C .2 D .3 3.已知集合{}{}1,2,31,A B m ==,,若3m A -∈,则非零实数m 的数值是_________.

1.【答案】D 【解析】Q 集合()2{|210}A x x a x =-++=为单元素,则2 (2)40a ?=+-=,解得4a =-或0. 故选D . 2.【答案】B 【解析】联立方程组2222 x y x y ?+=?+=?,所以2210x x -+=.判别式0?= ,所以M N I 的解集只有一个. 所以选B . 【名师点睛】本题考查了两个集合的交点个数问题,主要注意两个集合都为点集,所以交集的个数也就是两个方程的解的个数,因此可以通过方程思想来解,属于简单题.

高中数学必修一集合的含义及其表示教案

第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的:(1)初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法; (2)初步了解“属于”关系的意义; (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义; 教学重点:集合的含义与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合。 教学过程: 一、问题引入: 我家有爸爸、妈妈和我; 我来自燕山中学; 省溧中高一(1)班; 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征,归纳出集合的含义。 二、建构数学: 1.集合的概念:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合(set )。集合常用大写的拉丁字母来表示,如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素(element ),简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合,如果是,指出该集合的元素。 (1)我国的直辖市; (2)省溧中高一(1)班全体学生;(3)较大的数 (4)young 中的字母; (5)大于100的数; (6)小于0的正数。 2.关于集合的元素的特征 (1)确定性:设A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是A 的元素,或者不是A 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。 (2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。 (3)无序性:一般不考虑元素之间的顺序,但在表示数列之类的特殊集合时,通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3.集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示; (1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于A ,记作a ∈A (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A ,记作a ?A (“∈”的开口方向,不能把a ∈A 颠倒过来写) 4.有限集、无限集和空集的概念: 5.常用数集的记法:(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合记作N ,{} ,2,1,0=N (2)正整数集:非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N (3)整数集:全体整数的集合记作Z , {} ,,, 210±±=Z (4)有理数集:全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q (5)实数集:全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R

11集合集合的含义与表示(一)

1.1集合:集合的含义与表示(一) 课型: 新授课 课时数: 1 讲学时间: 2010年9月 2日 班级: 学号: 姓名: 一、【学习目标】: 1、了解集合的含义,了解集合元素的确定性、互异性、无序性。 2、会用符号表示元素与集合关系。 3、掌握常用数集的符号表示。 4、初步掌握集合的表示方法。 二、【学前准备】: 阅读课本P2-3页,找出疑惑之处 讨论: 军训前学校通知:8 月9日下午 3 点,高一年级在学校广场集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 引入: 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高 三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合,即是一些研究对象的总体. 三、【探究内容】: 探究 1:考察几组对象: ① 1~20 以内所有的质数; ② 到定点的距离等于定长的所有点; ③ 所有的锐角三角形; ④中国的直辖市 ⑤高明纪念中学高一级全体学生; ⑥ 方程2 30x x +=的所有实数根; ⑦ 隆成日用品厂 2009 年 8 月生产的所有童车; ⑧ 2010 年 8 月,广东所有出生婴儿. 试回答:各组对象分别是一些什么?有多少个对象? 新知 1: 集合: 测试1:探究 1 中①~⑧都能组成集合吗,元素分别是什么? 探究 2:“ 好心的人”与“1,2,1”是否构成集合? 新知 2: 集合元素的特征是; ,你能举例说明吗? 只要构成两个集合的元素是一样的,我们称这两个集合 。 测试 2: 1.下列各组对象不能组成集合的是( ) A .大于6的所有整数 B .高中数学的所有难题 C .被3除余2的所有整数 D .函数1y x =图象上所有的点 2、下列说法正确的是( ). A .某个村子里的高个子组成一个集合 B . 集合{1, 2,3, 4,5}和{5, 4,3, 2,1}表示同一个集合 C .所有小正数组成一个集合 D . 1, 0.5, 12 ,32 14 6 这六个数能组成一个集合

1集合的含义及其表示

.1集合的含义及其表示 一.课标解读 1.《普通高中数学课程标准》明确指出:“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系;能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.” 2.重点:集合的概念与表示方法. 3.难点:运用集合的两种常用表示法---列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 二.要点扫描 1.集合的概念 一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集);构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。 2.集合元素的特征 由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质: ⑴确定性特征:集合中的元素必须是明确的,不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。 设集合给定,若有一具体对象,则要么是的元素,要么不是的元素,二者必居 其一,且只居其一。 ⑵互异性特征:集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定,的元素是指含于其中的互不相同的元素,相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。 3.集合与元素之间的关系 集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如:是集合的元素,记作,读作“ 属于”;不是集合的元素,记作,读作“ 不属于”。 4.集合的分类 集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地,不含任何元素的集合叫做空集,记作。 5.集合的表示方法 ⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法,非常直观,一目了然。 ⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。 例如:集合可以用它的特征性质描述为{ },这表示在集合中,属于集合的任意一个元素都具有性质,而不属于集合的元素都不具有性质。 除此之外,集合还常用韦恩图来表示,韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法(有时,也用小写字母分别定出集合中的某些元素),同学们在下节课中会接触到这个内容。 三.知识精讲 知识点1.集合与元素 一个东西是集合还是元素并不是绝对的,很多情况下是相对的,集合是由元素组成的集合,元素是组成集合的元素。例如:你所在的班级是一个集合,是由几十个和你同龄的同学组成的集合,你相对于这个班级集合来说,是它的一个元素;而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合,你所在的班级只是其中的一分子,是一个元素。班级相对于你是集合,相对于学校是元素,参照物不同,得到的结论也不同,可见,是集合还是元素,并不是绝对的。 知识点2.区分、{ }与{ } 是空集,是不含任何元素的集合;{ }不是空集,它是以一个为元素的单元素集合,而非不含任何元素,所以{ };{ }也不是空集,而是单元素集合,只有一个元素,可见{ },{ },这也体现了“是集合还是元素,并不是绝对的”。 知识点3.解集合问题的关键

必修1教案1.1.1集合的含义与表示

第1课时集合的含义与表示 (一)教学目标 1.知识与技能 (1)初步理解集合的含义,知道常用数集及其记法. (2)初步了解“属于”关系的意义.理解集合相等的含义. (3)初步了解有限集、无限集的意义,并能恰当地应用列举法或描述法表示集合. 2.过程与方法 (1)通过实例,初步体会元素与集合的“属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确 地理解集合. (2)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语 言在描述客观现实和数学对象中的意义. (3)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性). (4)通过实例体会有限集与无限集,理解列举法和描述法的含义,学会用恰当的形式表 示给定集合掌握集合表示的方法. 3.情感、态度与价值观 (1)了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系. (2)在学习运用集合语言的过程中,增强学生认识事物的能力.初步培养学生实事求是、 扎实严谨的科学态度. (二)教学重点、难点 重点是集合的概念及集合的表示.难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述 法正确地表示一些简单集合. (三)教学方法 尝试指导与合作交流相结合.通过提出问题、观察实例,引导学生理解集合的概念,分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求,并能依照要求举出符合条件的例子,加深对概 种.从而指出:导入课题. 识: 集.

第一组实例(幻灯片一): . 数. 间的距离的点. )班全体同学. 成员. .集合: 这些对象的全体构成的集合(或集)..集合的元素(或成员): 请大家讨论.的要点,然后教师肯定或补充.师总结. ? 第二组实例(幻灯片二): 国代表团的成员构成的集合. 合. 合. 的点的全体构成的集合. ?

高一数学集合的含义与表示练习题

§ 1集合的含义与表示 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为() A.{1,1} B.{1} C.{x=1} D.{x2-2x+1=0} 【解析】集合{x|x2-2x+1=0}实质是方程x2-2x+1=0的解集,此方程有两相等实 根,为1,故可表示为{1}.故选B. 【答案】 B 2.已知集合A={x∈N+|-5≤x≤5},则必有() A.-1∈A B.0∈A C.3∈A D.1∈A 【解析】∵x∈N+,-5≤x≤5, ∴x=1,2, 即A={1,2},∴1∈A.故选D. 【答案】 D 3.集合A中的元素y满足y∈N且y=-x2+1,若t∈A,则t的值为()

A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 小于等于1 【解析】∵y=-x2+1≤1,且y∈N, ∴y的值为0,1. 又t∈A,则t的值为0或1. 【答案】 C 4.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,那么a为() A. 2 B. 2或4 C. 4 D. 0 【解析】若a=2,则6-2=4∈A;若a=4,则6-4=2∈A;若a=6,则6-6=0 A. 【答案】 B 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.已知M={x|x≤22},且a=32,则a与M的关系是. 【解析】∵a=32=18,又18<22,∴a∈M. 【答案】a∈M 6.已知P={x|2<x<a,x∈N},已知集合P中恰有3个元素,则整数a=. 【解析】用数轴分析可知a=6时,集合P中恰有3个元素3,4,5. 【答案】 6 三、解答题(每小题10分,共20分)

7.下列研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. (1)小于5的自然数; (2)某班所有个子高的同学; (3)不等式2x+1>7的整数解. 【解析】(1)可以表示成集合{0,1,2,3,4}. (2)其中的对象没有明确的标准,不具备确定性,故不能构成一个集合. (3)可以表示成集合{x|x∈Z且2x+1>7}. 8.设A表示集合{a2+2a-3,2,3},B表示集合 {2,|a+3|},已知5∈A且5 B,求a的值. 【解析】因为5∈A,所以a2+2a-3=5, 解得a=2或a=-4. 当a=2时,|a+3|=5,不符合题意,应舍去. 当a=-4时,|a+3|=1,符合题意,所以a=-4. 9. (10分)已知集合A={x|ax2-2x+1=0}. (1)若A中恰好只有一个元素,求实数a的值; (2)若A中至少有一个元素,求实数a的取值范围. 【解析】(1)∵A中恰好只有一个元素, ∴方程ax2-2x+1=0恰好只有一个根. 当a=0时,方程的解为x=1 2满足题意;

集合的概念和表示方法教学设计

1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论,称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基础.一方面,许多重要的数学分支,如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用.在小学和初中数学中,学生已经接触过集合,对于诸如数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等,有了一定的感性认识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸.首先通过实例引出集合与集合元素的概念,然后通过实例加深对集合与集合元素的理解,最后介绍了集合的常用表示方法,包括列举法,描述法,还给出了画图表示集合的例子.本节的重点是集合的基本概念与表示方法,难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合. 教学目标 1.初步理解集合的概念,了解有限集、无限集、空集的意义,知道常用数集及其记法. 2.初步了解“属于”关系的意义,理解集合中元素的性质. 3.掌握集合的表示法,通过把文字语言转化为符号语言(集合语言),培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力. 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解,这里主要根据实例引出概念.介绍集合的概念采用由具体到抽象,再由抽象到具体的思维方法,学生容易接受.在引出概念时,从实例入手,由具体到抽象,由浅入深,便于学生理解,紧接着再通过实例理解概念.集合的表示方法也是通过实例加以说明,化难为易,便于学生掌握. 教学设计 一、问题情境 1.在初中,我们学过哪些集合? 2.在初中,我们用集合描述过什么? 学生讨论得出:

在初中代数里学习数的分类时,学过“正数的集合”,“负数的集合”;在学习一元一次不等式时,说它的所有解为不等式的解集. 在初中几何里学习圆时,说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合. 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近? 学生讨论得出: “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”,…… 4.请写出“小于10”的所有自然数. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.这些可以构成一个集合. 5.什么是集合? 二、建立模型 1.集合的概念(先具体举例,然后进行描述性定义) (1)某种指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集. (2)集合中的每个对象叫作这个集合的元素. (3)集合中的元素与集合的关系: a是集合A中的元素,称a属于集合A,记作a∈A; a不是集合A中的元素,称a不属于集合A,记作a A. 例:设B={1,2,3},则1∈B,4B. 2.集合中的元素具备的性质 (1)确定性:集合中的元素是确定的,即给定一个集合,任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了.如上例,给出集合B,4不是集合的元素是可以确定的. (2)互异性:集合中的元素是互异的,即集合中的元素是没有重复的. 例:若集合A={a,b},则a与b是不同的两个元素. (3)无序性:集合中的元素无顺序.

教学设计1_集合的含义与表示

§1.1集合的含义与表示 人教版数学必修一第一章第一节 【教材分析】 1.知识内容与结构分析 集合论是现代数学的一个重要的基础.在高中数学中,集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础,集合论以及它所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用.课本从学生熟悉的集合(自然数集合、有理数的集合等)出发,结合实例给出了元素、集合的含义,学生通过对具体实例的抽象、概括发展了逻辑思维能力. 2.知识学习意义分析 通过自主探究的学习过程,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择合适的语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3.教学建议与学法指导 由于本节新概念、新符号较多,虽然内容较为浅显,但不应讲得过快,应在讲解概念的同时,让学生多阅读课本,互相交流,在此基础上理解概念并熟悉新符号的使用.通过问题探究、自主探索、合作交流、自我总结等形式,调动学生的积极性. 【教学目标】 1.知识与技能 (1)学生通过自主学习,初步理解集合的概念,理解元素与集合间的关系,了解集合元素的确定性、互异性,无序性,任意性,知道常用数集及其记法; (2)掌握集合的常用表示法——列举法和描述法. 2.过程与方法 通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择合适的语言(如自然语言、图形语言、集合语言)描述不同的具体问题,提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.3.情态与价值 在掌握基本概念的基础上,能够解决相关问题,获得数学学习的成就感,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生的应用意识. 【重点难点】 1.教学重点:集合的基本概念与表示方法. 2.教学难点:选择合适的方法正确表示集合. 【教学环境】

《集合的含义及其表示》知识梳理

集合的含义及其表示 一、集合 1.集合 某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作A a∈;若b不是集合A的元素,记作A b?; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的 元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列 顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集),记作N; ; 正整数集,记作N*或N + 整数集,记作Z; 有理数集,记作Q;

实数集,记作R 。 2.集合的包含关系 (1)集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,则称A 是B 的子集(或B 包含A ),记作A ?B (或B A ?); 集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ,则称A 等于B , 记作A =B ;若A ?B 且A ≠B ,则称A 是B 的真子集,记作A B ; (2)简单性质:1)A ?A ;2)Φ?A ; (3)若A ?B ,B ?C ,则A ?C ; (4)若集合A 是n 个元素的集合,则集合A 有2n 个子集(其中2n -1个真子集); 3.全集与补集 (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U ; (2)若S 是一个集合,A ?S ,则,S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集; (3)简单性质:1)S C (S C )=A ;2)S C S =Φ,ΦS C =S 。 4.交集与并集 (1)一般地,由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集。交集}|{B x A x x B A ∈∈=?且。 (2)一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,称为集合A 与B 的并集。}|{B x A x x B A ∈∈=?或并集。 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。

集合的含义及其表示教案

集合的含义及其表示教案 教材分析:集合概念的基本理论,称为集合论.它是近、现代数学的一个重要基础.一方面,许多重要的数学分支,如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等,都建立在集合理论的基础上.另一方面,集合论及其反映的数学思想,在越来越广泛的领域中得到应用.在小学和初中数学中,学生已经接触过集合,对于诸如数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等,有了一定的感性认识.这节内容是初中有关内容的深化和延伸. 教学目标: 知识目标: ①通过实例了解集合的含义; ②知道常用数集及其专用记号; ③了解集合中元素的确定性、互异性、无序性; ④会用集合语言表示有关数学对象。 ⑤能选择自然语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用。 ⑥培养学生抽象概括的能力。 能力目标: ①通过实例抽象概括集合的共同特征,从而引出集合的概念是本节课的重要任务之一。因此教学时不仅要关注集合的基本知识的学习,同时还要关注学生抽象概括能力的培养。 ②教学过程中应努力创造培养学生的思维能力,提高学生理解掌握概念的能力,训练学生分析问题和处理问题的能力。 情感目标: 培养数学的特有文化——简洁精炼,体会从感性到理性的思维过程。 教学重点:集合的含义与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合。

教学方法:学生的自主探究、主动参与与教师的引导相结合,充分体现学生在课堂中的主体作用和教师的主导作用。 教学用具:多媒体 课时安排:1课时 教学过程: 一、引入新课 (情境设置):一位渔民非常喜欢数学,但他怎么也搞不明白集合的意义,于是他请教数学家:“尊敬的先生,请你告诉我,集合是什么?”因为集合是不加定义的概念,数学家很难回答这位渔民。 有一天,他来到渔民的船上,看到渔民撒下渔网,轻轻一拉,许多鱼虾在网中跳动。 数学家非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合!” 你能理解数学家的这句话吗?

集合的含义与表示同步练习题

A .第一象限内的点集 B .第三象限内的点集 C .第四象限内的点集 D .第二、四象限内的点集 7.已知集合M ={a ,b ,c }中的三个元素可构成某一三角形的三边长,那么此三角形一定不是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 8.已知A ={x |3-3x >0},则有( ) A .3∈A B .1∈A C .0∈A D .-1?A 9.集合A ={x |x ∈N ,且x -24∈Z },用列举法可表示为A =___________. 10.一边长为6,一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素. 11.点P (1,3)和集合A ={(x ,y )|y =x +2}之间的关系是____________. 12.用列举法表示集合A ={(x ,y )|x +y =3,x ∈N ,y ∈N *}为____________. 13.若A ={-2,2,3,4},B ={x |x =t 2,t ∈A },用列举法表示集合B =____________. 14.下列集合中:A ={x =2,y =1},B ={2,1},C ={(x ,y )|? ? ?=-=+13y x y x },D ={(x ,y )|x =2且y =1},与集合{(2,1)}相等的共有________个. 15.“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,小女三日一归,问三女何时相会”.(选自《孙子算经》),请将三女前三次相会的天数用集合表示出来. 16.设A 是满足x <6的所有自然数组成的集合,若a ∈A ,且3a ∈A ,求a 的值.

01§1.1集合的含义及其表示——教案(2课时)

第一课时集合-集合的概念 教学目的: (1)使学生初步理解集合的概念,知道常用数集的概念及记法 (2)使学生初步了解“属于”关系的意义 (3)使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点:集合的基本概念及表示方法 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示 一些简单的集合 授课类型:新授课 课时安排:1课时罗华的手稿1831年1月伽罗华在 教具:多媒体个结论,他写成论文提交给法国科、实物投影仪 内容分析: 1.集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念 学数学中,就渗透了集合的初步概念,到了初议科学院否定它1832年5月30日中,更进一步应用集合的语言表述一些问题例如,在代数中用到的有数集、解忙写成后,委托他的朋友薛伐里叶集等;在几何中用到的有点集 习数学就离不开对造福人类年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用,基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中,也是认识,他死后14年,法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义,也是于刘维尔主编的《数学杂志》上本章学习的基础 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始,是因为在高中数学中,这些知识与其他内容有着密切联系,它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如,下一章讲函数的概念与性质,就离不开集合与逻辑 本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明 法、描述法,还给出了画图表示集合的例子 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣,使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念 集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时,主要还是通过实例,对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集”这句话,只是对集合概念的描述性说明 教学过程: 一、复习引入: 1.简介数集的发展,复习最大公约数和最小公倍数,质数与和数; 2.教材中的章头引言; 3.集合论的创始人——康托尔(德国数学家)(见附录); 4.“物以类聚”,“人以群分”;

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