三次Bezier曲线
三次Bezier曲线原理及实现代码
Bezier曲线原理及实现代码（c++） 一、原理： 贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。 线性贝塞尔曲线 给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出： 且其等同于线性插值。 二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪： 。TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。 P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。 曲线的参数形式为： 。 现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。 一般化
P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即 。 例如： 。 如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。则 用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。 一些关于参数曲线的术语，有 即多项式 又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。 点P i称作贝塞尔曲线的控制点。多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。
计算机图形学上机实验4_实现Bezier曲线和Bezier曲面的绘制
昆明理工大学理学院 信息与计算科学专业操作性实验报告 年级： 10级姓名：刘陈学号： 201011101128 指导教师： 胡杰 实验课程名称：计算机图形学程序设计开课实验室：理学院机房216 实验内容： 1．实验/作业题目:用计算机高级语言VC++6.0实现计算机的基本图元绘制2．实验/作业课时：2学时 3．实验过程(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机 （2）软件：windows OS，VC++6.0或以上版本。 试验内容及步骤: （1）在VC++环境下创建MFC应用程序工程（单文档） （2）编辑菜单资源 （3）添加菜单命令消息处理函数 （4）添加成员函数 （5）编写函数内容 试验要求： （1）掌握Bezier曲线、Bezier曲面、及另一个曲面的算法。 （2）实现对Bezier曲线、Bezier曲面、及另一个曲面。 （3）试验中调试、完善所编程序，能正确运行出设计要求结果。 （4）书写试验报告上交。 4．程序结构(程序中的函数调用关系图)
5．算法描述、流程图或操作步骤： 在lab4iew.cpp文件中添加如下头文件及变量 int flag_2=0; int n_change; #define M 30 #define PI 3.14159 //圆周率 #include "math.h" //数学头文件 在lab4iew.h文件中的public内添加变量： int move; int graflag; void Tiso(float p0[3],float x0, float y0, float p[3]); void OnBezierface(); 在lab4iew.h文件中的protected内添加变量： int n;//控制点数 const int N;//控制点数的上限 CPoint* a;//控制点存放的数组 double result[4][2]; 在lab4iew.cpp文件中的函数Clab4iew::OnDraw(CDC* pDC)下添加如下代码： int i,j; for(i=0;i
怎样确定 Bezier 曲线的控制点
怎样确定 Bezier 曲线的控制点 （一） 设在平面上已知有 1+n 个数据点 ),(i i i y x P ，n i ,,2,1,0 =。要求在相邻的每两个点 i P 与 1+i P 之间，用一条3次Bezier 曲线连接。 3次Bezier 由4个点确定：i P 是它的起点，1+i P 是它的终点，在起点和终点之间，另外还有两个控制点，依次记为 i A 和 i B 。现在的问题是：如何确定这两个控制点？ （二） 如果在各段3次Bezier 曲线的接头处，只要求曲线函数式的一阶导数连续，也就是说，只要求曲线的切线斜率连续，那么，控制点还是很容易确定的。 我们只要过每一个 i P 点，分别作曲线的切线，然后把位于 i P 前面的控制点 1-i B 和位于i P 后面的控制点 i A ，都取在过 i P 点所作的切线上就可以了。 如果我们把过 i P 点的切线方向，取为与线段 11+-i i P P 平行的方向，那么，控制点 i A 的坐标就可以表示为： i A （)(11-+-+i i i x x a x ，)(11-+-+i i i y y a y ） ； 控制点 i B 的坐标就可以表示为： i B （)(21i i i x x b x --++，)(21i i i y y b y --++） 。 其中，a ,b 是两个可以任意给定的正数，比如说，我们可以取 4 1==b a ，这时，控制点的坐标可以用下列公式求出： i A （411-+-+i i i x x x ，4 11-+-+i i i y y y ） ； i B （421i i i x x x -- ++，421i i i y y y --++ ） 。 例 设 1-i P ,i P ,1+i P ,2+i P 这4点的坐标为 )1,1(),(11=--i i y x ，)2,2(),(=i i y x ，)1,3(),(11=++i i y x ，)2,4(),(22=++i i y x ， 按照上面给出的公式，可以求得控制点 i A 的坐标为 （411-+-+ i i i x x x ，411-+-+i i i y y y ）=（4132-+，4112-+ ）)2,5.2(= ，
计算机图形学 编程生成“三次贝塞尔”曲线
集美大学 计算机工程学院实验报告 课程名称计算机图形学教程 实验名称实验五、编程生成“三次贝塞尔”曲 线 实验类型设计型 学号 日期12月12日地点 成绩教师
一、实验目的： 一方面，让学生对自由曲线的生成算法有更深入的理解，特别是对于曲线的逼近，能够通过实验编程来验证书上所提供的算法思想：另一方面，在图形程序设计方法（如设计各种各样的图形）、绘图函数的使用以及C和C++语言编程环境、程序的调试和测试方面受到比较系统和严格的训练。 二、实验内容： 运用所学的三次贝塞尔曲线生成的算法，根据以下数据点[x, y]：[50, 100] [80, 230] [100, 270] [140, 160] [180, 50] [240, 65] [270, 120] [330, 230] [380, 230] [430, 150]计算出结果，并实现三段贝塞尔在屏幕上显示的功能 三、实验要求： （1）3段三次贝塞尔曲线在衔接点上要连续，曲线整体效果要光滑。 （2）整个图形轮廓要清晰，色彩要分明 四、实验环境： 1．PC，CPU：P4 2.0GHz以上，内存：512M，硬盘：40GB以上； 2．操作系统：Microsoft Windows 2000 /2003/XP； 3．软件：VC或JAVA等。 五、实验内容及完成情况： #include "graphics.h" #include "conio.h" #include "stdio.h" typedef struct { double x,y; } DPOINT; //定义结构体
class Bezier //定义Bezier类 { private: DPOINT* bP; int m_maxIndex; void drawFrame(); void drawCurve(); void drawCurve(int p0,int p1,int p2,int p3); public: Bezier(DPOINT* p,int len); //定义构造函数 void draw(); }; Bezier::Bezier(DPOINT* p,int len) //构造函数的实现{ this ->bP=p; m_maxIndex=len-1; } void Bezier::draw() //通过公有函数调用私有函数{
贝塞尔曲线和B样条曲线(优质参考)
§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线 在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。我们称之为“点点通过”。但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。 针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。 一、 贝塞尔曲线 贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。 1.数学表达式 n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为： )()(0,t B p t p n i n i i ∑== 10≤≤t ),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数 i n i n i t t n i n t B ---= )1()! 1(!! )(, 2.二次贝塞尔曲线 需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式： 2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=
220202,021)1() 1()! 02(!0! 2t t t t t B +-=-=--= - 21212,122)1(2)1()! 12(!1! 2t t t t t t B -=-=--= - 22222,2)1()! 22(!2! 2t t t B =--= - 221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-= [ ] ?? ?? ? ???????????????--=2102 0010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=' )(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p = )(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p = 当2 1 = t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+?-?++?-=?? ? ?? )](2 1 [21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=?+?-+-=?? ? ??'
三次贝塞尔曲线
练习45 三次贝塞尔曲线 一、练习具体要求 本例制作二维图形三次贝塞尔曲线。效果如图45-1所示。执行本例实例后，将创建一个绘有三次贝塞尔曲线的帧。本实例的知识点有：Graphics2D 类和Rectangular 类的应用，曲线绘制的方法。 二、程序及注释 （1）编程思路： java2中Graphics2D 中绘图的第一步是用setColor()，setFont()，setPointMode ，setXORMODE()之类的方法制定绘图属性，第二步生成一个shape 接口的对象，指定要画的形体，第三步是绘图。绘制形体是用三个Graphics2D 方法完成的。Chip()方法将绘图区缩小到指定形体与当前剪接区的交接部分，影响后面的绘图操作。Draw()方法用当前Stroke 绘制Shape 的外形。Fill()方法用当前Point 模式填充Shape 。CubicCurve2D 类生成三次曲线，他与其他曲线类不同，不是描述闭合形体，而是描述曲线。曲线类用贝塞尔曲线定义曲线上的实际点。生成曲线后，应用Draw()或Fill()方法，可以把起点和终点看成相连接的，从而得到闭合区域。 (2) 程序实现及注释： //ExitableJFrame.java import javax.swing.*; public class ExitableJFrame extends JFrame{ //构造函数 public ExitableJFrame(){ } //带窗口标题的构造函数 public ExitableJFrame(String title){ super(title); } //窗口的初始化 本例 知识 点 一句话讲解新学 知识编写Graphics2D 类 绘制图形使用CubicCurve2D 类 绘制图形已学 知识使用Graphics 类 画屏幕图像使用String 类管理字符串
Bezier曲面算法及Bezier曲线
昆明理工大学理学院 信息与计算科学专业设计/综合性实验报告 年级：2015级姓名：学号：1105 指导教师：胡杰 实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210 实验内容： 1．实验/作业题目： MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线 2．实验/作业课时：2个课时 3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机 （2）软件：windows OS，VC++或以上版本。 实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。 完成实验要求的知识或技能： Bezier算法的迭代算法。 （2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。在此使用了三次Bezier算法。 （3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。 （4）基本的程序阅读能力，的基本使用技巧 4．基本要求(完成实验要达到的目标)： Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定
义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质1、端点性质：a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t) 5．程序结构(程序中的函数调用关系图) 6．算法描述或流程图：
二次bezier曲线
#include 第三次作业三次Bezier曲线的绘制一．解题思路： Bezier曲线是用N+1个顶点（控制点）所构成的N根折线来定义一根N阶曲线。本次作业中的三次Bezier曲线有4个顶点，设它们分别为P0，P1，P2，P3，那么对于曲线上各个点Pi（x,y）满足下列关系： x=x0*1-u)*(1-u)*(1-u)+x1 *3*u*(1-u)*(1-u)+x2 *3*u*u*(1-u)+x3 *t*t*t y=y0*(1-u)*(1-u)*(1-t)+y1*3*u*(1-u)*(1-u)+y2*3*u*u*(1-u) +y3 *u*u*u 所以只要确定控制点的坐标，该曲线可通过编程即可绘制出来。 本题取的初始控制点为：p0(-600,100)、p1(-300,400)、p2(300,600)、p3(600,100)。还可以通过输入不同的控制点画出不同的三次Bezier曲线。 程序中有绘制曲线，清空，清屏，退出四个按钮，其中点击绘制曲线按钮可根据控制点绘制出相应的曲线；点击清空按钮则可以将已绘制的曲线清除；点击清屏按钮可以将输入文本框中的数据清除，以方便输入新的数据；点击退出按钮则退出程序。 二．程序代码 Function f() Picture1.FontSize = 9 Picture1.Scale (-900, 1000)-(900, -1000) Picture1.Line (-800, 0)-(800, 0) Picture1.Line (0, 800)-(0, -800) For i = -7 To 7 Picture1.Line (100 * i, 0)-(100 * i, 20) Picture1.CurrentX = i * 100 - 50: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print i * 100 Next i For i = -7 To -1 Picture1.Line (0, 100 * i)-(20, 100 * i) Picture1.CurrentX = -100: Picture1.CurrentY = 100 * i + 20: Picture1.Print i * 100 Next i For i = 1 To 7 Picture1.Line (0, 100 * i)-(20, 100 * i) Picture1.CurrentX = -100: Picture1.CurrentY = 100 * i + 20: Picture1.Print i * 100 Next i End Function Private Sub Form_Load() Picture1.AutoRedraw = True Picture1.ScaleWidth = 900 Picture1.ScaleHeight = 900 f Text1.Text = -600: Text2.Text = 100: Text3.Text = -300: Text4.Text = 400 Text5.Text = 300: Text6.Text = 600: Text7.Text = 600: Text8.Text = 100 End Sub Private Sub command1_Click() x0 = Text1.Text: y0 = Text2.Text X1 = Text3.Text: Y1 = Text4.Text X2 = Text5.Text: Y2 = Text6.Text X3 = Text7.Text: Y3 = Text8.Text Picture1.FontSize = 18 Picture1.CurrentX = 800: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print "X" Picture1.CurrentX = 10: Picture1.CurrentY = 810: Picture1.Print "Y" For t = 0 To 1 Step 0.001 x = x0 * (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) + X1 * 3 * t * (1 - t) * (1 - t) + X2 * 3 * t * t * (1 - t) + X3 * t * t * t y = y0 * (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) + Y1 * 3 * t * (1 - t) * (1 - t) + Y2 * 3 * t * t * (1 - t) + Y3 * t * t * t Picture1.CurrentX = x0 + 10: Picture1.CurrentY = y0 + 10: Picture1.Print "p0" Picture1.CurrentX = X1 + 10: Picture1.CurrentY = Y1 + 10: Picture1.Print "p1" Picture1.CurrentX = X2 + 10: Picture1.CurrentY = Y2 + 10: Picture1.Print "p2" Picture1.CurrentX = X3 + 10: Picture1.CurrentY = Y3 + 10: Picture1.Print "p3" Picture1.DrawWidth = 1 Picture1.Line (x0, y0)-(X1, Y1), vbBlue 实现Bezier曲线的生成算法 实验步骤 （一）生成绘图应用程序的框架（如下图） 具体实现见第一次实验，过程不再详细说明。 （二）在应用程序中增加菜单 完成相关菜单的设计，具体的效果如下图所示，并设置好相关菜单消息的映射，具体的实现在前面的实验中介绍过，再此不在详细说明。 （三）在绘图函数中添加代码 通过以上步骤，得到了与菜单对应的消息映射，就可以在函数中添加代码绘制图形了。 1、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。void CBezierView::OnBezier2() { // TODO: Add your command handler code here CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针 RedrawWindow();//重绘窗口 CPen bluepen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,255));//创建画实线、线宽为2的蓝色画笔 CPen *old=pDC->SelectObject(&bluepen); float x0=100,y0=100,x1=200,y1=50,x2=150,y2=250; float i,x,y,dt,t,n=30.0; dt=1/n; for(i=0;i<=n;i++) { t=i*dt; x=x0*(1-t)*(1-t)+x1*2*t*(1-t)+x2*t*t; y=y0*(1-t)*(1-t)+y1*2*t*(1-t)+y2*t*t; if(i==0)pDC->MoveTo(x,y); pDC->LineTo(x,y); pDC->MoveTo(x0,y0); pDC->LineTo(x1,y1); pDC->LineTo(x2,y2); pDC->SelectObject(old); ReleaseDC(pDC); } 由以上代码绘出的图形如下： 2、利用Bezier曲线的生成算法实现二次Bezier曲线的生成（算法的详细原理见教材）。。void CBezierView::OnBezier3() { // TODO: Add your command handler code here CDC*pDC=GetDC();//得到绘图类指针 RedrawWindow();//重绘窗口 CPen redpen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,0));//创建画实线、线宽为2的红色画笔 CPen *old=pDC->SelectObject(&redpen); float x0=50,y0=50,x1=150,y1=150,x2=300,y2=130,x3=350,y3=50; float i,x,y,dt,t,n=30.0; dt=1/n; for(i=0;i<=n;i++) 实验六：Bezier曲线的算法实现 （1）算法描述 根据Q(t)=∑Pi?Bi,n(t) = ∑Pi? C in ti(1-t)n-i 并且 C in =C(n,k)= C(n,k-1) 在主程序中提供特征多边形的各个顶点坐标放入controls[]数组中，ncontrols为顶点的个数，m为曲线上取的样点数，比如m=100表示取100个样点。计算出曲线上的各个样点坐标放入curve[]数组中，这样可以通过相邻点连线绘出生成的Bezier曲线。 程序实现步骤：（工程名:BezierCurve） （ⅰ）C m n的函数实现，定义成成员函数，命名为Multiply_n。 C mn = = int Multiply_n(int m,n) { int i,j,a; if (m!=0) { a=1; for (i=m+1;i<=n;i++) //求（m+1）(m+2)…(n-1).n a=a*i; for (j=1;j<=n-m;j++) //求(n-m)!和C mn a=a/j; return a; } else return 1; } （ⅱ）伯恩斯坦多项式Bm,n(t)的函数实现 Bm,n(t)= C mn tm(1-t)n-m Double Bernstein(int m,int n,double t) { int i,j; double sum; sum=Multiply_n(m,n); //求C mn for (i=1;i<=m;i++) sum=sum*t; // C mn tm for (j=1;j<=n-m;j++) sum=sum*(1-t); // C mn tm(1-t)n-m return sum; } (ⅲ) 在OnDraw(CDC* pDC)函数中添加如下代码： Bezier三次曲线实验报告 一：实验目的 用C语言实现Bezier三次曲线原理的划线 二：实验环境 VC6.0 三：实验人数 一人 四：实验内容 Bezier曲线生成的原理和步骤都在程序上给了注释 五：实验步骤 #include 作业三：三次Bezier曲线 1. 设计要求: 1．在程序窗口中建立坐标系 2．输入控制点，绘制出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线 3．四个控制点间依次用细线连接 4．在程序窗口显示四个控制点的位置并标出 2. 设计思路: 先在草稿纸上算出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线的函数表达式： （０≤ｕ≤１） ＝ａ×＋ｂ×＋ｃ×ｕ＋ｄ 其中ａ、ｂ、ｃ、ｄ的值为： ａ＝（-） + 3 × - 3 × + ｂ＝3× - 6 × + 3 × ｃ＝（-3） × + 3 × ｄ＝ 将、、、中的（ｘ，ｙ）坐标值分别代入ａ、ｂ、ｃ、ｄ中得到、、、和、、、则： ＝×＋×＋×ｕ＋ （１） ＝×＋×＋×ｕ＋ （２） 根据以上结果（１）和（２）编程求得当ｕ取不同值时所得到的点Ｐ（ｕ）。再将各点用线连接起来即可拟合三次Ｂｅｚｉｅｒ曲。 3. 设计过程: 以下是用ＶＢ编三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线时的源代码： 其中显示四个控制点的思路是将控制点在ｘ和ｙ方向的坐标值都增大１，然后再与控制点用粗实线连接起来。这样一来在窗口中显示的即为一个较大的实点。 Function drawcs() '此模块为建立坐标系 Dim k As Integer PictDraw.DrawWidth = 1: PictDraw.FontSize = 9 '设置线宽和字体 PictDraw.Line (-400, 0)-(400, 0), RGB(100, 100, 100) PictDraw.Line (0, -300)-(0, 300), RGB(100, 100, 100) For k = (-360) To 360 Step 40 PictDraw.Line (k, -5)-(k, 0): PictDraw.CurrentX = k - 20: PictDraw.CurrentY = 5: PictDraw.Print k Next k For k = (-280) To -40 Step 40 PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * k Next k For k = (40) To 280 Step 40 PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * k Next k End Function Private Sub Form_Load() PictDraw.AutoRedraw = True PictDraw.ScaleWidth = 800 PictDraw.ScaleHeight = 600 Text1.Text = -300: Text2.Text = -250: Text3.Text = 300: Text4.Text = -250 Text5.Text = -300: Text6.Text = 250: Text7.Text = 300: Text8.Text = 250 '作为初始值，便于测试 drawcs End Sub Private Sub cmdCancle_Click() PictDraw.Cls drawcs '清除屏幕后，重建坐标系 End Sub Private Sub delet_Click() '此模块为清除输入框中的值 Text1.Text = "" Text2.Text = "" Text3.Text = "" Text4.Text = "" Text5.Text = "" Text6.Text = "" Text7.Text = "" 贝塞尔曲线运用技巧 一、无处不在的贝塞尔曲线 说到Photoshop、Fireworks、CorelDraw这些设计软件里的“贝赛尔”工具，大家不一定很熟悉，也不一定了解它的重要性。所以很多朋友感觉这个东西有些深奥，操控起来也不是那么方便。也许你看了这篇文章之后，要掌握它就不会觉得太难了。 由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径（好的手写板实在价格不菲），与手绘的感觉和效果有很大的差别。即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。这一点是计算机万万不能代替手工工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。 “贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bezier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。 都是称谓惹的祸！“贝赛尔”工具在PhotoShop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。它是用来画线的一种专业工具。当然还有很多工具也可以完成画线的工作，例如大家常用的Photoshop里的直线、喷枪、画笔工具，Fireworks里的直线、铅笔和笔刷工具，CorelDraw 里的自由笔，手绘工具等等。 用“贝塞尔”工具无论是画直线或是曲线，都非常简单，随手可得。其操作特点是通过用鼠标在面板上放置各个锚点，根据锚点的路径和描绘的先后顺序，产生直线或者是曲线的效果。我们都知道路径由一个或多个直线段或曲线段组成。锚点标记路径段的端点。在曲线段上，每个选中的锚点显示一条或两条方向线，方向线以方向点结束。方向线和方向点的位置确定曲线段的大小和形状。移动这些元素将改变路径中曲线的形状，可以看下图。路径可以是闭合的，没有起点或终点（如圆圈），也可以是开放的，有明显的端点（如波浪线）。 （一） Bezier 曲线定义如下： 设有 1+n 个点：),(i i y x ，n i ,,2,1,0 = ，下列参数曲线 ??? ????-==-==∑∑=-=-n i i n i i n i n i i n i i n i t t C y t y y t t C x t x x 00)1()()1()( ，10≤≤t ， 称为由这 1+n 个点确定的 n 次Bezier 曲线。 例如，已知有下列4个点： )100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x , 它们可以确定一条3次Bezier 曲线。这条Bezier 曲线的参数表达式为： ???+-?+-?+-=+-?+-?+-=32233 223200)1(3100)1(3200)1(100400)1(3300)1(3200)1(100t t t t t t y t t t t t t x ，10≤≤t 。 这条Bezier 曲线的图像为 Bezier 曲线的特点是：曲线只通过开头的一点和结尾的一点，不通过中间的各点。如果我们要求曲线通过中间的各点，显然Bezier 曲线是不符合我们要求的。 （二） 如果要求曲线通过给出的每一点，可以采用“3次样条曲线”。 3次样条曲线是这样一种曲线：它在已知的每两个点 ),(11--i i y x 与 ),(i i y x 之间，用一段段3次曲线 3 2x d x c x b a y i i i i +++= 作连接，而且保证在各段连接处，一阶、二阶导数都是连续的，整条曲线是处处光滑的。 例如，已知有下列4个点： )100,100(),(00=y x ,)200,200(),(11=y x ,)100,300(),(22=y x ,)200,400(),(33=y x , 实验六 双三次Bezier 曲面 一、实验目的 根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。 二、实验任务（2学时） Bezier 曲面算法及其程序设计。 三、实验内容和实验步骤 1、算法描述 Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕 双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕 展开上式，有 代入得到： )()(),(m 0i ,,0,∑∑===v B u B P v u p n j m i n j j i 33 ,,3,3i 00(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ??????????????=??????????????????320,3321,3322,3 33,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ?=-+-+?=-+??=-+??=?320,3321,3322,333,3()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v v B v v ?=-+-+?=-+??=-+??=? 0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,33,03,13,23,313313630(,)133001000P P P P P P P P p u v u u u P P P P P P P P --????????-??????=????????-????????3213313630330010001v v v ??--??????-?????????-?????????? 根据bezier定义 % Bezier Square Curve Ploter % This file will create a Bezier square curve and dispay the plot. % The parameter is the Vertex matrix. function [X] = bezier2(Vertex) BCon=[1 -2 1;-2 2 0;1 0 0]; % constant Matrix for i = 1:1:50 par = (i - 1)/49; XY(i,:) = [par^2 par 1]*BCon*Vertex; % create data end % display the vertices and the curve using Matlabs built-in graphic functions clf % this will clear the figure plot(Vertex(:,1),Vertex(:,2),'ro',XY(:,1),XY(:,2),'b-') % create a plot of both the V ertices and curve, the vertices will be red “o” % while the curve is blue line line(Vertex(:,1),Vertex(:,2),'color','g') % add the control polygon. xlabel(' x ') ylabel ('y ') title('Square Bezier Curve') legend('控制顶点','Bezier曲线','控制多边形') % you can move the legend on the plot 然后，在命令行定义Bez2Vertex=[ 0 0 ; 0.3 0.7 ; 1.0 0.2]，即定义，，，再在命令行输入bezier2(Bez2Vertex) 实验四Bezier曲线的绘制 1. 实验目的 练习Bezier曲线的绘制和de Casteljau算法。 2. 实验内容和要求 按要求完成如下一个作业，提交纸质实验报告，同时提交实验报告和代码的电子版。 实现Bezier曲线的de Casteljau递推算法，能够对任意介于0和1之间的参数t计算Bezier曲线上的点，然后依次连接这些点生成Bezier曲线。要求： 对[0,1]参数区间进行100等分。 控制点的数目至少为5个，即Bezier曲线的次数不低于4次。 de Casteljau算法用一个函数单独实现。 绘制Bezier曲线的同时还要绘制其控制多边形。 至少绘制两条Bezier曲线，具有不同的次数，颜色和曲线宽度。 3.算法描述 Bezier Curve(贝塞尔曲线)是应用于二维图形应用程序的数学曲线。 曲线定义：起始点、终止点、控制点。 通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。 1962年，法国数学家Pierre Bezier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名，称为贝塞尔曲线。 以下公式中：B(t)为t时间下点的坐标；P0为起点,Pn为终点,Pi为控制点。 一阶贝塞尔曲线如下，意义由 P0 至 P1 的连续点，描述的是一条线段： 二阶贝塞尔曲线（抛物线：P1-P0为曲线在P0处的切线）： 原理：由 P0 至 P1 的连续点 Q0，描述一条线段。 由 P1 至 P2 的连续点 Q1，描述一条线段。 由 Q0 至 Q1 的连续点 B(t)，描述一条二次贝塞尔曲线。 4. 源程序代码 #include第三次作业 三次Bezier曲线的绘制
Bezier曲线的生成算法参考代码
Bezier曲线的算法实现
C语言代码,Bezier三次曲线
三次Bezier曲线
贝塞尔曲线运用技巧
Bezier曲线函数
双三次Bezier曲面
matlab实现三次贝塞尔曲线
实验报告四bezier曲线