2020年四川省成都市高三一模数学试题
数学试卷
第I 卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x ∈Z|－1 A.{x|－1 B.{x|0 C.{0，1，2} D.{1，2} 2.已知a ，b ∈R ，3＋ai ＝b －(2a －1)i ，则 A.b ＝3a B.b ＝6a C.b ＝9a D.b ＝12a 3.设双曲线2 2 1(0)27x y m m m +=>的焦距为12，则m ＝ A.1 B.2 C.3 D.4 4.若x ，y 满足约束条件0210x y x y x -?≤+≤+≥???? ，则z ＝4x ＋y 的最大值为 A.－5 B.－1 C.5 D.6 5.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是 A.i ≤6? B.i ≤5? C.i ≤4? D.i ≤3? 6.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为CC 1，DD 1的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为 A.14 B.154 C.265 D.15 7.某班45名同学都参加了立定跳远和100米跑两项体育学业水平测试，立定跳远和100米跑合格的人数分别为30和35，两项都不合格的人数为5。现从这45名同学中按测试是否合格分层(分成两项都合格、仅立定跳远合格、仅100米跑合格、两项都不合格四种)抽出9人进行复测，那么抽出来复测的同学中两项都合格的有 A.1人 B.2人 C.5人 D.6人 8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央。出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何?”其意 思为“今有水池1丈见方(即CD＝10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺。将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接(如图所示)。试问水深、芦苇的长度各是多少?假设θ＝∠BAC，现有下述四个结论： ①水深为12尺；②芦苇长为15尺；③ 2 tan 23 θ =；④ 17 tan() 47 π θ+=-。 其中所有正确结论的编号是 A.①③ B.①③④ C.①④ D.②③④ 9.将函数f(x)＝sin(3x＋ 6 π )的图象向右平移m(m>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象。若g(x)为奇函数，则m的最小值为 A. 18 π B. 9 π C. 2 9 π D. 24 π 10.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为h1，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为h2，则1 2 h h = A.2 1 r r B.2 2 1 () r r C.3 2 1 () r r 2 1 r r 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且在[0，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋ 2)≤f(－1)对于x∈[1，2]恒成立，则a的取值范围是 A.[－ 3 2 ，－1] B.[－1，－ 1 2 ] C.[－ 1 2 ，0] D.[0，1] 12.已知函数f(x)＝ae x(a>0)与g(x)＝2x2－m(m>0)的图象在第一象限有公共点，且在该点处的切线相同，当实数m变化时，实数a的取值范围为 A.(24e ，＋∞) B.(28e ，＋∞) C.(0，24e ) D.(0，2 8e ) 第II 卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上。 13.设非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|，cos＝13 ，a ·(a －b)＝16，则|b|＝ 。 14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，《周髀算经》中称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数。现从1～5这5个数中随机抽取3个不同的数，则这三个数为勾股数的概率为 。 15.设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边。已知A ＝ 3 π，b ＝1，且(sin 2A ＋4sin 2B)c ＝8(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A)，则a ＝ 。 16.过抛物线C ：x 2＝4y 的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A 点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是 。 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。 17.(12分) 某校高三(1)班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重。为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表： (1)欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分? (2)依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系。 参考公式及数据：2 2 ()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n ＝a ＋b ＋c ＋d 。 18.(12分) 已知数列{a n }满足a 1＝1，且13n n n a a a -=+＋1。 (1)证明数列{11 n a +}是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝21 n n a +，求数列{b n }的前n 项和S n 。 19.(12分) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD//BC ，∠DAB ＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝12 AD ＝2，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点。 (1)若EF//平面PAD ，证明：F 为PC 的中点。 (2)求点C 到平面PBD 的距离。 20.(12分) 已知椭圆C ：2 221(1)x y a a +=>的左顶点为A ，右焦点为F ，斜率为1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且OB ⊥AB ，其中O 为坐标原点。 (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设过点F 且与直线AB 平行的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若点P 满足3OP PM =u u u r u u u u r ， 且NP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，求 NP PQ 的值。 21.(12分) 已知函数()()()11ln 3x x f x m x ++=-，g(x)＝－mx ＋lnx(m ∈R)。 (1)求函数g(x)的单调区间与极值。 (2)当m>0时，是否存在x 1，x 2∈[1，2]，使得f(x 1)>g(x 2)成立?若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由。 (二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分) 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 3sin x y αα==??? (α为参数)。以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴。建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＋ρcos θ＝6。 (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)若射线m 的极坐标方程为θ＝ 3π(ρ≥0)。设m 与C 相交于点M ，m 与l 相交于点N ，求MN 。 23.[选修4－5：不等式选讲](10分) 设函数f(x)＝|12 x ＋1|＋|x －1|(x ∈R)的最小值为m 。 (1)求m 的值； (2)若a ，b ，c 为正实数，且 1112233ma mb mc ++=，证明：21993a b c ++≥。