轴对称知识点典型例题复习

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x

y 5

-54

2

-2

-41-5

-1

-4432-3-3-2-1

513

B

A

C 轴对称考点复习

考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识

⑴轴对称图形：如果_____个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫做____________。

⑵轴对称：对于____个图形，如果沿着一条直线对折后，它们能完全重合，那么称这两个图形成________，这条直线就是对称轴。两个图形中的对应点叫做__________

典例1．下列几何图形中，○

1线段 ○2角 ○3直角三角形 ○4半圆，其中一定是轴对称图形的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．图9-19中，轴对称图形的个数是（）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴

考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称

（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的________、________完全一样

（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于_________的对称点． （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴______________． [关于坐标轴对称]

点P （x ，y ）关于x 轴对称的点的坐标是（x ，-y ） 点P （x ，y ）关于y 轴对称的点的坐标是（-x ，y ） [关于原点对称]

点P （x ，y ）关于原点对称的点的坐标是（-x ，-y ） [关于坐标轴夹角平分线对称]

点P （x ，y ）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称的点的坐标是（y ，x ） 点P （x ，y ）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x 对称的点的坐标是（-y ，-x ）

[关于平行于坐标轴的直线对称] 点P （x ，y ）关于直线x=m 对称的点的坐标是（2m-x ，y ）；

点P （x ，y ）关于直线y=n 对称的点的坐标是（x ，2n-y ）； 典例： 已知：△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示. （1）把△ABC 向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出△A1B1C1关于y 轴对称的△A2B2C2，并写出A2的 坐标. 考点三、作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点．

（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形

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图（2）

B

P

典例：1、如图，Rt △ABC ，∠C=90°,∠B=30°,BC=8，D 为AB 中点， P 为BC 上一动点，连接AP 、DP,则AP+DP 的最小值是

2、已知等边ABC ，E 在BC 的延长线上，CF 平分∠DCE ，P 为射线BC 上一点，Q 若AP=PQ ，求证∠APQ 是多少度 考点四、线段垂直平分线的性质

⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________ ⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等 归类回忆角平分线的性质

⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________

⑵角平分线上的点到______________________________相等

典例1、如图，△ABC 中，∠A=90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中

点，

求∠C 的度数。2、 如图，△ABC 中，AB=AC ，PB=PC ，连AP 并延长交BC 于D ，求证：AD 垂直平

分BC

3边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，

则） C.26厘米 D.28厘米 4、是∠BAC 平分线上一点，PM ∥AC ，PD ⊥AC ， PD=28 , 则AM=

5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，∠BA C 的平分线交

BC 于D. 过C 点作CG⊥AB 于G ，交AD 于E.过D 点作 DF⊥AB 于F.下列结论： ①∠CED=∠CDE；②AEC S ?︰AC S AEG =?︰AG ；③∠AD F =2∠ECD ；

④DFB CED S S ??=；⑤CE=DF.其中正确结论的序号是( ) A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤

考点五、等腰三角形的特征和识别

⑴等腰三角形的两个_____________相等（简写成“________________”）

⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合（简称为“________________”）

特别的：（1）等腰三角形是___________图形.

（2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应__________.

⑶如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的________也相等（简称为“____________________”）

A

F E

D

C

B

A

G 第10题图

F

C D

B

E

A A

B

C

D

G

F

E

特别的：

（1）有一边上的角平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形． （2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形． （3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形． （4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形．

典例1、如图，△ABC 中，AB=AC=8，D 在BC 上，过D 作DE ∥AB 交AC 于E ，DF ∥AC

交AB 于F ，则四边形AFDE 的周长为______。

2、 如图，△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 与∠ACB ，EF 过D

且EF ∥BC ，若AB = 7，BC = 8，AC = 6，则△AEF 周长为( ) A. 15 B . 14 C. 13 D. 18 3、 如图,点B 、D 、F 在AN 上,C 、E 在AM 上，且

AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o

,则∠FEB=________度．

4、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的一个底角的度数是_____________

5、△ABC 中， DF 是AB 的垂直平分线，交BC 于D ，EG 是AC 的垂直平分线，交BC 于E ，若∠DAE=20°，则∠BAC 等于°

6、从一个等腰三角形纸片的底角顶点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角等于

7、已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，点D 、E 在直线AB 上，且AD=AC ，BE=BC ，则∠DCE =度.

8、如图：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， DE ⊥AB 于点E, DF ⊥AC 于点F 。试说明DE=DF 。

9、如图,E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE.求证：△ABC 是等腰三角形. 10、已知：如图，△ABC 中，∠ACB 的平分线

交AB 于E ，EF ∥BC 交AC 于点F ，交∠ACB 的外角平分线于点G ．试判断△EFC 的形状，并说明你的理由．

11、如图，△ABC 中，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝CB ，AD 、BC 的延长线相交于G ，CE ⊥AG 于E ，CF ⊥AB 于F.

（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）； （2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由. 考点六、等边三角形的特征和识别

⑴等边三角形的各____相等，各____相等并且每一个角都等于________ ⑵三个角相等的三角形是__________三角形

⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形

特别的：等边三角形的中线、高线、角平分线_________________________________________ 典例1、下列推理中，错误的是 ( ) A ．∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形

N

M F

C D

B

A F E D

A

B

C

F E D

C

B

A

乙

O

D

C

B

A

第10题

O

Q

P

D B

A

C

E

E D

C A

F B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形 D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形

2、如图，等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

3、已知△ABC 是等边三角形，分别在AC 、BC 上取点E 、F ，且AE=CF ，BE 、AF 交于点D ，则∠BDF ＝ _________度

4、如图，点P 是等边△ABC 内一点，点P 到三边的距离分别为PE 、PF 、PG ，等边△ABC 的高为AD ， 求证：PE+PF+PG=AD

如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF?的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形 C ．直角三角形 D ．不等边三角形

变式题：如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，FE ⊥BC,DF ⊥AC, ED ⊥AB,垂足分别为点E,F,D,求证：△DEF 为等边三角形。 ．如图8－2，B 、C 、D 在一直线上，ΔABC 、ΔADE 是等边三角形，若CE ＝15cm ，CD ＝6cm ，则AC ＝_____，∠ECD ＝_____． 5、如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A 、E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下六个结论：①AD=BE;②PQ ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP; ⑤∠AOB=60°;⑥CO 平分∠AOE.其中不正确的有（ ）个 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 考点七、30°所对的直角边是斜边的一半 典例

1、如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直

于横梁AC ，AB=8m ，∠A=30°，则DE 等于（ ）

A ．1m

B ．2m

C ．3m

D ．4m

2、如图：△ADC 中，∠A = 15°，∠D=90°，B 在AC 的垂直平分线上，AB =34，则CD = ( ) A. 15 B . 17 C. 16 D. 以上全不对

3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，已知AO=BO=40cm ，C0=D0=30 cm ，现将桌子放平，两条桌腿叉开

的角度∠AOB 刚好为120°，求桌面到地面的距离是多少？

4、如图，AB=AC ，DE⊥AB 于E ，DF⊥AC 于F ，∠BAC=120o

，

BC=6，则

DE+DF= 5、在ABC △中，120AB AC A =∠=?，，AB 的垂

BC 于点D ，

直平分线交

交AB 于点E ．如果1DE =，求BC 的长

如图，已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AB 的垂直平分线交AB 于E ， 交BC 于F . 求证：CF=2BF.

甲

A D D

B

A

A

B C D

E

M F

E

C

B 第4题图

G

F E

D A B P