分式因式分解整式乘除综合知识点及练习

整式的乘除法。因式分解和分式复习

基本概念

一．整式的除乘法 1.同底数幂的乘法：m

n m n a a a +=，

（m,n 都是正整数），即同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

2.幂的乘方：()m n

mn

a a

=，（m,n 都是正整数），即幂的乘方，底数不变，指数相乘。

3.积的乘方：()n n n

ab a b =，（n 为正整数），即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

4.整式的乘法：

（1）单项式的乘法法则：一般地，单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（2）单项式乘多项式法则：单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

可用下式表示：m (a +b +c )=ma +mb +mc (a 、b 、c 都表示单项式)

（3）多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

5.乘法公式： （1）平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积等于这两个

数的平方差”，即用字母表示为：(a +b )(a －b )=a 2－b 2

；其结构特征是：公式的左边是两个一次二项式的乘积，并且这两个二项式中有一项是完全相同的，另一项则是互为相反数，右边是乘式中两项的平方差.

（2）完全平方公式：完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和（或差）的平方，等于第一数的平方加上（或减去）第一数与第二数乘积的2倍，加上第二数的平方”，即用字母

表示为：(a +b )2=a 2+2ab +b 2；(a －b )2=a 2－2ab +b 2

；其结构特征是：左边是“两个数的和或差”的平方，右边是三项，首末两项是平方项，且符号相同，中间项是2ab ，且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方公式中，字母a 、 b 都具有广泛意义，它们既可以分别取具体的数，也可以取一个单项式、一个多项式或代数式（3）添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都变号。

乘法公式的几种常见的恒等变形有： （1）．a 2

+b 2

＝(a +b )2

－2ab ＝(a －b )2

+2ab . （2）．ab ＝

2

1［(a +b )2－（a 2+b 2

）］

＝41［(a +b )2－(a －b )2］＝2

222??

? ??--??? ??+b a b a . （3）．(a +b )2+(a －b )2＝2a 2+2b 2

. （4）．(a +b +c )2

=a 2

+b 2

+c 2

+2ab +2bc +2ca .

利用上述的恒等变形，我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题，并且还会收到事半功倍的效果.

6.整式的除法：m

n

m n

a a a

-÷=，（0a ≠，m ，n 都是正整数，并且m n >），即同底数幂相

除，底数不变，指数相减。

（1）0

1(0)a a =≠，任何不等于0的数的0次幂都等于1.

（2）单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字

母，则连同它的指数作为商的一个因式。

（3）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 二．因式分解

7.因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

8．常用的因式分解方法：

（1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法。

i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂。 （2）公式法：

（1）常用公式

平 方 差： )b a )(b a (b a 2

2-+=- 完全平方： 2

22)b a (b 2ab a ±=+±

（2）常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()

()n

n a b b a -=-；

②21

21()

()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）

（3）十字相乘法

ⅰ 二次项系数为1的二次三项式

q px x ++2

中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成

()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22

ⅱ 二次项系数不为1的二次三项式

c bx ax ++2中，如果能把二次项系数a 分解成两个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么它就可以

：

()=+++=++2112212

212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。 （4）分组分解法

ⅰ 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22

a b a b -+-没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

ⅱ 原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分解。 ⅲ 有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多项

式正确分解即可。

三．分式：

1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子

B

A

叫做分式。（分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零）

2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的

值不变。C B C A B A ??= （0≠C ） )0(≠÷÷=

C C

B C

A B A 3.分式的通分和约分：关键先是分解因式 4.分式的运算：

分式乘法法则:分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

bd

ac

d c b a =?

分式除法法则: 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

bc

ad

c d b a d c b a =?=÷

分式乘方法则: 分式乘方要把分子、分母分别乘方。

n n n

b a b a =???

??

分式的加减法则:

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

c

b

a c

b

c a ±=±

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减

bd

bc

ad d c b a ±=

± 混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。

5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1,即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数

时，)0(1

≠=

-a a a n

n 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n

m n m a a a +=

?； （2）幂的乘方：mn

n m a a =)(; （3）积的乘方：

n

n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n

m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n

n b

a b a =)((b ≠0);

7、分式的约分

(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质．

(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． (4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 8、分式的通分

把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。 分数通分的方法及步骤是：

先求出几个异分母分数的分母的最小公倍数，作为它们的公分母，把原来的各分数化成用这个公分母做分母的分数。

分式的通分和分数的通分是一样的：通分的关键是确定几个分式的公分母。 9、最简公分母：

各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

找最简公分母的步骤： （1）．取各分式的分母中系数最小公倍数； （2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到； （3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的； （4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

回顾分解因式找公因式的步骤：

（1） 找系数：找各项系数的最大公约数； （2） 找字母：找相同字母的最低次幂； 1．约分的主要步骤：

先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。

2．约分的依据是分式的基本性质：

约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。

3．若分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，则约去分子、分母中相同因式的最低次幂，分子、分母的系数约去它们的最大公约数．

4．若分式的分子、分母中有多项式，则要先分解因式，再约分．

注意：

1.当分式的分子与分母的因式只差一个符号时，要先处理好符号再约分，因式变号规则如

下：

()()

()()

?

?

?

-

-

=

-

-

=

-

-

-1

2

1

2

2

2

n

n

n

n

a

b

b

a

a

b

b

a

（其中n为自然数）。

2．分式的分子，分母的多项式中有部分项不同时，不得将其中的一部分相同的项约去（约分只能约分子分母中相同的因式）。

二、通分

同分的关键是找最简公分母：

最简公分母：各分式分母中的系数是最小公倍数与所有的字母（或因式）的最高次幂的积，叫做最简公分母。

※找最简公分母的步骤：

（1）．取各分式的分母中系数最小公倍数；

（2）．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

（3）．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

（4）．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

※回顾分解因式找公因式的步骤：

(1)、找系数：找各项系数的最大公约数；

(2)、找字母：找相同字母的最低次幂；

通分：把分母不同的几个分式化为分母相同的分式叫通分。通分时先确定各分母的最简公分母，再利用分式的基本性质把不同分母的分式化为相同分母分式。

注意：

1)通分时如果分母是多项式，一般先将分母分解因式，这样便于找到最

简公分母。

2)通分与约分的异同：通分与约分的根据都是分式的基本性质，通分是

把分式的分子、分母同时乘上一个不等于零的整式；而约分是把分式

的分子分母都除以同一个不等于零的整式，使分式的值不变，两者是

一个互逆的运算过程。

3）“通分”是异分母加减运算的重要步骤，把它安排在学生学习同分母加减法之后，在异分母加减法之前，使知识更具有系统

性，学习通分的目的性更强。

跟踪练习

一．填空题

1．若23n x =，则6n x = .

2．已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+、n m x 23-的值。 3．已知：a m =2，b n =32，则n m 1032+=________。 4．24(21)(21)(21)+++的结果为 .

5．已知：a 、b 、c 是三角形的三边，且满足0222=---++ac bc ab c b a ，则该三角形的形状是_________________________.

6．如果（2a ＋2b ＋1）(2a ＋2b －1)=63，那么a ＋b 的值为_______________。 7．已知：20072008+=x a ，20082008+=x b ，20092008+=x c ， 求ac bc ab c b a ---++222的值。 8．若210,n n +-=则3222008_______.n n ++=

9．已知099052=-+x x ，求1019985623+-+x x x 的值。 10．已知0258622=+--+b a b a ，则代数式

b

a

a b -的值是_______________。 11．已知：0106222=+++-y y x x ，则=x _________，=y _________。 12．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足03222=-+-b c b c a b a ，则这个三角形是___________________。

13．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足关系式222222b ac ab c a -+=+，试判断△ABC 的形状。 14.分组分解因式

1）．分解因式：a 2

－1＋b 2

－2ab ＝_______________。

2）．分解因式：=-+-22244a y xy x _______________。

15．分式方程2x =3的解是________；分式方程

52

31x x

=-的解是________． 二．选择题

1、下列分式的运算中，其中结果正确的是（ ）

A 、a 1+b a b +=21

B 、3

23)(a a a = C 、b a b a ++22=a+b D 、3

19632-=+--a a a a 2、下列各式从左到右的变形正确的是（ ）

A.1

22122

x y

x y x y x y -

-=

++ B.

0.220.22a b a b

a b a b ++=

++

C.11

x x x y x y

+--

=-- D.

a b a b

a b a b

+-=

-+ 3、当x 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ ）

A ．

212-x B ．122+x C ．2

2x D ．21

+x

4、若有m 人a 天完成某项工程，则（m+n ）个同样工作效率的人完成这项工程需要的天数是

（ ） B

A 、a+m

B 、

n m ma + C 、n m a + D 、ma n

m + 5、已知两个分式：244A x =-，11

22B x x

=+

+-，其中2x ≠±，则A 与B 的关系是（ ） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 D.A 大于B

6．一项工程，甲单独做需m 小时完成，若与乙合作20小时可以完成，则乙单独完成需要的时间是（ ） A ．

2020m m -小时 B ．2020m m +小时 C ．2020m m -小时 D ．20

20m m

+小时

7．（数学与生产）我市要筑一水坝，需要规定日期内完成，如果由甲队去做，?恰能如期完

成，如果由乙队去做，需超过规定日期三天，现由甲、乙两队合做2天后，?余下的工程由乙队独自做，恰好在规定日期内完成，求规定的日期x ，下面所列方程错误的是（ ）

A ．2x +3x x +=1

B ．2x =33x +

C ．（1x +13x +）×2+13

x +（x-2）=1 D ．1x +3x x +=1

三、化简：

1.（x x x x x 2)2422+÷-+-

2. ÷--23x x （2

5-x -x -2），

3.ab b a ab b a b a 21(222

222++÷-- ）， 4.221

93

m m m -=-+．

作业题：

1．当x_______________时，分式

11

-x 没有意义． 2、当x =______________时，分式1

x

x +的值为0

3、化简13+a a －1

+a a

= ，

4．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当n 为偶数时，

结果为k n 2（其中k 是使k n

2

为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n ＝26，则：

若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是__________．

5、按下列程序计算，把答案写在表格内：

(2)请将题中计算程序用代数式表达出来，并给予化简．

6、化简 ⑴(m 1＋n 1

)÷n n m ＋ ⑵ 24111a a a a

++--

⑶

)11(122x x x x +?+- ⑷化简x －1x ÷(x －1

x ).

⑸x

x x x x x x 1

12122÷??? ??+---+ （6）

2

221412211a a a a a a --÷+-+-

26

13

44

11

第一次

F ② 第二次

F ① 第三次

F ② …

6．先化简，再求值：

⑴请你先化简，再选取一个你喜欢的数代入并求值: 1

1

)1(212--+-+a a a a .

⑵：1

4

422-+-x x x ÷（13+x -1） ，其中x =-2

⑶

21

32·44622

2--+-+-+x x x x x x x ，其中2-=x .

，

7．已知：m 2＝n ＋2，n 2＝m ＋2(m ≠n)，求：m 3－2mn ＋n 3的值。

8．计算：??

?

??-??? ??

-???????? ??-??? ??-??? ??

-222

22100

1199114

11311211

9、已知22

2211

11x x x y x x x x

+++=÷-+--。试说明不论x 为何值，y 的值不变。 10．（综合题）物理学中，并联电路中总电阻R 和各支路电阻R 1、R 2满足关系

1R =11R +2

1

R ，若R 1=10，R 2=15，求总电阻R ．