数值分析思考题

数值分析复习思考题

（2006-12-28）

这几天的答疑时间中，解答了部分同学的问题，更多是作为教师的深入思考。而共同探讨问题是非常重要的。由于时间有限，这个文档中提出问题的深度可能不够，有些问题还没给出解答，希望研究生同学一起来思考，提出更多的问题。我会在以后的时间中形成新的文档。

第一章思考题

1．在科学计算中，一般认为误差的来源有几种？列举在数值分析课中主要讨论误差。

数值计算中一个基本的手段是近似，所以就有了各种误差。误差来源有四种：模型误差，观测误差，截断误差，舍入误差。一般分为两类，第一类是固有误差（包括模型误差和观测误差），第二类是计算误差（包括截断误差和舍入误差）。计算方法课中主要讨论计算误差。这是因为在用计算机解决数学问题时，常常用“有限代替无穷，用近似代替准确”。例如，解决连续性问题时通常要将其转化为离散问题求解，这将引起截断（方法）误差；由于机器数的位数有限，计算机表示数据时一般带有舍入误差。下面不全面列举出本课程内容涉及的误差

线性方程组直接求解方法——舍入误差

多项式插值方法——插值误差

数据拟合方法——残差

数值积分方法——求积误差

微分方程数值解方法——局部截断误差

………………………………………………

2．有效数字的概念是如何抽象而来的，请简单给予叙述。

有效数字位数与计算近似值x的误差这两个概念是通过末位数半个单位相联系的。

由于计算机的机器数只能表示有限位浮点数，对于很多数据只能近似表示，近似采用“四舍五入”的原则进行。有效数字概念正是根据日常生活中的“四舍五入”原则抽象而来的。若近似值x的绝对误差限是某一位上半个单位，该位到x的第一位非零数字一共有n位，则称这一近似数具有n位有效数字。而相对误差则与有效数位数基本一致。

3．什么样的算法被称为是不稳定的算法？试举一个例子说明

在算法执行过程中，舍入误差对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的算法。例如初始数有一点微小的误差，就会对一个算法的数据结果产生较大的影响，造成误差扩散，用计算公式I n = 1 – n I n-1构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法；而另一个公式I n-1= ( 1 – I n )/n则可以构造出一个数值稳定的算法。

第二章思考题

1．二分法收敛定理对于二分法产生的迭代数列的误差限是如何估计的？

设x *是方程的准确解，是二分法产生的第n 次迭代的近似解，

是二分法开始时的隔根区间，则有

0)(=x f n x ],[b a 1

2+??≤?n n a b x x 2．牛顿迭代法和割线法各有什么特点？

牛顿迭代法是单步迭代，产生一个数列逐次逼近位于初值附近的方程的根。每一次迭代要涉及到一个函数值和一个导数值的计算。它的几何背景是用曲线上的某一点处的切线与X 轴交点的坐标值产生下一个根的近似值。牛顿迭代法收敛速度较快，具有二阶收敛速度（一种直观解释是第迭代一次，有效数位数增加一倍），但它是一种局部收敛的方法。理论基础是如下台劳中值定理

)()(2

1)()()()(2n n n n n f x x x f x x x f x f ξ′′?+′?+= 割线法不是单点迭代，在每一次迭代中要用前两个根的近似值计算产生第三个近似根。迭代过程中不用计算函数的导数，只需计算函数值。它的几何背景是用曲线上两个不同点联结的割线与X 轴交点的坐标值产生新的根的近似值。也是一种局部收敛方法，收敛速度不如牛顿迭代法快，具有1.618阶的收敛速度（p 2 – p – 1 = 0 的正根）。理论基础是如下的牛顿插值公式

))((!

2)()](,[)()(11????′′+

?+=n n n n n n n x x x x f x x x x f x f x f ξ 第三章思考题

1．高斯消元法的消元过程的目标是什么？消元过程需用多少次乘除法？有何数学理论支持

高斯消元法的消元过程目标是将一般的线性方程组

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b n n n n n n nn n 11112211211222221122+++=+++=+++=???????L L LLLLLLLL L n

转化为与之等价的上三角形方程组，以便用解上三角形方程组的方法求出方程组的解。对一个n 阶方程组，消元过程需用除法次数

(n-1)+(n-2)+……+1=n (n -1)/2

用乘法次数

(n-1)n+(n-2)(n-1)+……+2=(n 3-n )/3

所以，共用乘除法次数为

n (n-1)/2+(n 3-n )/3.

数学上的理论支持主要是矩阵的分解。如乔斯基分解。

2．解三对角方程组的追赶法实际上也分为消元过程和回代过程，它的消元过程与一般的高斯消元过程相比有何特点？

是高斯消元法的一种应用。由于三对角方程组

????????????????=???????????????????????????????

??????n n n n n n n n n f f f f x x x x b a c b a c b a c b 12112111122211M M O O O 系数矩阵的每一列中，主对角元b k 下方最多只有一个非零元素a k + 1，所以每一轮消元只须把主对角以下(最多一个)元素化为零，将主对角元化为1。三对角方程组的消元过程中的每一轮是针对增广矩阵中某一行进行，每轮消元最多有两个非零元素的数据被刷新。

3．三对角矩阵的研究有何重要意义，已经有哪些重要结论？

4．矩阵的范数和向量的范数有何联系，条件数的几何意义是什么？

第四章思考题

1．解线性方程组的迭代法有何特点？它与解方程组的直接法有何不同？

解线性方程组的迭代法算法结构简单，适用于系数矩阵为大型稀疏矩阵的线性方程组求解。在计算过程中，迭代法计算出一个向量序列X (1)，X (2)，…，X (k )

，……。当方程组满足收敛条件时，这一序列将逐步逼近方程组的准确解。

迭代法利用系数矩阵构造迭代矩阵形成算法，直接法利用消元过程和回代过程的计算公式形成算法；迭代法是求近似解，直接法从理论是讲是求准确解；迭代法用误差估计确定是否终止迭代，无法预知用多少步计算可得方程组的解，直接法用有限步（如n 阶方程组用n-1轮消元，n 次回代计算）就可以算出方程组的解。

2．解线性方程组的迭代法收敛定理对迭代产生的向量序列的误差是如何估计的？设方程组的准确解为X *，第k 次迭代解为X （k ），（k=0，1，2，… ），迭代法所用的迭

代矩阵为B 。由于准确解X *无法得到，故误差估计用如下不等式 )()1()(*11k k k X X B X X ??≤

?+ 在迭代过程中，随着k 的增大，当 )()1(k k X X

?+ 充分小时，可以认为X （k ）已经很接

近于准确解X *。 3．迭代法求解线性方程组的本质是什么？

第五章思考题

1．代数插值问题的存在唯一性定理是如何叙述的？

当代数插值问题中所给出的插值结点是 (n+1)个互异的结点时，则必然存在唯一的一个n次插值多项式满足所给的插值条件。代数插值问题本质上与一个线性方程组求解问题等价。

2．拉格朗日插值函数有何特点？

n次拉格朗日插值函数的表现形式是（n + 1）个被插值函数值y0，y1，…，y n 的线性组合，组合系数是对应的(n + 1)个拉格朗日插值基函数l0(x)，l1(x)，…，l n(x)。

每一个插值基函数l k(x)都是n次多项式，且在对应的插值结点x k处取值为1，而在其余的n 个插值结点处取值为0。

3．Runge反例主要说明一个什么样的问题？

Runge反例说明了一个现象，即高次代数插值可能引起振荡，使得插值函数不收敛于被插值函数。

4．牛顿插值方法的主要特点是什么？

第六章思考题

1. 数据拟合问题与数据插值问题有何差异？拟合函数有何特点？

数据拟合问题要求拟合函数与被拟合函数在所有结点处的误差在总体上达到最小；而插值问题则要求插值函数与被插值函数在每一个插值结点处的误差均为零。拟合函数由有限个人为选定的函数经线性组合而成。常用的有幂函数、指数函数、三角函数。问题求解时一般是用较多的条件确定较少的组合系数。解决实际问题的难处在于拟合函数类的选取，多项式拟合在算法上实现较容易但是很多场合不太实用。

2. 曲线拟合的最小二乘法有何特点？

最小二乘法要求拟合曲线的残差平方和达到最小，从理论上讲，是确定拟合函数的组合系数使残差平方和最小。从算法上看，是将超定方程组转换为正规方程组求解。

这种方法不仅可以用于求解曲线拟合问题，而且可以用于求超定方程组的最小二乘解。

把一个超定方程组的问题转化为对应的正规方程组的求解问题。正规方程组的解被称为原超定方程组的最小二乘解。

3. 求一个超定方程组的最小二乘解有哪些主要方法？

第七章思考题

1．为什么说牛顿-莱布尼兹公式不能完全解决定积分的计算问题？

有三方面的原因：一是被积函数的原函数有时不能表示为初等函数；二是有的实际问题无法给出被积函数的表达式；三是被积函数的原函数表达式过于复杂难于计算。

前两种情形下无法使用牛顿—莱布尼兹公式，后一种情形下虽然得到结果但是实际应用比较困难。

2．插值型求积公式有何特点？

插值型求积公式主要用于计算定积分的值。数学推导中用拉格朗日插值函数代替被积函数，其表现形式是有限个函数值的线性组合，而组合系数恰好是拉格朗日插值基函数的定积分。(n+1)个结点的插值型求积公式的代数精度一般不超过n。用数值求积公式计算定积分可以克服牛顿—莱布尼兹公式的弱点，但是数值计算结果带有误差。

在用数值求积公式设计算法时，一般要考虑到误差估计，还应该使所求的数据结果的误差得到控制。

3．复合梯形公式有何特点？

将定积分的积分区间等分为有限个小区间，将定积分表示为各个小区间上的定积分之和。而将每一个小区间上的积分表示为梯形公式的计算公式，再组合起来统一计算。误差余项由梯形公式的误差余项整理而得。当小区间数目增长时计算误差将减小，从而在设计算法时可以使误差得到控制。

4．复合求积公式的误差是如何估计的？

5．高斯型求积公式是如何构造的？

第八章思考题

1．求解常微分方程的数值方法有几种主要方法，各有何特点？

2．求常微分方程初值问题的数值求解公式的局部截断误差指什么？

3．求解常微分方程组和高阶常微分方程初值问题时，需要做哪些准备工作？

数值分析思考题1

% 数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。（2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x * 表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 ' 答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时， r e x x e x x *****-==

通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、取，计算，下列方法中哪种最好为什么（1）(3322-，（2）(2752-，（3）()31 322+，（4）()61 21，（5） 99702-答：（1）( 332-==；（2）(2752-==； , （3） ()31322+=；（4）()6121=；（5）99702-=；由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。 2141.≈)6 21

数值分析课后题答案

数值分析第二章 2．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6．设,0,1,,j x j n =L 为互异节点，求证：（1） 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L （2）0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明（1）令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ，则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q

(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证： 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解：令01,x a x b ==，以此为插值节点，则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --

数值分析-第一章-学习小结

数值分析第1章绪论 --------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。二、本章知识梳理

2.1 数值分析的研究对象方法的构造研究对象求解过程的理论分析数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。绝对误差：

数值分析第二章复习与思考题

第二章复习与思考题 1.什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？答：若n 次多项式()),,1,0(n j x l j =在1+n 个节点n x x x <<< 10上满足条件 (),,,1,0,, ,0, ,1n k j j k j k x l k j =?? ?≠== 则称这1+n 个n 次多项式()()()x l x l x l n ,,,10 为节点n x x x ,,,10 上的n 次拉格朗日插值基函数. 以()x l k 为例，由()x l k 所满足的条件以及()x l k 为n 次多项式，可设 ()()()()()n k k k x x x x x x x x A x l ----=+- 110，其中A 为常数，利用()1=k k x l 得 ()()()()n k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 1101，故 ()()()() n k k k k k k x x x x x x x x A ----= +- 1101 ，即 ()()()()()()()()∏ ≠=+-+---=--------=n k j j j k j n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 0110110)( . 对于()),,1,0(n i x l i =，有 ()n k x x l x n i k i k i ,,1,00 ==∑=，特别当0=k 时，有 ()∑==n i i x l 0 1. 2.什么是牛顿基函数？它与单项式基{ }n x x ,,,1 有何不同？答：称()()()(){ }10100,,,,1------n x x x x x x x x x x 为节点n x x x ,,,10 上的牛顿基函数，利用牛顿基函数，节点n x x x ,,,10 上的n 次牛顿插值多项式()x P n 可以表示为 ()()()()10010---++-+=n n n x x x x a x x a a x P 其中[]n k x x x f a k k ,,1,0,,,,10 ==.与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如 ()()()()k k k k x x x x a x P x P --+=++ 011,

数值分析第一章思考题

《数值分析》第一章思考题 1.算法这一概念，数学上是如何描述的？答：算法的概念：算法是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说，能够对一定规范的输入，在有限时间内获得所要求的输出。算法在数学上的主要描述方式有：自然语言、结构化流程图、伪代码和PAD图 2.数值分析中计算误差有哪些？举列说明截断误差来源。答：在数值分析中的计算误差主要有：（1）模型误差（2）观测误差（3）截断误差（4）舍入误差求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，因近似方法产生的误差称为截断误差或者方法误差。例如在函数的泰勒展开式，我们在实际的计算时只能截取有限项代数和计算。 3.浮点数由哪两部分组成？指出各部分重点。答：浮点数主要由：尾数+阶数两部分组成的。在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数，用定点小数形式表示，尾数部分给出有效数字的位数，决定了浮点数的表示精度。二是要给出阶码，用整数形式表示，阶码指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。 4.有效数字的概念是如何抽象而来的，简单给予叙述。答：有效数字是一个数据在保证最小误差的情况下，取的一个能够在计算中发挥其有效作用的近似值。有效数字的作用在于，最大精度地去发挥这个数值在计算中的作用，而又不会对计算结果造成太大影响，使计算过程简化。 5.何谓秦九韶算法，秦九韶算法有何优点？答：秦九韶算法是一种多项式简化算法，将一元n次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，大大简化了计算过程，对于一个n次多项式，至多做n次乘法和n次加法。。 6.在数值计算中，会发生大数吃小数现象，试对这一现象做解释答：一个绝对值很大的数和一个绝对值很小的数直接相加时，很可能发生所谓“大数吃小数”的现象，从而影响计算结果的可靠性，这主要是计算机表示的数的位数是有限的这一客观事实引起的。例如在12位浮点数计算机中进行浮点数相加，系统只保留前12位作为有效数字，小的那个数化成浮点数中的有效数字被舍去，出现大数吃小数的现象，对计算结果造成了影响。

matlab与数值分析作业

数值分析作业(1) 1：思考题（判断是否正确并阐述理由）（a）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 (b)无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。 (c)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。 (d)用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。 (e)浮点数在整个数轴上是均匀分布。 (f)浮点数的加法满足结合律。 (g)浮点数的加法满足交换律。 (h)浮点数构成有效集合。 (i)用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解。√2: 解释下面Matlab程序的输出结果 t=0.1; n=1:10; e=n/10-n*t 3：对二次代数方程的求解问题 20 ++= ax bx c 有两种等价的一元二次方程求解公式

2224b x a c x b ac -±==- 对 a=1，b=-100000000，c=1，应采用哪种算法？ 4：函数sin x 的幂级数展开为： 357 sin 3!5!7! x x x x x =-+-+ 利用该公式的Matlab 程序为 function y=powersin(x) % powersin. Power series for sin(x) % powersin(x) tries to compute sin(x)from a power series s=0; t=x; n=1; while s+t~=s; s=s+t; t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t n=n+2; end

（a ）解释上述程序的终止准则；（b ）对于x=/2π、x=11/2π、x =21/2π，计算的精度是多少？分别需要计算多少项？ 5:指数函数的幂级数展开 2312!3!x x x e x =+++ + 根据该展开式，编写Matlab 程序计算指数函数的值，并分析计算结果（重点分析0x <的计算结果）。

数值分析实验报告1

实验一误差分析实验（病态问题）实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =

的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。实验要求：（1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何（2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象出现（3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感思考题一：（上述实验的改进）在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。

数值分析作业思考题汇总

￥数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取，计算，下列方法中哪种最好为什么（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） ()3 1 3+ ，（4） ()6 1 1 ，（5）99- , 数值实验数值实验综述：线性代数方程组的解法是一切科学计算的基础与核心问题。求解方法大致可分为直接法和迭代法两大类。直接法——指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法，因此也称为精确法。当系数矩阵是方的、稠密的、无任何特殊结构的中小规模线性方程组时，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系数矩阵具有某种特殊形式，则为了尽可能地减少计算量与存储量，需采用其他专门的方法来求解。 Gauss消去等同于矩阵的三角分解，但它存在潜在的不稳定性，故需要选主元素。对正定对称矩阵，采用平方根方法无需选主元。方程组的性态与方程组的条件数有关，对于病态的方程组必须采用特殊的方法进行求解。数值计算方法上机题目1 1、实验1. 病态问题实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”和“坏”之别。所谓坏问题就是问题本身的解对数据变化的比较敏感，反之属于好问题。希望读者通过本实验对此有一个初步的体会。数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 $ r e x x e x x ** * ** - == 141 . ≈)61

数值分析思考题[综合]

1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？ 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 4、取，计算，不用计算而直接判断下列式子中哪种计算效果最好？为什么？（1）(3 3-，（2）(2 7-，（3） (3 1 3+，（4） ) 6 11 ，（5）99-5. 应用梯形公式 ))()((2b f a f a b T +-= 计算积分1 0x I e dx -=?的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取五位小数。计算中产生的误差的主要原因是截断误差还是舍入误差？为什么？ 6. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出他们有几位有效数字，并给出其绝对误差限与相对误差限。 (1) 1021.1*1=x ；(2) 031.0*2=x ；(3) 40.560*3=x 。 7. 下列公式如何计算才比较准确？ (1) 212 x e -，1x <<；(2) 12 1 N N dx x ++? ，1>>N ；(3) ，1x >>。 8. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-，12,,n =，若0141.y =≈，计算到10y 时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？ r e x x e x x ***** -== 141.≈) 6 1

1、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需二分区间多少次？ 2、求解一个非线性方程的迭代法有哪些充分条件可以保障迭代序列收敛于方程的根？对方程3210()f x x x =--=，试构造两种不同的迭代法，且均收敛于方程在[]12,中的唯一根。 3、设0a >，应用牛顿法于方程30x a -= 确定常数,p q 和r 使得迭代法 2 125k k k k qa ra x px x x +=++， 012,, , k = 4、对于不动点方程()x x ?=，()x ?满足映内性和压缩性是存在不动点的充分条件，他们也是必要条件吗？试证明：（1）函数21()x x ?=-在闭区间[]02,上不是映内的，但在其上有不动点；（2）函数 1()ln()x x e ?=+在任何区间[],a b 上都是压缩的，但没有不动点。 5、设*x 是方程0()f x =的根，且0*'()f x ≠，''()f x 在*x 的某个邻域上连续。试证明：Newton 迭代序列{}k x 满足 12122**()''() lim () '()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-- 6. 设有方程1 12 sin x x =+。对于迭代法1112 ()sin()k k k x x x ?+==+，试证：对任何15.b ≥，迭代函数()x ?在闭区间[0.5,b]上满足映内性和压缩性。用所给方

第一章复习与思考题

第一章复习与思考题 1. 什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？答：数值分析也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究的是用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 数值分析以数学问题为研究对象，但它并不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论. 2. 何谓算法？如何判断数值算法的优劣？答：一个数值问题的算法是指按规定顺序执行一个或多个完整的进程，通过算法将输入元变换成输出元. 一个面向计算机，有可靠理论分析且计算复杂性好的算法就是一个好算法. 因此判断一个算法的优劣应从算法的可靠性、准确性、时间复杂性和空间复杂性几个方面考虑. 3. 列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别. 答：用计算机解决实际问题首先要建立数学模型，它是对被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的，数学模型与实际问题之间出现的误差叫做模型误差. 在数学模型中往往还有一些根据观测得到的物理量，如温度、长度等，这些参量显然也包含误差，这种由观测产生的误差称为观测误差. 当数学模型不能得到精确解时，通常要用数值方法求它的近似解，其近似解和精确解之间的误差称为截断误差或方法误差.

有了求解数学问题的计算公式以后，用计算机做数值计算时，由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示时会产生误差，计算过程又可能产生新的误差，这种误差称为舍入误差. 截断误差和舍入误差是两个不同的概念，截断误差是由所采用的数值方法而产生的，因而也称方法误差，舍入误差是由数值计算而产生的. 4. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？答：设为准确值，为的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差. 近似值的误差与准确值的比值称为近似值的相对误差，记作 . 通常我们无法知道误差的准确值，只能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，

数值分析第二章思考题

第二章思考题 1.画出残差校正法的程序框图 2.查阅目前解决病态线性方程组的方法有哪些，并计较其优劣。答：对病态线性方程组的求解可采用一下方法求解：（1）采用高精度的算术运算。采用双精度，可改善和减轻病态矩阵的影响。（2）平衡方法。当A 的元素的数量级差别很大时，采用行平衡或列平衡的方法可降低A 的条件数。（3）残差矫正法。设A 非奇异且Cond （A ）不特别大，方程组Ax=b 病态但不特别严重，这时可用残差矫正法求解Ax=b 。（4）残量迭代法。残量迭代法是在用Gauss 消去法求出方程组AX b =的近似解后，进行以下的计算： PA LU =. 然后，重复迭代： b AX γ=- LY P γ= UZ Y = X X Z =+

其中，PA LU =，X ，Y 和Z 用t 位有效数字计算，b AX -用2t 位有效数字生成。残量迭代法的计算量比较少，在机器上非常容易执行，而且计算精度也比较高，但是它不是对所有的病态方程组都适用，当()10t Cond A ≥时，其计算结果就不够准确。（5）加权迭代改善法。加权迭代改善法是对方程组AX b =构造一个迭代过程：()()()1k k A I X b X λλ++=+ ，其中0λ≠为一常数，I 为与A 同阶的单位方阵,0,1,2,k = 为迭代次数，()0X 为解的初始值，()k X 是第k 次迭代后求得的近似解。只要λ取得合适，A I λ+的逆矩阵()1 A I λ-+便存在。加权迭代改善法不必选主元且保持原系数矩阵的稀疏性，通过加权因子λ的选取来改善矩阵的条件数，得到了比较好的计算结果，但是由于加权因子λ的选取也使得加权迭代改善法的应用受到了限制。（6）误差转移法。误差转移法是基于即使方程组的计算解的精度不高，也可获得相对较小的余量这一特点而设计的。设方程组AX b =的计算解为x τ，既然b Ax τ=对误差很大的解x τ也能比较准确的成立，因而，如果求解r x cy *=其中，c 为n n ?阶非奇异矩阵，则即使计算解r y 的误差比较大，得到比较准确的x *。，在这种解法中，问题的病态性固然会导致解的巨大误差，但这种误差直接反映在r y 上，对x *的影响则小得多，因为主要的误差已经从原来的x *转移到中间量r y 上了。误差转移法的原理及实现都十分简捷，仅运用了常规的行列均衡

数值分析思考题9

百度文库-让每个人平等地提升自我数值分析思考题9 1、一个算法局部误差和整体误差的区别是什么？如何定义常微分方程数值方法的阶？称e n y(X n) y为某方法在点的整体截断误差，设y是准确的，用某种方法计算y n时产生的截断误差，称为该方法的局部截断误差。可以知道，整体误差来自于前面误差积累，而局部误差只来自于 p 1 y n的误差。如果给定方法的局部截断误差为Tn1 O(h )，其中 P为自然数，则称该方法是P阶的或具有P阶精度。 2、显式方法和隐式方法的优缺点分别是什么？多步法中为什么还要使用单步法？显式方法优点：方法简单快速。缺点：精度低。隐式方法优点：稳定性好。 \ 缺点：精度低，计算量大。多步法需要多个初值来启动迭代，而初值的计算需要用到单步法。 3、冈『性问题的求解困难主要体现在哪儿？计算刚性问题的最简单的稳定方法是什么？了保证数值稳定性，步长h需要足够小，但是为了反映解的完整性，x区间又需要足够长，计算速度变慢。最简单的稳定方法就是扩大绝对稳定域。 4、分别用欧拉向前法、欧拉向后法、改进的欧拉法、经典的四阶

百度文库-让每个人平等地提升自我 Run ge- Kutta 法、四阶Adams方法计算下列微分方程初值问题的解。 (1) dy dx x 3 ^,1 x y(1) 0.4 x 2 ； (2)y' z 10y 9z, 10y 11z, 满足解: （1）取步长为, 向前Euler公式:y n y n 3 hf (X n, y n) = °.1X n 向后Euler公式: Y n Y n hf (X n 1, y 1) 0.1x ： ( 1 x n )y 1 y n X n X n 1 0.1 y n 1 y n 改进的Euler公式: y n h -f (X n, y n) 2 0.1 2 3 y n X n X n 3 X n x n 1, y n hf(X n,y n) 0.1x；1 y n -2~ X n 1 3 X n 1 经典的四阶Runge-Kutta法: y n h 6 (k1 2k22k3 k1 f (X n, y n ) k 2 f (X n h -,y n 号kJ k3 f (X n h 2,yn h k2) 2 k4 f (X n h, y n hk3)k4) y n 1 四阶显示Adams方法: y n 0) 1 y n h 2；[55f(X n, y n) 59f(X n 1 , y n 1)37 f (X n 2, y n 2) 9f (X n 3, y n 3)]

数值分析最佳习题(含答案)

第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需 41*102 1 -?≤-ππ，3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +， b a ?有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021 -?≤-a a ，2*102 1-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab

故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）解：已知δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算）解：%* *a x x x =-， )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）

数值分析第二章小结

第2章线性方程组的解法 --------学习小结一、本章学习体会通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我 Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b 过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。二、本章知识梳理 2.1、Gauss消去法（次重点） Gauss消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。 a(k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件定理顺序Gauss消去法的前n-1个主元素)(k kk 是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式

数值分析课后习题答案

第一章题12 给定节点01x =-，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插值余项：（1）（1） 3 ()432f x x x =-+ （2）（2） 4 3 ()2f x x x =- 解（1）(4) ()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123() ()()()()()()0 4!f f x p x x x x x x x x x ξ-=----=；（2）(4) ()4!f x = 由拉格朗日插值余项得 01234! ()()()()()() 4! f x p x x x x x x x x x -= ----(1)(1)(3)(4)x x x x =+---. 题15 证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差 012 10()()()max () 8x x x x x f x p x f x ≤≤-''-≤. 证由拉格朗日插值余项得 01() ()()()()2!f f x p x x x x x ξ''-= --，其中01x x ξ≤≤， 01 0101max ()()()()()()()() 2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤''''-=--≤-- 01210()max () 8x x x x x f x ≤≤-''≤. 题22 采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p '==，(1)(1)1p p '==的插值多项式 ()p x ：（1）（1）用待定系数法；（2）（2）利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p '==，(1)1p =的插值多项式 ()p x . 解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2 123()23p x a a x a x '=++，代入得方程组001231123010231 a a a a a a a a a =? ?+++=?? =? ?++=? 解之，得01230 021 a a a a =??=?? =??=-?

数值分析思考题答案

：数值分析课程思考题 1．叙述拉格朗日插值法的设计思想。 Lagrange插值是把函数y=f(x)用代数多项式pn(x)代替，构造出一组n次差值基函数；将待求得n次多项式插值函数pn(x)改写成另一种表示方式，再利用插值条件确定其中的待定函数，从而求出插值多项式。 2．函数插值问题的提出以及插值法发展的脉络。问题的提出：实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是，通过观察或测量或试验只能得到在[a,b]区间上有限个离散点x0,x1,…,xn上的函数值y=f(xi),(i=0,…,n)或者f(x)函数表达式是已知的，但却很复杂而不便于计算希望用一个简单的函数描述它。发展脉络：在工程中用的多的是多项式插值和分段多项式插值。在多项式插值中，首先谈到的是Lagrange插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了求n次多项式插值函数的问题，但是其高次插值基函数计算复杂，且次数增加后，插值多项式需要重新计算，所以在此基础上提出Newton插值，它是另一种构造插值多项式的方法，与Lagrange插值相比，具有承袭性和易于变动节点的特点。如果对插值函数，不仅要求他在节点处与函数同值，还要求它与函数有相同的一阶，二阶甚至更高阶的导数值，这就提出了Hermite插值，它是利用未知函数f(x)在插值节点上的函数值及导数值来构造插值多项式的。为了提高精度，加密节点时把节点分成若干段，分段用低次多项式近似函数，由此提出了分段多项式插值。最后，由于许多工程中对插值函数的光滑性有较高的要求，就产生了样条插值。 3．描述数值积分算法发展和完善的脉络。数值积分主要采用插值多项式来代替函数构造插值型求积公式。通常采用Lagrange插值。如果取等距节点，则得到Newton-Cotes公式，其中，当n=1时，得到梯形公式；当n=2时，得到Simpson公式；当n=4时，得到Cotes公式。由于高次Newton-Cotes公式的求积系数有正有负，将产生很大的计算误差，引起计算不稳定，所以受分段插值的启发，对数值积分也采用分段求积，导出复化求积公式；其中，在小区间上用梯形公式求和的称为复化梯形公式，用Simpson公式求和的成为复化Simpson公式，用Cotes公式求和的称为Cotes公式。但由于步长的选取是个问题，所以，导出逐次分半法来计算。而由于有些函数在x=0的值无法求出，为

数值分析思考题1

数值分析思考题1 1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。答：（1）绝对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若绝对误差e ，那么x *至少有n 个有效数字，即a 1，a 2，…，a n 为有效数字，而a n+1，…，a k ，…不一定是有效数字。因此，从有效数字可以算出近似数的绝对误差限；有效数字位数越多，其绝对误差限也越小。（2）相对误差（限）与有效数字：将x 的近似值x *表示成 x *=±10m ×(a 1×10﹣1+a 2×10﹣2+ …a n ×10﹣n +…+a k ×10﹣ k +…)，其中m 是整数，a 1≠0，a 1，a 2，…，a k 是0到9中的一个数字。若a k 是有效数字，那么相对误差不超过 ;反之，如果已知相对误差r ，且有，那么a k 必为有效数字。 2、相对误差在什么情况下可以用下式代替答：在实际计算时，由于真值常常是未知的，当较小时，通常用代替。 3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。 r e x x e x x *****-==

- 答：（1）病态问题：对于数学问题本身，如果输入数据有微小变化，就会引起输出数据（即问题真解）的很大变化，这就是病态问题。（2）不同点：数值稳定性是相对于算法而言的，算法的不同直接影响结果的不同；而病态性是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。 4、取，计算，下列方法中哪种最好为什么（1）(33-，（2）(27-，（3）()31 3+，（4）()61 1，（5） 99-答：（1）(33-==；（2）(27-==；（3） ()3 13+=；（4）()611+=；（5）99-=；由上面的计算可以看出，方法（3）最好，因为计算的误差最小。， 141.≈)61

数值分析思考题

数值分析重点考察内容第一章：基本概念第二章： Gauss消去法，Lu分解法第三章：题型：具体题＋证明，误差分析三个主要迭代法，条件误差估计，范数的小证明第四章：掌握三种插值方法：拉格朗日，牛顿，厄尔米特，误差简单证明，构造复合函数第五章：最小二乘法计算第六章：梯形公式，辛普森（抛物线）公式，高斯公式三个重要公式，误差分析。高斯求积公式的构造第七章：几种常用的迭代格式构造，收敛性证明。第九章：基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。

第一章误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作34 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确：（1） 11,||1121x x x x --++ （2） ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4） sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。（1）（2） 99-（3） 6(3- （4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算 0!k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数值. 分别取 x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分10,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 1111100(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-?? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -=-=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取来计算123419,,,,,I I I I I ，编程比较哪种计算的数值结果好，并给出理论分析。

数值分析思考题

数值分析思考题6 1、数值计算中迭代法与直接法的区别是什么（1）直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算求得方程组的精确解的方法。直接法又称为精确法。（2）迭代法是采取逐次逼近的方法，即从一个初始向量出发，按照一定的计算格式，构造一个向量的无穷序列，其极限才是方程组的精确解，只经过有限次运算得不得精确解。迭代法是一种逐次逼近的方法,与直接法比较, 具有程序简单,存储量小的优点。 2、详述你所知道的线性方程组的迭代法的收敛性定理。迭代公式收敛的充分必要条件是假设矩阵M的谱半径，可知的充分必要条件是。迭代公式和 ,收敛。严格对角占优线性方程组Ax=b（其中，）的Jacobi 迭代公式，收敛。 Gauss-Seidel迭代公式，收敛。 3、详述你所知道的非线性方程（组）的迭代法以及收敛性结果。（1）不动点迭代法：不一定收敛，若存在常数L<1，使得 ,则收敛于x*。（2）斯蒂芬森迭代法：若不动点迭代公式的迭代函数在不动点

x*的某邻域内具有二阶连续导数，且，则二阶收敛，极限是x*。（3）牛顿迭代法：收敛 4、举例说明解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与何种因素有关解线性方程组的SOR 方法的最佳松弛因子与迭代矩阵的谱半径有关，是单峰关系。经实验，当谱半径是时，松弛因子是。 5、指出解非线性方程组的Newton 法的主要工作量所在。分别用Newton 法和Broyden 秩1校正方法求解如下方程组在()1,1,1T 点附近的根： 2 1232 12332312470,10110,1080. x x x x x x x x ?---=?+--=??+-=? 解非线性方程组的Newton 法的主要工作量在于求解。牛顿解：，， Broyden 秩1校正方法：，，